Analiza matematyczna – kol. 1 – przykładowe rozwiązanie

Zadanie 1

Oblicz granice ciągu:

a)

lim

→

= lim

→

1 +

= lim

→

1 +

=

= lim

→

1 +

1

4

5

"

#

= $

#

b)

lim

→

√2 − 5

(

− 4 = lim

→

) 2 −

*

+

−

+

= lim

→

) 2 − −

+

=

= lim

→

, ⋅ ./2 − 5 −

4

0 = lim

→

1 √ 2 ⋅ ./2 −

5

−

4

0 = 1 ⋅ lim

→

√2 = 1

c)

lim

→

⋅

34

(

34

⋅(

54

3*

6

= lim

→

⋅ ⋅ ( ⋅(

⋅( ⋅(

54

⋅

*

6

= lim

→

⋅

(⋅(

(⋅( 7⋅

6

= lim

→

/

(⋅

*

0

(⋅

*

+

7

8

+

=

lim

→

(⋅

*

(⋅

*

+

7 6⋅

4

+

= :+∞ ⋅

(⋅#

(⋅# 7 6⋅#

< = +∞

Zadanie 2

Wykaż, że ciąg

= =

(

+

− 2 nie ma granicy.

//dowód na podstawie rozważań z wykładu (wskazujemy dwa różne podciągi ciągu

= , które mają różne granice i

powołujemy się na odpowiednią własność z wykładu).

Zadanie 3

Oblicz granice funkcji

a)

lim

>→+∞

2arcsin

>

1+>

2

Najpierw liczymy granicę funkcji:

lim

>→+∞

>

1+>

2

= 0 – bo granica w punkcie niewłaściwym funkcji wymiernej, gdzie stopień mianownika wyższy niż stopień

licznika (st(M)>st(L))

Zatem

lim

>→+∞

2arcsin >

1 + >

2

=

2arcsin

0 = 2 ⋅ 0 = 0

b)

lim

>→−∞

3 ⋅

1

2

5>2−4>

3>−2

Najpierw liczymy granicę funkcji z wykładnika:

lim

>→−∞

5>

2

− 4>

3> − 2

= lim

>→−∞

5>

2

> −

4>

>

3>

> −

2

>

= lim

>→−∞

5> − 4

3 − 2>

= F

−∞ − 4

3 − 0 G = −∞

Zatem

lim

>→−∞

3 ⋅ 12

5>

2

−4>

3>−2

= lim

H→−∞

3 ⋅ 12

I

= J3 ⋅ K+∞LM = ∞

c)

lim

>→1

>−

√

2−>

√

5−>−2

lim

>→1

> −

√

2 − >

√

5 − > − 2

= F

0

0G = lim

>→1

1

> −

√

2 − >

2

1

> +

√

2 − >

2

1√

5 − > + 2

2

1√

5 − > − 2

2

1√

5 − > + 2

2

1

> +

√

2 − >

2

=

lim

>→1

>

2

−

K

2 − >

L

1√

5 − > + 2

2

1K

5 − >

L

− 4

2

1

> +

√

2 − >

2

= lim

>→1

K

> − 1

L

K

> + 2

L

1√

5 − > + 2

2

−K

> − 1

L

1

> +

√

2 − >

2

=

lim

>→1

K

> + 2

L

1√

5 − > + 2

2

−

1

> +

√

2 − >

2

=

3 ⋅ 4

−2 = −6

Zadanie 4

Zbadaj ciągłość funkcji

OK>L =

P

Q

R>

(

− 4> + 3

> − 3

dla > > 3

0

dla > = 3

$

U

U

dla > < 3

Rozwiązanie

Jedyny punkt podejrzany o nieciągłość:

>

#

= 3.

O – ciągła w punkcie >

#

WXY

Z[ lim

U→U

\

OK>L = OK>

#

L

Zastanawiamy się zatem nad granicą funkcji w punkcie podejrzanym o nieciągłość.

lim

U→

OK>L =?

Funkcja

O jest opisana różnymi wzorami zarówno w lewostronnym jak i prawostronnym otoczeniu punktu >

#

= 3.

Liczymy zatem granice jednostronne.

Granica lewostronna

lim

U→

5

OK>L = lim

U→

5

$

>

>−3

Policzmy granicę samego wykładnika:

lim

U→

5

>

> − 3

= F

3

0 G = −∞

Uzyskujemy zatem:

lim

U→

5

OK>L = lim

U→

5

$

>

>−3

= lim

I→

$

H

= 0

Granica prawostronna

lim

U→

3

OK>L = lim

U→

3

>

2

− 4> + 3

> − 3

=

F

0
0

G

=

lim

U→

3

K> − 3LK> − 1L

> − 3

=

lim

U→

3

K> − 1L

=

2

Mamy więc, że:

lim

U→

5

OK>L ≠ lim

U→

3

OK>L ⇒ lim

U→

OK>L – NIE istnieje

W konsekwencji funkcja

O NIE jest ciągła w punkcie >

#

= 3.

Zadanie 5

Wyznacz asymptoty wykresu funkcji

OK>L =

2>

(

− 3

> + 1

Rozwiązanie

Dziedzina:

> + 1 ≠ 0 ⇔ > ≠ −1

a = ℝ\{−1}

•

Asymptoty pionowe

lim

U→

5

OK>L = lim

U→

5

2>

(

− 3

> + 1 = F

−1

0 G = +∞

lim

U→

3

OK>L = lim

U→

3

2>

(

− 3

> + 1 = F

−1

0 G = −∞

Obie granice jednostronne w punkcie

>

#

= −1 są niewłaściwe, zatem prosta o równaniu > = −1 jest asymptotą

pionową obustronną.

•

Asymptoty poziome

lim

U→

OK>L = lim

U→

2>

(

− 3

> + 1 = lim

U→

2>

(

> −

3

>

>

> +

1

>

= lim

U→

2> − 3>

1 + 1>

= F

−∞ − 0

1 + 0 G = −∞

lim

U→

OK>L = lim

U→

2>

(

− 3

> + 1 = lim

U→

2>

(

> −

3

>

>

> +

1

>

= lim

U→

2> − 3>

1 + 1>

= F

+∞ − 0

1 + 0 G = +∞

Ż

adna z powyższych granic NIE okazała się być liczbą, w związku z tym brak asymptoty poziomej.

•

Asymptoty ukośne

f = g> + h

g = lim

U→

OK>L

> = lim

U→

2>

(

− 3

> + 1

>

= lim

U→

2>

(

− 3

>

(

+ > = 2

h = lim

U→

KOK>L − g>L = lim

U→

2>

(

− 3

> + 1 − 2> = lim

U→

−2> − 3

> + 1 = −2

Obie powyższe granice istnieją i są liczbami, zatem prosta o równaniu

f = 2> − 2 jest asymptotą ukośną w −∞.

Zauważmy, że w

+∞ mamy również:

g = lim

U→

OK>L

> = 2

h = lim

U→

KOK>L − g>L = − 2

Zatem prosta o równaniu

f = 2> − 2 jest asymptotą ukośną również w +∞.