TAUTOLOGIE KRZ

• Niektóre wypowiedzi są prawdziwe niezależnie od

okoliczności:

1. Pada deszcz lub nie pada deszcz.

2. Jeśli Jan jest wysoki i bogaty, to Jan jest wysoki.

2. Jeśli Jan jest wysoki i bogaty, to Jan jest wysoki.

3. Nie jest prawdą, że jednocześnie pada i nie pada.

•

Aby zgodzić się, że są to zdania prawdziwe,

wystarczy wiedzieć, co znaczy „i”, „lub”, „nie jest
prawdą, że”

TAUTOLOGIE KRZ

• Czasem trudno nam rozstrzygnąć, czy coś jest

tautologią, czy nie:

• Zatrudnię Piotra lub Jana tylko i wyłącznie w tym

wypadku, gdy nie zdarzy się tak, że nie zatrudnię ani
Piotra, ani Jana.

• Deszcz i mróz zobowiązuje MZZUDZPS do

uruchomienia solarek, jednak tak się dzieje tylko i
wyłącznie w tym wypadku, gdy nieuruchomienie
solarek implikuje brak deszczu i brak mrozu.

CO TO JEST TAUTOLOGIA?

• Tautologia KRZ - wyrażenie KRZ, które jest

prawdziwe niezależnie od układu wartości
logicznych zdań składowych

• IDEA:

• IDEA:

•

zdanie prawdziwe w każdej z możliwych sytuacji,

•

prawdziwe na mocy swej struktury logicznej

•

prawdziwe niezależnie od tego, jaka jest
rzeczywistość

PRZYKŁAD: kiedy dwie wypowiedzi są

równoważne logicznie?

• A1. Przestań palić albo ja wychodzę.

• B1. Jak nie przestaniesz palić, to wyjdę.

• A2. Nie można wziąć kawy i nie zapłacić.

• A2. Nie można wziąć kawy i nie zapłacić.

• B2. Jeśli się weźmie kawę, trzeba za nią zapłacić.

• A3. Nie dam rady zjeść i kanapki i ciastka.

• B3. Zrezygnuję z kanapki lub z ciastka.

CO TO ZNACZY, ŻE WYPOWIEDZI SĄ

RÓWNOWAŻNE LOGICZNIE?

PRZYKŁADY

•

A1. Przestań palić albo ja wychodzę.

•

B1. Jak nie przestaniesz palić, to
wyjdę.

• Warunek A jest spełniony w

tych samych sytuacjach, co
warunek B.

• Zdanie A jest prawdziwe w

•

A2. Nie można wziąć kawy i nie
zapłacić.

•

B2. Jeśli się weźmie kawę, trzeba za
nią zapłacić.

•

A3. Nie dam rady zjeść i kanapki i
ciastka.

•

B3. Zrezygnuję z kanapki lub z ciastka.

• Zdanie A jest prawdziwe w

tych samych sytuacjach, co
zdanie B

• Albo oba naruszam albo

oba warunki spełniam

JAK ZBADAĆ, CZY COŚ JEST TAUTOLOGIĄ?

• Trzeba sprawdzić, jak dane zdanie zachowuje się przy

wszystkich możliwych wartościowaniach

• Robimy tabelkę – liczymy, co się dzieje we wszystkich

przypadkach

• UWAGA: takie obliczenia wykonujemy w pamięci w

przypadku prostszych zdań

– „Kandydaci na stanowiska” – w pamięci

•

TAUTOLOGIA – zawsze =1

SCHEMATY WNIOSKOWAŃ

• Jak zapisać schemat rozumowania, w którym występuje szereg

przesłanek?

1. Identyfikujemy przesłanki.

–

To nie są na ogół zdania proste!!!

2. Identyfikujemy wniosek.

2. Identyfikujemy wniosek.

–

Wniosek też nie musi być zdaniem prostym!

3. Zapisujemy w formie schematu.

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to

będzie mógł szybciej spłacić
kredyt, Jan otrzymał awans;
a zatem będzie mógł

SCHEMAT

•

Przesłanki to:

1. Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie

mógł szybciej spłacić kredyt

–

A ⇒ K

a zatem będzie mógł
szybciej spłacić kredyt.

2. Jan otrzymał awans

–

A

•

Wniosek to:

•

Jan będzie mógł szybciej spłacić

kredyt.

– K

•

SCHEMAT:

•

[(A ⇒ K ) ∧ A] ⇒ K

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to

będzie mógł szybciej spłacić
kredyt, Jan nie otrzymał
awansu; a zatem nie będzie

SCHEMAT

• PRZESŁANKI:

1. Jeśli Jan otrzyma awans, to

będzie mógł szybciej
spłacić kredyt

awansu; a zatem nie będzie
mógł szybciej spłacić
kredytu.

spłacić kredyt

2. Jan nie otrzymał awansu

• WNIOSEK

• Jan nie będzie mógł szybciej

spłacić kredytu.

• [(A ⇒ K) ∧ ¬A] ⇒ ¬K

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans lub

wygra proces, to będzie
mógł szybciej spłacić kredyt,
jednak nie dostał awansu

SCHEMAT

•

PRZESŁANKI:

1.

Jeśli Jan otrzyma awans lub wygra proces,
to będzie mógł szybciej spłacić kredyt

–

(A∨P) ⇒ K

2.

Jan nie dostał awansu ani nie wygrał

jednak nie dostał awansu
ani nie wygrał procesu; a
zatem nie będzie mógł
szybciej spłacić kredytu.

2.

Jan nie dostał awansu ani nie wygrał
procesu.

–

¬

A ∧ ¬P

•

WNIOSEK:

•

Jan nie będzie mógł szybciej spłacić

kredytu.

–

¬

K

•

SCHEMAT:

•

[((A∨P) ⇒ K) ∧ (¬A ∧ ¬P)] ⇒ ¬K

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE

• Wnioskowanie dedukcyjne ma następującą

własność:

• Jeśli przesłanki są prawdziwe to wniosek jest

prawdziwy.

prawdziwy.

• MÓWIĄC SWOBODNIE: wnioskowanie

dedukcyjne nie może nas wyprowadzić na
manowce.

• INACZEJ: daje gwarancję sukcesu (przy

pewnych warunkach)

PRZYKŁAD 1

• PRZESŁANKI:
1. Zaproszę Jana lub Piotra

2. Ale nie Jana.

• WNIOSEK:

• WNIOSEK:

• Zaproszę Piotra

• UWAGA: mamy gwarancję prawdziwości

wniosku – o ile prawdziwe są przesłanki

PRZYKŁAD 2

• ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI):
1. Musimy otworzyć filię w Krakowie lub

Poznaniu

2. Ale nie w Krakowie.

2. Ale nie w Krakowie.

• WNIOSEK = ...

• UWAGA: Nie zastanawiamy się nad tym, skąd

wiemy, że spełnione są założenia etc. Nas
interesuje tylko zależność logiczna!

BANALNA UWAGA

• Kiedy zastanawiamy się, czy dany wniosek

wynika z danych przesłanek w sposób logiczny
postępujemy (ogólnie) tak:

• ZAKŁADAMY, że przesłanki są PRAWDZIWE

• ZAKŁADAMY, że przesłanki są PRAWDZIWE

• BADAMY, czy w tej sytuacji (hipotetyczny)

wniosek też jest prawdziwy

PRZYKŁAD 3

•

ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI):

1. Filia w Krakowie lub Poznaniu.

2. Koniecznie we Wrocławiu.

3. Jeśli we Wrocławiu to nie w Poznaniu.

3. Jeśli we Wrocławiu to nie w Poznaniu.

•

WNIOSEK = ...

PRZYKŁAD 3a

•

ZAŁOŻENIA (PRZESŁANKI):

1. Filia w Krakowie lub Poznaniu.

2. Jeśli w Poznaniu to nie we Wrocławiu.

3. Koniecznie we Wrocławiu.

3. Koniecznie we Wrocławiu.

•

WNIOSEK = ...

PRZYKŁAD 3a c.d.

1. Filia w Krakowie lub

Poznaniu.

2. Jeśli w Poznaniu to nie

we Wrocławiu.

1. Filia w K. lub P.

2. Jeśli P, to nie W

3. Koniecznie we

Wrocławiu.

•

WNIOSEK = ...

3. W

• WNIOSEK =

PRZYKŁAD 4

ZAŁOŻENIA

1. Filia w K i w P

2. Gdyby R to nie P.

3. R tylko i wyłącznie wtedy,

JAK MYŚLIMY

1. Na pewno: K, P

2. A więc musi być: nie-R

3. Czyli nie-W

3. R tylko i wyłącznie wtedy,

gdy W

• Gdzie będą filie?

3. Czyli nie-W

•

A zatem: K,P,nie-R,nie-W

PRZYKŁAD 5

• Jakie wnioski można wyprowadzić z

poniższego zbioru przesłanek:

1. Piotr jest niewinny, a Kuba winny.

2. Jeśli Kuba jest winny, to Robert jest niewinny.

2. Jeśli Kuba jest winny, to Robert jest niewinny.

3. Jeśli Stanisław jest winny, to i Piotr jest winny.

• …na pewno nie tabelka… (16 rządków)

PRZYKŁAD 5 c.d.

ZAŁOŻENIA

1.

Piotr jest niewinny, a Kuba
winny.

2.

Jeśli Kuba jest winny, to
Robert jest niewinny.

W WERSJI ZNACZKOWEJ

1. ¬P∧K

2. K ⇒¬R

Robert jest niewinny.

3.

Jeśli Stanisław jest winny,
to i Piotr jest winny.

• Kto jest winny?

2. K ⇒¬R

3. S⇒P

PRZYKŁAD 5 – tylko znaczkami

• Jakie wnioski można wyprowadzić z

poniższego zbioru przesłanek:

1. ¬P∧K

2. K ⇒¬R

2. K ⇒¬R

3. S⇒P

• Jak postępujemy (już bez beletrystyki)?

PRZYKŁAD 6

• Założenia naszej firmy dotyczące nowych filii:
1. Nie otworzymy w Rzeszowie.

2. Jeśli otworzymy w Szczecinie, to otworzymy

też w Rzeszowie.

też w Rzeszowie.

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy,

gdy otworzymy we Wrocławiu.

4. Jeśli nie otworzymy we Wrocławiu, to

otworzymy w Poznaniu.

PRZYKŁAD 6 znaczkami

CO WIEMY

1.

Nie otworzymy w
Rzeszowie.

2.

Jeśli otworzymy w
Szczecinie, to otworzymy

JAK MYŚLIMY

1. ¬R

2. S⇒R

Szczecinie, to otworzymy
też w Rzeszowie.

3.

Otworzymy w Szczecinie
wtedy i tylko wtedy, gdy
otworzymy we Wrocławiu.

4.

Jeśli nie otworzymy we
Wrocławiu, to otworzymy
w Poznaniu.

2. S⇒R

3. S⇔W

4. ¬W⇒P

PRZYKŁAD 7

1. Jeśli otworzymy we Wrocławiu, to nie

otworzymy w Poznaniu.

2. Nie otworzymy w Rzeszowie.

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy,

3. Otworzymy w Szczecinie wtedy i tylko wtedy,

gdy otworzymy we Wrocławiu.

4. Jeśli otworzymy w Gdańsku, to otworzymy

też w Rzeszowie.

5. Jeśli nie otworzymy w Poznaniu, to

otworzymy w Gdańsku.

PRZYKŁAD 8

CO WIEMY

1. K ∧ ¬P

2. R ⇒P

3. R∨S

JAK MYŚLIMY

1. Czyli musi być: K, ¬P (K=1,

P=0)

2. A więc nie może być R

(R=0)

3. R∨S

WNIOSKI:

(R=0)

3. Skoro jedno z dwojga, ale

nie jest to R, więc musi być
S (S=1)

• WNIOSKI: K, ¬P, ¬R, S

• K=1, P=0, R=0, S=0

PRZYKŁAD 9

• Mamy następujące przesłanki: p, p⇒q,

q⇔(r∨s), ¬r

• Co możemy powiedzieć o wartościach p,q,r,s?
1. p

1. p

2. p⇒q

3. q⇔(r∨s)

4. ¬r

DWIE METODY BADANIA

„PRZESŁUCHANIE ŚWIADKÓW”

1.

Rozważamy wszystkie możliwe
warianty

2.

Po kolei korzystamy z przesłanek

3.

Eliminujemy sytuacje niezgodne z
przesłankami

KROK PO KROKU

1.

Korzystamy z przesłanek
„wyciągając” to co jest widoczne

2.

Zaczynamy od najprostszej do
analizy

3.

W trakcie dalszej analizy korzystamy

przesłankami

4.

EFEKT: na końcu zostają te sytuacje,
które są zgodne z wszystkimi
przesłankami

–

TAKICH SYTUACJI MOŻE BYĆ
KILKA

5.

Hipoteza jest wnioskiem, jeśli
zachodzi we wszystkich sytuacjach z
kroku 4

3.

W trakcie dalszej analizy korzystamy
z efektów naszej pracy

4.

EFEKT: Dowiadujemy się, jakie są
wartości logiczne zdań prostych
(ew: jakie są dopuszczalne
wartościowania)

5.

Hipoteza jest wnioskiem, jeśli
zachodzi we wszystkich sytuacjach z
kroku 4

KONSEKWENCJA LOGICZNA

• Zamiast powiedzieć, że zdanie Z dedukcyjnie

wynika z przesłanek …, możemy powiedzieć,
że zdanie Z jest konsekwencją logiczną
przesłanek …

przesłanek …

• Konsekwencja logiczna to najsilniejszy rodzaj

związku między informacjami zawartymi w
przesłankach a wnioskiem.

• Jest to pojęcie ogólne – nie związane tylko z

KRZ (o tym później)

KONSEKWENCJA LOGICZNA A TAUTOLOGIE

• FAKT: wnioskowanie jest niezawodne

(wniosek logicznie wynika z przesłanek) ↔
jego schemat jest tautologią

• MORAŁ: mamy sposób sprawdzania, czy dana

hipoteza wynika z przesłanek

– Metoda czasochłonna, ale mechaniczna

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to

będzie mógł szybciej spłacić
kredyt, Jan otrzymał awans;
a zatem będzie mógł

SCHEMAT

•

[(A ⇒ K ) ∧ A] ⇒ K

a zatem będzie mógł
szybciej spłacić kredyt.

• Jest wnioskiem logicznym.

• (Wnioskowanie jest

niezawodne)

• Jest tautologią

PRZYKŁAD

WNIOSKOWANIE

• Jeśli Jan otrzyma awans, to

będzie mógł szybciej spłacić
kredyt, Jan nie otrzymał
awansu; a zatem nie będzie

SCHEMAT

• [(A ⇒K) ∧ ¬A] ⇒ ¬K

• NIE JEST tautologią.

awansu; a zatem nie będzie
mógł szybciej spłacić
kredytu.

• NIE JEST (!) wnioskiem

logicznym.

PRZYKŁAD

PRZESŁANKI / WNIOSEK

• PRZESŁANKI: p; p ⇒ q

• HIPOTEZA: q

• Jest wnioskiem logicznym

SCHEMAT

• [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

• Schemat jest tautologią

• Jest wnioskiem logicznym

• PRZESŁANKI: q; p ⇒ q

• HIPOTEZA: p

• Nie jest wnioskiem

logicznym

• Schemat jest tautologią

• [q ∧ (p ⇒ q)] ⇒ p

• Schemat nie jest tautologią

METODY BADANIA, CZY COŚ JEST

KONSEKWENCJĄ LOGICZNĄ

1. „Przesłuchanie”

2. Metoda krok po kroku

3. Zapis schematu i zbadanie, czy jest tautologią

•

To, jaka metoda jest najlepsza (=najszybsza)
zależy od okoliczności

•

Wszystkie dają oczywiście ten sam wynik!