ALGEBRA I - LISTA 4

8.11.2011

ZADANIA O PERMUTACJACH (nie b

,

edziemy ich robi´

c na ´

cwiczeniach, chyba ˙ze

kt´

ore´s b

,

edzie za trudne)

Niech σ ∈ S

n

b

,

edzie permutacj

,

a. No´

snikiem σ nazywamy zbi´

or

supp(σ) = {i ∈ {1, 2, . . . , n} : σ(i) 6= i}

Permutacj

,

e σ nazywamy cyklem d lugo´sci k, je´sli |supp(σ)| = k i wszystkie elementy jej no´snika

mo˙zemy ustawi´

c w ci

,

ag (i

1

, i

2

, . . . , i

k

) taki, ˙ze σ(i

j

) = i

j+1

(indeksy liczone modulo k). Per-

mutacj

,

e tak

,

a zapisujemy σ = (i

1

, i

2

, . . . , i

k

). Oczywi´scie ka˙zdy cykl d lugo´sci k ma dok ladnie

k r´

ownowa˙znych zapis´

ow, tzn. (i

1

, i

2

, . . . , i

k−1

, i

k

) = (i

2

, i

3

, . . . , i

k

, i

1

) = . . .. Cykl d lugo´sci 2

nazywamy transpozycj

,

a.

P.1 Poka˙z, ˙ze je´sli σ jest cyklem d lugo´sci k, to σ

−1

te˙z jest cyklem d lugo´sci k.

Permutacje σ i τ nazywamy niezale˙znymi, je´sli maj

,

a roz laczne no´sniki (por´

ownaj definicj

,

e

cykli roz l

,

acznych).

P.2

• Poka˙z, ˙ze permutacje niezale˙zne komutuj

,

a (tzn. τ σ = στ )

• Poka˙z, ˙ze permutacje, kt´

ore nie s

,

a niezale˙zne, nie komutuj

,

a.

P.3 Poka˙z, ˙ze ka˙zda permutacja jest albo cyklem, albo iloczynem pewnej liczby cykli nie-

zale˙znych. W szczeg´

olno´sci cykle generuj

,

a grup

,

e S

n

.

P.4 Poka˙z, ˙ze ka˙zdy cykl jest iloczyne transpozycji. Wywnioskuj, ˙ze transpozycje generuj

,

a

grup

,

e S

n

.

P.5

• Poka˙z, ˙ze je´sli permutacja σ w rozk ladzie na iloczyn cykli niezale˙znych ( l

,

acznie z cyklami

d lugo´sci 1) ma m cykli, natomiast τ jest transpozycj

,

a, to w στ w rozk ladzie na cykle

niezale˙zne ma m − 1 lub m + 1 cykli.

• Poka˙z, ˙ze element neutralny nie mo˙ze by´c iloczynem nieparzystej liczby transpozycji.

• Wywnioskuj, ˙ze je´sli σ ma dwa r´

o˙zne przedstawienia jako iloczyn transpozycji σ =

τ

1

τ

2

. . . τ

k

= τ

0

1

τ

0

2

. . . τ

0

l

, to k − l jest liczb

,

a parzyst

,

a.

• Wywnioskuj, ˙ze permutacje parzyste (to jest takie, kt´

ore s

,

a iloczynem parzystej ilo´sci

transpozycji) tworz

,

a podgrup

,

e A

n

< S

n

. Podgrup

,

e t

,

e nazywamy grup

,

a alternuj

,

ac

,

a stop-

nia n.

1

• Niech sgn : S

n

→ {1, −1} b

,

edzie zadane przez sgn(σ) = 1 wtedy i tylko wtedy gdy σ jest

parzysta. Poka˙z, ˙ze σ jest homomorfizmem grup ({1, −1} z mno˙zeniem). Homomrfizm
ten nazywamy znakiem permutacji.

• Poka˙z, ˙ze [S

n

: A

n

] = 2 (indeks A

n

w S

n

).

• Udowodnij, ˙ze A

n

jest generowana przez cykle d lugo´sci 3

P.5 Niech σ =

1 2 3 4 5

6

7 8 9 10 11

3 5 4 1 7 11 8 6 9

2

10

• Roz l´

o˙z σ na iloczyn cykli niezale˙znych.

• Roz l´

o˙z σ na iloczyn transpozycji.

• Policz sgn(σ).

• Oblicz σ

100

, σ

2011

, σ

−999

P.6 Poka˙z, ˙ze rz

,

ad cyklu jest r´

owny jego d lugo´sci.

P.7 Udowodnij, ˙ze cykl d lugo´sci k jest permutacj

,

a parzyst

,

a wtedy i tylko wtedy gdy k jest

nieparzyste.

P.8 Wska˙z wszystkie elementy rz

,

edu 10 i 15 w S

8

.

P.9 Wypisz elementy A

4

.

ZAD.1 Wyznacz centrum S

3

i Q

8

ZAD.2 Niech S b

,

edzie jedn

,

a z symetrii w D

6

. Wypisz warstwy (prawo i lewostronne)

< S > w D

6

.

ZAD.3 Wyznacz orbity dzia lania SO(2, R) na R

2

(jako grupy izometrii liniowych)

ZAD.4 Podgrupa (Z

2

, +) dzia la na (R

2

, +) przez lewe translacje a · x = a + x dla a ∈ Z

2

i

x ∈ R

2

. Opisz orbity tego dzia lania.

ZAD.5 Wyznacz Aut(Z

2

), Aut(Z

3

) i Aut(Z).

ZAD.6 Niech grupa abelowa G dzia la na zbiorze X i niech dla pewnego punktu x

0

∈ X

zachodzi gx

0

= x

0

dla pewnego g ∈ G. Udowodnij, ˙ze wtedy gx = x dla wszystkich x ∈ Gx

0

(Gx

0

to orbita x

0

wzgl

,

edem tego dzia lania).

ZAD.7 Udowodnij, ˙ze je´sli p jest liczb

,

a pierwsz

,

a, i |G| = p, to G jest cykliczna.

ZAD.8 Wyznacz warstwy podgrupy nZ =< n >< Z

2

ZAD.9 W grupie multiplikatywnej C

∗

liczb zespolonych r´

o˙znych od 0 opisz warstwy pod-

grup S

1

i podgrupy liczb rzeczywistych. Podaj interpretacje geometryczne tych podgrup.

ZAD.10 Niech α ∈ Aut(G). Poka˙z, ˙ze je´sli |{g ∈ G : α(g) = g}| >

|G|

2

, to α = Id

ZAD.11 Udowodnij, ˙ze je´sli G dzia la na X i Gx = Gy, to St

x

i St

y

s

,

a sprz

,

e˙zone.

3