Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
)
(
)
12
5
36
15
8
9
30
10
9
8
6
50
!
10
!
3
!
7
5
10
5
,
0
7
10
5
,
0
4
5
5
,
0
3
5
7
7
3
10
5
5
10
10
5
=
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
∧
=
S
P
S
S
P
Zadanie 2
5
,
0
0
1
5
,
0
0
0
≤
<
≤
+
<
→
=
x
x
N
5
,
1
5
,
0
2
5
,
0
1
1
≤
≤
≤
+
<
→
=
x
x
N
5
,
2
5
,
1
3
5
,
0
2
2
≤
≤
≤
+
<
→
=
x
x
N
dla k>0
(
)
λ
λ
k
λ
k
λ
k
λ
e
e
e
e
e
k
X
k
P
k
N
P
5
,
0
5
,
0
)
5
,
0
(
)
5
,
0
(
1
1
)
5
,
0
5
,
0
(
)
(
−
−
−
−
+
−
−
=
+
−
−
=
+
≤
≤
−
=
=
(
)
∑
∞
=
−
−
−
=
1
5
,
0
5
,
0
k
λ
λ
k
λ
e
e
ke
ODP
(
)
(
)
2
2
3
2
2
1
1
...
1
...
2
...
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
e
e
u
e
e
e
e
e
u
e
e
ue
e
e
u
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
→
−
=
+
+
=
−
+
+
=
+
+
=
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
5
,
0
2
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
2
2
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
5
,
0
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ODP
Zadanie 3
(
)
(
) ( ) (
)
( )
∑
∑
−
+
=
−
=
−
2
2
2
2
2
2
X
nE
n
µ
σ
X
n
E
X
E
X
X
E
i
i
(
)(
)
(
)
=
+
−
+
+
=
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
)
1
(
1
...
...
1
µ
σ
n
n
µ
σ
n
n
X
X
X
X
E
n
X
E
n
n
+
−
+
+
=
2
2
2
2
2
1
µ
σ
n
n
n
µ
σ
(
)
(
) (
)
∑
=
+
−
−
+
−
+
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
µ
σ
n
µ
σ
n
µ
σ
X
X
E
i
(
)
−
=
−
+
−
+
+
−
−
=
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
n
σ
n
n
µ
n
n
σ
1
2
2
1
2
2
−
=
→
=
−
n
c
σ
n
σ
c
Zadanie 4
∫ ∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
∞
−
∞
∞
−
⋅
−
−
−
−
−
=
Π
Π
=
Π
=
Π
=
Π
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
2
x
x
x
x
x
y
e
e
e
dydx
e
e
Zadanie 5
(
)
∑
−
=
2
i
i
ax
y
S
(
)
∑
=
−
−
=
∂
∂
0
2
i
i
i
x
ax
y
a
S
∑
∑
∑
∑
=
→
=
2
2
ˆ
i
i
i
i
i
i
x
y
x
a
ax
y
x
( )
∑
∑
∑
→
=
=
(3,3,3,3)
dla
min
)
var(
)
var(
1
var
2
2
2
2
i
i
i
x
y
y
x
x
a
Zadanie 6
( )
( )
∏
=
−
=
k
i
m
λ
i
N
i
i
i
e
N
m
λ
L
1
!
( )
(
)
∑
=
−
−
=
k
i
i
i
i
i
m
λ
N
m
λ
N
L
1
!
ln
ln
ln
∑
=
=
−
=
∂
∂
k
i
i
i
m
λ
N
λ
1
0
∑
∑
⋅
=
−
λ
m
λ
N
i
i
0
∑
∑
∑
∑
=
=
=
→
=
−
k
i
i
k
i
i
i
i
m
N
λ
m
λ
N
1
1
ˆ
0
Zadanie 7
1
2
θ
θ
>
2
1
1
2
2
1
.
1
θ
θ
θ
x
θ
x
e
e
θ
θ
x
−
+
−
−
=
<
<
[
)
1
2
1
2
2
2
1
,
.
2
θ
θ
x
θ
x
θ
x
e
e
e
θ
θ
x
−
−
+
−
−
=
∈
[
)
1
2
1
2
;
.
3
2
θ
θ
θ
x
θ
x
e
e
e
θ
x
−
+
−
+
−
=
∞
∈
czyli niemalejąca (iloraz wiarygodności)
Z tego:
<
>
=
c
X
0
c
X
1
)
(x
φ
5
,
0
)
(
0
<
=
=
α
x
φ
E
θ
P
1. zał że c<0
∫
∫
∞
−
=
+
0
0
2
1
2
1
c
x
x
α
e
e
( )
α
e
e
c
c
=
−
=
+
−
2
1
1
2
1
1
2
1
5
,
0
1
2
1
>
−
=
α
e
c
1
)
1
(
2
>
−
=
α
e
c
(
)
)
1
(
2
ln
α
c
−
=
odpada
2. c>0
∫
∞
−
=
→
=
c
x
α
c
α
e
2
1
ln
2
1
OK.
>
=
Κ
α
X
2
1
ln
moc:
∫
∞
+
−
>
=
→
=
=
=
=
>
<
α
θ
α
θ
θ
x
θ
α
α
θ
e
α
e
e
e
α
X
P
c
θ
I
2
1
ln
2
ln
2
1
ln
1
4
3
ln
75
,
0
2
1
2
1
2
1
ln
.
więc
odpada
∫
∫
∞
−
−
−
+
−
−
→
=
−
=
+
−
=
+
>
θ
α
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
x
θ
x
e
α
e
e
α
e
e
e
e
c
θ
II
2
1
ln
75
,
0
4
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
c
α
α
α
θ
α
θ
α
e
e
α
θ
θ
=
>
−
=
=
→
=
−
→
=
→
=
→
−
−
2
1
ln
ln
1
ln
ln
25
,
0
4
1
OK.
Zadanie 8
(
) (
)
(
)
8
1
8
1
8
1
,...,
)
(
,...,
,...,
X
X
f
θ
f
θ
X
X
f
X
X
θ
f
=
(
)
(
)
∫
∏
∫
=
−
+
−
−
−
−
−
=
Π
Π
=
Π
Π
=
∑
8
1
2
2
2
8
2
2
8
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
i
θ
θ
x
θ
x
θ
θ
x
e
e
e
e
MIAN
i
i
i
[
]
∫
∫
=
Π
=
Π
=
+
−
+
−
−
+
−
−
−
∑
∑
1
2
)
1
(
2
1
2
9
2
2
1
2
9
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
X
n
θ
θ
n
x
θ
n
X
n
θ
θ
x
e
e
e
e
i
i
∫
∫
=
+
+
−
−
Π
=
Π
=
+
−
+
−
+
−
+
−
−
∑
∑
1
1
2
1
exp
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
)
1
(
1
)
1
(
2
1
2
9
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
X
n
θ
e
e
e
e
n
X
n
x
n
X
n
n
X
n
θ
n
x
i
i
1
2
2
1
)
1
(
2
2
9
2
2
2
+
Π
Π
=
+
−
∑
n
e
e
n
X
n
x
i
(
)
=
+
Π
=
+
Π
Π
Π
=
−
+
−
+
−
−
−
−
∑
∑
2
2
2
2
2
2
2
2
9
32
8
2
9
)
1
(
2
2
9
2
2
2
9
8
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
,...,
X
X
θ
θ
n
X
n
x
θ
θ
n
X
n
θ
x
e
n
n
e
e
e
e
e
e
X
X
θ
f
i
i
Y
X
N
e
e
X
θ
X
X
θ
θ
=
≅
Π
=
Π
=
−
−
+
−
−
9
1
;
9
8
9
1
2
1
9
1
2
1
2
2
2
9
8
2
9
81
64
9
16
2
9
P(a<Y<b)=0
Z tego:
64
,
1
3
9
8
64
,
1
3
9
8
=
−
−
=
−
X
b
X
a
→
3
64
,
1
9
8
3
64
,
1
9
8
+
=
−
=
X
b
X
a
Z tego odpowiedź C najbliżej
Zadanie 9
Zauważmy, że P(wyjścia z
3
1
)
,
2
1
=
e
e
niezależnie od stanu
3
2
)
tan
(
=
ia
pozos
P
stąd:
∑
∞
=
−
=
1
1
3
1
3
2
k
k
k
ODP
9
3
3
3
3
2
1
1
...
3
2
3
2
1
3
2
1
...
3
2
2
3
2
3
2
...
3
2
3
3
2
2
1
2
2
2
=
⋅
=
→
=
−
=
+
+
+
=
−
+
+
=
+
+
+
=
u
u
u
u
3
9
3
1
=
=
ODP
Zadanie 10
∑
=
=
400
220
400
5
,
0
400
i
i
ODP
- to można sprawdzić w tablicach
lub
0256
,
0
)
2
(
1
5
,
0
5
,
0
400
5
,
0
400
220
1
)
1
(
1
≈
Φ
−
=
⋅
⋅
⋅
−
Φ
−
=
−
−
Φ
−
p
np
np
k
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587
2004.06.07 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.11.16 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.10.26 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.12.13 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron