267

Artur Hadasik
Hanna Bogucka
Instytut Elektroniki i Telekomunikacji
Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 3A
60-965 Poznań
e-mail: [e-mail]

REDUKCJA STOSUNKU MOCY SZCZYTOWEJ DO MOCY ŚREDNIEJ W SYSTEMIE

OFDM METODĄ ODEJMOWANIA FUNKCJI ODNIESIENIA

Streszczenie: W pracy zaproponowano nową metodę
redukcji stosunku mocy szczytowej do średniej w sys-
temie z modulacją OFDM. Stanowi ona modyfikację
metody polegającej na odejmowaniu funkcji odnie-
sienia w sygnale na wyjściu modulatora wielotonowe-
go. Informacja o położeniu odejmowanej funkcji w
bloku OFDM przekazywana jest w osobnym kanale i
wykorzystywana w celu rekonstrukcji pełnego sygna-
łu w odbiorniku. W pracy opisano wpływ istotnych
parametrów tej metody na jakość transmisji w kana-
le nieliniowym oraz przedstawiono wyniki symulacji
komputerowej.

1. WSTĘP

Współczynnik mocy szczytowej do mocy średniej

PAPR (ang. Peak to Average Power Ratio) jest ważnym
parametrem systemów OFDM. Decyduje on w dużej
mierze o właściwościach systemu, w szczególności o
mocy wyjściowej wzmacniacza mocy w stopniu wyj-
ściowym nadajnika. PAPR jest zdefiniowany jako:

]

[

log

10

max

dB

P

P

PAPR

av

=

(1)

przy czym P

max

jest wartością mocy szczytowej w obrę-

bie pojedynczego symbolu OFDM, zaś P

av

mocą średnią

sygnału OFDM. A zatem, wartość PAPR może zmieniać
się z każdym nadawanym blokiem. Aby efektywnie wy-
korzystać stopień wyjściowy wzmacniacza należy za-
dbać o to, by moc szczytowa wzmacniacza nie przekra-
czała znacząco mocy średniej. Jednak w systemach
OFDM współczynnik PAPR może wielokrotnie przekro-
czyć 0 dB i wynieść 10logN, gdzie N jest liczbą nośnych.
Przy dużej liczbie nośnych problem zaczyna nabierać
coraz większego znaczenia (np. dla 256 nośnych PAPR-

max

=24dB). W niniejszej pracy zaproponowano interesu-

jącą metodę zmniejszenia wartości współczynnika
PAPR, charakteryzującą się wysoką efektywnością, za-
równo jeśli chodzi o kształt widma sygnału OFDM, sto-
pę błędów w odbiorniku, jak i złożoność obliczeniową.

2. OPIS METODY

Metoda odejmowania funkcji odniesienia jest kon-

cepcyjnie bardzo prosta i polega na odjęciu od piku w
sygnale odpowiedniej funkcji odniesienia w taki sposób,
aby po tym zabiegu pik nie przekraczał już przyjętej
granicy A

0

. Funkcją tą jest funkcja sinc obcięta przez

okno podniesionego kosinusa. Taka funkcja gwarantuje

pomijalne straty w widmie uzyskanego sygnału. Kon-
cepcją odejmowania jest przedstawiona na Rys. 1.

Rys. 1. Przykład działania metody odejmowania funkcji

odniesienia: sygnał przed zastosowaniem metody (a) i

sygnał po redukcji pików(b).

Metoda ta była już wielokrotnie opisywana. Nowo-

ścią w niniejszym opracowaniu jest przesłanie informacji
o dokonaniu takiego zabiegu na stronę odbiorczą po to,
by identyczną funkcję odniesienia z powrotem dodać w
miejscu, w którym została odjęta. Dzięki temu można
utrzymać stopę błędów na poziomie bliskim wartości
odpowiadającej systemowi, w którym nie występują
zniekształcenia nieliniowe. Tymczasem, w tradycyjnej
metodzie odejmowania funkcji odniesienia, w następ-
stwie zniekształcenia sygnału, jakim jest odjęcie tejże
funkcji, stopa błędów ulega znacznemu wzrostowi.
Prawdopodobieństwo wystąpienia piku, czyli sygnału
przekraczającego określoną granicę jest zależne od przy-
jętej granicy i przy rozsądnym jej dobraniu jest relatyw-
nie małe. Opisuje je zależność:

N

z

e

z

PAPR

)

1

(

1

)

Pr(

−

−

−

=

>

(2)

przy czym N jest liczbą nośnych. Im większa jest więc
liczba nośnych, tym prawdopodobieństwo wystąpienia
dużych pików jest mniejsze, jednak ich wartość może
być większa.

W opisywanym rozwiązaniu przyjęto, że w kierun-

ku odległego odbiornika przesyłana będzie skwantowana
informacja o funkcji odniesienia (o jej amplitudzie i fa-
zie – odejmowanie będzie następowało w zespolonym
sygnale pasma podstawowego) odjętej od największego

268

2

2

0

log

10

av

A

A

IBO

=

piku, który wystąpił w sygnale, jeżeli w ogóle wystąpił.
Od pozostałych, mniejszych pików, również odejmowa-
na będzie funkcja odniesienia, ale informacja o tym nie
będzie przesyłana na stronę odbiorczą. Aby odbiornik
otrzymał informację o odjętym piku konieczny jest od-
dzielny kanał poza właściwym systemem OFDM. Przy-
jęto, że taki kanał istnieje i że informacja o odjętej funk-
cji odniesienia jest przekazywana bez błędów, natomiast
skoncentrowano się na zbadaniu odporności proponowa-
nej metody na zniekształcenia nieliniowe i spadku stopy
błędów w odbiorniku w porównaniu z klasyczną metodą
odejmowania funkcji odniesienia. Do symulacji wyko-
rzystano system OFDM z 256 nośnymi, przedrostek cy-
kliczny (tzw. prefiks) wyniósł 32 symbole, natomiast 32
symbole na końcu każdego symbolu OFDM przeznaczo-
no na okno typu cos-roll-off (tzw. postfiks). Zastosowa-
no modulację BPSK na każdej z nośnych. Schemat blo-
kowy nadajnika jest przedstawiony na Rys.2. W odbior-
niku można znaleźć bloki analogiczne do tych z nadajni-
ka.

Data

S/P

FFT

Cyclic

Peak

cancellation

prefix

LPF

P/S

RF TX

Side

channel

Rys.2. Schemat blokowy nadajnika OFDM.

Na wyjściu nadajnika pracuje nieliniowy

wzmacniacz mocy w.cz. Jego nieliniowość została
zamodelowana w symulacji zgodnie ze wzorem:

p

p

we

we

wy

A

A

A

A

2

1

2

0

1























+

=

(3)

przy czym A

we

i A

wy

są amplitudami odpowiednio na

wejściu i wyjściu wzmacniacza, A

0

jest maksymalną am-

plitudą, jaką potrafi osiągnąć wzmacniacz nieliniowy,
natomiast p jest parametrem modelu (tzw. parametr
Rapp’a). Dobrą aproksymację układu rzeczywistego daje
model z parametrem p o wartości z przedziału między 2 i
3. W niniejszym rozwiązaniu przyjęto p=2.5. Poziom na-
sycenia wzmacniacza jest opisany parametrem IBO (ang.
Input Backoff). Jest on zdefiniowany jako:

(4)

przy czym A

av

jest amplitudą odpowiadającą sygnałowi

OFDM o mocy średniej.

Na Rys. 3 pokazano charakterystykę przejściową

takiego wzmacniacza w przypadku gdy parametr p=2.5,
oraz wykreślono asymptotę A

0

dla parametru IBO=10dB,

przy założeniu mocy średniej A

av

=1.

0

1

2

3

4

0

4

8

12

16

A

we

A

wy

A

0

odpowiada IBO=10dB oraz A

av

=1

Rys. 3. Nieliniowa charakterystyka amplitudowo-

ampltudowa zastosowanego wzmacniacza mocy.

3. EKSPERYMENT SYMULACYJNY

Podczas symulacji główny nacisk położony był na

pokazanie różnicy między klasyczną metodą
odejmowania funkcji odniesienia i jej modyfikacją
polegającą na przesyłaniu informacji o redukcji
największego piku na stronę odbiorczą. Starano się
również znaleźć kompromis między sytuacją, gdy
granica PAPR

max

jest ustawiona za wysoko i piki

występują zbyt rzadko aby ich redukcją i korekcją po
stronie odbiorczej znacząco zredukować stopę błędów, a
sytuacją, w której granica PAPR

max

jest ustawiona tak

nisko, że redukowanych pików jest zbyt dużo i
przesyłanie informacji o korekcji tylko jednego z nich
nie rekompensuje w wystarczającym stopniu
wprowadzonej stopy błędów. Rysunek 4 przedstawia
bitową stopę błędów BER w zależności od poziomu
szumów E

b

/N

0

, przy czym E

b

jest energią sygnału

przypadającą na jeden bit, natomiast N

0

jest wartością

gęstości widmowej mocy szumu wprowadzanego przez
kanał AWGN.

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E

b

/N

0

[dB]

BER

a)

b)

c)

d)

Rys.4. BER w funkcji stosunku sygnału do szumu dla

IBO=10dB z odejmowaniem i PAPR

max

=7dB bez doda-

wania po stronie odległej (a), bez odejmowania i z nieli-
niowością (b), z odejmowaniem dla PAPR

max

=7dB i do-

dawaniem po w odbiorniku (c) oraz system idealny bez

odejmowania i bez nieliniowości.

Pokazano przypadek, w którym poziom nasycenia

wzmacniacza wyniósł IBO=10dB, zaś granica PAPR

max

jest ustawiona na 7dB.Poszczególne krzywe
odpowiadają systemowi z odejmowaniem funkcji odnie-
sienia na poziomie 7dB bez dodawania po stronie odle-

269

głej (a), systemowi nieliniowemu bez odejmowania
funkcji odniesienia (b), systemowi z odejmowaniem
funkcji odniesienia na poziomie 7dB wraz z dodawa-
niem po stronie odległej (c) oraz systemowi idealnemu
(bez nieliniowości).

Jak widać na Rys. 4 stopa błędów w systemie

nieliniowym (b) jest wyższa od stopy błędów w systemie
idealnym (d) i rośnie znacznie po wprowadzeniu
zabiegu odejmowania funkcji odniesienia (a). Jednak po
ponownym dodaniu funkcji odniesienia po stronie
odległej (c) stopa błędów znacząco spada, poniżej
wartości dla systemu nieliniowego bez odejmowania i
dodawania funkcji odniesienia osiągając wartości
niewiele gorsze od systemu idealnego.

Podobne symulacje przeprowadzono dla innych

wartości parametru IBO oraz innych poziomów
odejmowania funkcji odniesienia. W każdym przypadku
starano się znaleźć optimum, przy którym bitowa stopa
błędów jest możliwie bliska systemowi idealnemu. Na
Rys. 5 pokazano różnicę w stopie błędów między
zastosowaną metodą a systemem idealnym bez
nieliniowości w funkcji poziomu odejmowania funkcji
odniesienia, dla różnych poziomów nasycenia
wzmacniacza oraz dla odstępu sygnału od szumu E

b

/N

0

=

4dB.

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

PAPR

max

[dB]

∆

BER

a)

b)

c)

Rys. 5. Różnica w stopie błędów między

zastosowaną metodą a systemem idealnym w funkcji

PAPR

max

, dla różnych poziomów nasycenia

wzmacniacza: IBO=8dB (a), IBO=9dB (b),

IBO=10dB (c) oraz dla odstępu sygnału od szumu

E

b

/N

0

= 4dB.

Jak widać na Rys. 5 można w każdym przypadku

wyodrębnić minimum, czyli taki zestaw parametrów
IBO oraz PAPR

max

, przy którym stopa błędów jest

najbliższa systemowi idealnemu. Poniżej zestawiono
najlepsze uzyskane rozwiązania:

IBO [dB]

PAPR

max

[dB]

8 6
9 7

10 7

Na Rys. 6 pokazano bitową stopę błędów uzyskaną

w tych przypadkach.

1,00E-06

1,00E-05

1,00E-04

1,00E-03

1,00E-02

1,00E-01

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E

b

/N

0

[dB]

BER

b)

c)

d)

a)

e)

Rys. 6. BER w funkcji A

av

2

/P

n

dla IBO=10dB i

PAPR

max

=7dB (a), IBO=9dB i PAPR

max

=7dB (b),

IBO=8dB i PAPR

max

=6dB (c), system idealny (d) oraz

system z klasyczną metodą bez dodawania funkcji

odniesienia w odbiorniku dla IBO=9dB i PAPR

max

=7dB

(e).

Dla porównania umieszczono również krzywą dla

systemu klasycznego, przy czym IBO=9dB, zaś
PAPR

max

=7dB, jak również krzywą ze stopą błędów w

przypadku systemu idealnego bez zniekształceń
nieliniowych i bez odejmowania funkcji odniesienia. Z
rysunku oraz z zamieszczonego wcześniej zestawienia
można wyciągnąć kilka interesujących wniosków.
Jednym z nich jest fakt, że zbliżanie się z granicą
korekcji pików do poziomu nasycania wzmacniacza
powoduje wzrost stopy błędów, ponieważ w coraz
większym stopniu daje o sobie znać nieliniowość
wzmacniacza. Stąd poziom korekcji PAPR

max

opisaną

metodą powinien leżeć 2...3 dB poniżej (zakładając
parametr Rapp’a p=2.5) poziomu nasycenia
wzmacniacza. Kolejnym wnioskiem jest dosyć
oczywisty fakt, że im niższy zostanie dobrany poziom
zarówno nasycenia wzmacniacza jak również poziom
korekcji opisaną metodą, tym stopa błędów jest większa.
Wniosek ten jest dobrze widoczny na Rys. 6, a także na
zamieszczonym poniżej

Rys.

7,

na

którym

przedstawiono różnicę w stopie błędów między
zastosowaną metodą a systemem idealnym bez
nieliniowości w funkcji przyjętego poziomu nasycenia
wzmacniacza IBO, przy granicy PAPR

max

=7dB oraz

stosunku sygnału do szumu E

b

/N

0

= 0dB (a), E

b

/N

0

= 2dB

(b), E

b

/N

0

= 4dB (c) i E

b

/N

0

= 6dB (d).

Zbyt niskie dobranie wspomnianych poziomów

prowadzi do zwiększenia BER powyżej poziomu
uzyskanego w przypadku systemu bez odejmowania
funkcji odniesienia. Jednak nawet w takim
niekorzystnym przypadku pozostaje niezaprzeczalna
zaleta metody odejmowania funkcji odniesienia w
postaci zachowania ostrych zboczy widma sygnału
OFDM. Stosowalność metody jest jednak tym większa,
im mniej dynamiczny wzmacniacz będzie możliwy do
zastosowania. Stąd dąży się do możliwie małych
parametrów IBO i PAPR

max

.

Biorąc pod uwagę uzyskane wyniki oraz występujące

w systemie efekty można uznać, że rozwiązania
pokazane w zestawieniu są optymalne.

270

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

3,00E-03

3,50E-03

4,00E-03

8

8,5

9

9,5

10

IBO [dB]

∆∆∆∆

BER

a)

b)

c)

d)

Rys. 7. Różnica w stopie błędów między zastosowaną

metodą a systemem idealnym bez nieliniowości w

funkcji przyjętego poziomu nasycenia IBO, dla

PAPR

max

=7dB i E

b

/N

0

= 0dB (a), E

b

/N

0

= 2dB (b), E

b

/N

0

= 4dB (c) i E

b

/N

0

= 6dB (d).

4. PODSUMOWANIE

Przedstawiona metoda pozwala na zredukowanie

stosunku mocy szczytowej do mocy średniej do 6..7dB
oraz stosowanie wzmacniacza mocy w.cz. o
zredukowanej do wartości 8..10dB powyżej mocy
średniej dynamice, przy systemie OFDM o 256 nośnych.
Metoda jest koncepcyjnie prosta i nie wymaga
nadmiernie dużej mocy obliczeniowej, ponadto
umożliwia uzyskanie stopy błędów zdecydowanie
lepszej od klasycznej metody odejmowania funkcji
odniesienia, bliskiej stopie błędów dla idealnego
systemu OFDM. Takie właściwości są okupione
koniecznością wprowadzenia kanału dodatkowego.
Dodatkowym kosztem jest wprowadzony nadmiar
informacji (overhead) niezbędny do przesłania
informacji o zredukowanym piku, wynoszący (przy
założeniu 3 bitów na amplitudę, 3 na fazę odejmowanej
funkcji oraz 6 na zakodowanie informacji za pomocą

kodu splotowego o odpowiedniej sprawności) ok.11%.
Należy podkreślić, że wiarygodne przekazanie informa-
cji o położeniu funkcji odniesienia ma zasadnicze zna-
czenie dla proponowanej metody. Overhead może być
jednak znacząco mniejszy w wypadku zastosowania mo-
dulacji QPSK zamiast BPSK i przy zastosowaniu więk-
szej liczby nośnych, choć przy większej liczbie nośnych
może okazać się konieczne nieznaczne zwiększenie licz-
by przesyłanych bitów przeznaczonych na informację o
amplitudzie odejmowanej funkcji odniesienia. Metoda ta
zdecydowanie nadaje się prawie wyłącznie do systemów
OFDM z dużą liczbą nośnych, ze względu na duże moż-
liwe wartości PAPR i właśnie ze względu na malejący ze
wzrostem liczby nośnych udział overhead’u w przesyła-
nych danych.

SPIS LITERATURY

[1] Lampe M., Rohling H., „Reducing of Out-Band-
Emissions Due To Nonlinearities in OFDM Systems”,
IEEE VTC-1999,
[2] May T., Rohling H., „Reducing The Peak-to-
Average-Power Ratio in OFDM Radio Transmission
Systems” IEEE VTC-1998,
[3] Müller S.H., Huber J.B., „OFDM with Reduced The
Peak-to-Average-Power Ratio by Optimum Combination
of Partial Transmit Sequences”, Electronics Letters,
1997, Vol.33, No.5,
[4] Van Nee R., Prasad R., „OFDM for Wireless
Multimedia Communications”, Artech House, 2000,
[5] Park Y.-S., Miller S.L., „The Peak-to-Average-
Power Ratio Suppression Schemes in DTF Based
OFDM”, IEEE VTC-2000,
[6] Pauli M., Kuchenbecker H.-P., „Reduzierung der
durch Nichtlinearitäten hervorgerufenen
Außerbandstrahlung bei einem Mehrträgerverfahren“,
ITG Fachberichte 135, „Mobile Kommunikation“, 1995.