1

Zespół Szkół w Urszulinie 04-05-06

Konspekt lekcji matematyki
w klasie III a gimnazjum

Temat lekcji:

Ś

REDNIA ARYTMETYCZNA, GEOMETRYCZNA

I HARMONICZNA

Cele operacyjne lekcji:

Uczeń:

Umie : wykonywać działania na liczbach rzeczywistych, formułować
i uogólniać wnioski, obliczać poszczególne średnie, dowodzić twierdzenia,
symbolicznie zapisywać opisane sytuacje z życia codziennego;
Rozumie: kiedy stosujemy poszczególne rodzaje średnich;
Zna: definicje i wzory na obliczanie różnych średnich, zna własności
proporcji, pojęcie prędkości średniej.

Metody: problemowo- ćwiczeniowa (elementy wykładu, rozwiązywanie
zadań), pogadanka heurystyczna.

Formy: praca indywidualna, praca w grupach, zbiorowa.

Ścieżki dydaktyczne: wychowanie do życia w społeczeństwie, edukacja
czytelniczo-medialna.

Pomoce dydaktyczne: podręcznik, kalkulator, plansza z zadaniami,
encyklopedia matematyczna, tablica.

Zasady nauczania:
1. łączenie teorii z praktyką,
2. poglądowości,
3. indywidualizacji,
4. stopniowania trudności,
5. systematyczności i rytmiczności w realizacji planu nauczania.

2

Przebieg lekcji:

1)

Przypomnienie pojęcia średniej arytmetycznej.

a) stosowanie średniej arytmetycznej, przykłady z życia codziennego;

b) podanie wzoru ogólnego:

Ś

a

=

n

a

a

a

n

+

+

+

L

2

1

c) obliczanie średniej arytmetycznej ocen z matematyki w II
semestrze– każdy uczeń oblicza własną średnią(praca indywidualna);
d) podanie własności Ś

a

:

Dla a

1

, a

2

,

... , a

n

będzie:

a

1

< Ś

a

< a

n

(średnia arytmetyczna jest większa od najmniejszej

liczby, a mniejsza od największej liczby w zestawie).

2) Wprowadzenie pojęcia średniej harmonicznej i geometrycznej-
uczniowie szukają pojęć i definicji w encyklopedii matematyki.

a)

zapis ogólny:

średnia harmoniczna- Ś

h

=

n

a

a

a

n

1

1

1

2

1

+

+

+

L

średnia geometryczna- Ś

g

=

n

n

a

a

a

⋅

⋅

⋅

L

2

1

b)

zapis dla n=2, n=3, n=4(forma zbiorowa);

dla n=2 Ś

h

=

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+

⋅

⋅

=

⋅

+

=

+

; Ś

g

=

2

1

a

a ⋅

dla n=3 Ś

h

=

3

2

1

1

1

1

3

a

a

a

+

+

; Ś

g

=

3

3

2

1

a

a

a

⋅

⋅

dla n=4 Ś

h

=

4

3

2

1

1

1

1

1

4

a

a

a

a

+

+

+

; Ś

g

=

4

4

3

2

1

a

a

a

a

⋅

⋅

⋅

3

c)

obliczanie trzech średnich dla a

1

=2, a

2

=3, a

3

=6 (uczniowie to

zadanie rozwiązują parami w ławkach –forma zespołowa);

Ś

a

=

5

,

5

2

11

2

6

3

2

=

=

+

+

Ś

h

=

3

1

3

6

1

3

1

2

1

3

=

=

+

+

Ś

g

=

302

,

3

36

6

3

2

3

3

=

=

⋅

⋅

d) zapisanie zależności między średnimi (bez dowodu):

dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi :

h

Ś ≤

g

Ś

a

Ś

≤

e) dowodzenie słuszności proporcji:

a

g

g

h

Ś

Ś

Ś

Ś

=

dla n=2- uczeń

(przy pomocy nauczyciela) dowodzi twierdzenie na tablicy;

Dowód:

a

g

g

h

Ś

Ś

Ś

Ś

=

⇒

a

h

g

Ś

Ś

Ś

⋅

=

2

L=

2

g

Ś

P=

h

a

Ś

Ś ⋅

L

=

2

1

a

a ⋅

=

⋅

⋅

2

1

a

a

(

2

1

a

a ⋅

)

2

=

2

1

a

a ⋅

P=

2

1

2

1

2

1

2

2

a

a

a

a

a

a

+

⋅

⋅

⋅

+

=

2

1

a

a ⋅

L=P, co należało dowieść.

3) Zastosowanie praktyczne średniej harmonicznej (wykorzystanie
planszy z zadaniem).

Treść zadania: Samochód pokonał trasę z Urszulina do Lublina z

prędkością 60 km/h, a trasę z Lublina do Urszulina z prędkością 80
km/h.
Z jaką średnią prędkością pokonał całą trasę?

4

Rozwiązanie:

t

s

v

ś

r

⋅

=

2

; s-droga z Urszulina do Lublina; t-czas jazdy samochodem

w obie strony; v

ś

r

- prędkość średnia na całej trasie;

2

1

t

t

t

+

=

t

1

- czas jazdy z prędkością 60 km/h z Urszulina do

Lublina; t

2

- czas jazdy z prędkością 80 km/h z Lublina do Urszulina;

1

1

v

s

t =

2

2

v

s

t =

stąd:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

v

v

v

v

v

v

v

s

v

s

s

t

s

v

v

v

v

s

v

s

v

s

v

s

t

t

t

ś

r

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

=

⇒

⋅

⋅

+

⋅

=

+

=

+

=

;

podstawiając dane otrzymujemy:

h

km

h

km

v

ś

r

6

,

68

80

60

80

60

2

=

+

⋅

⋅

=

Średnia arytmetyczna ww. prędkości wyniosłaby:

h

km

h

km

v

v

v

arytm

ś

r

70

2

80

60

2

2

1

.

.

=

+

=

+

=

Nietrudno zauważyć, że prędkość średnia arytmetyczna różni się od

rzeczywistej prędkości średniej na całej trasie i jest większa od niej.

4) Zastosowanie praktyczne średniej arytmetycznej- zad. 1, str.213 z

podręcznika - uczeń rozwiązuje ww. zadanie na tablicy.

5)

Rekapitulacja poznanych wiadomości.

a)

średnia arytmetyczna: średnia ocen, średnia frekwencja, średnia

temperatura roczna, średnia roczna wysokość opadów, itd.

b)

średnia harmoniczna: średnia prędkość na drodze tam i z

powrotem;

c)

średnia geometryczna: odległość punktu na okręgu od

ś

rednicy(o praktycznych zastosowaniach tej średniej powiemy na

lekcji następnej).

6) Praca domowa:

d)

dla wszystkich- zad.2, str. 213;

e)

dla chętnych-zad. 4, str. 213.

5

Rozwiązanie zadania dla chętnych (zadanie 4, str.213) .

a)

2

1

2

1

2

a

a

a

a

⋅

=

+

2

1

a

a =

⇔

b)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

a

a

a

a

a

a

a

a

=

⇔

+

⋅

⋅

=

⋅

c)

2

1

2

1

2

1

2

2

a

a

a

a

a

a

+

⋅

⋅

=

+

2

1

a

a =

⇔

Wniosek:

Średnie ww. są równe, gdy a

1

=a

2

.

Dygresja:

Znane są jeszcze inne średnie, np. kwadratowa, ważona,

mediana, itd.


Konspekt opracowała: nauczyciel matematyki mgr Izabela Dziura