Egzamin z Algebry 1, 30 I 2007, godz 9.00
1. Opisać postać trygonometryczną liczby zespolonej z = a + ib. Obliczyć:
" 12 " 12
1 - 3i 1 + 3i
+
2 2
RozwiÄ…zanie:
"
1 - 3i
Zapisujemy liczbÄ™ w postaci trygonometrycznej:
2
"

1 - 3i

= 1

2
1
cos Ć =
2
"
3
sin Ć = -
2
Ć = -Ą
3
"
1 - 3i Ä„ Ä„
= 1(cos(- ) + i sin(- ))
2 3 3
" 12
1 - 3i
= 112(cos(-12Ä„ ) + i sin(-12Ä„ )) = 1
3 3
2
" 12 " 12
1 + 3i 1 - 3i
Ponieważ liczba jest liczbą sprzężoną do , więc:
2 2
" 12
1 + 3i
= 1
2
Odpowiedz
: wartością wyrażenia jest 1+1=2

2 1 2 -  1
2. Dana jest macierz A = . Dla jakich  macierz B = posiada
1 5 1 5 - 
macierz odwrotną. Wykazać, że macierz A spełnia równanie: A2 - 7A + 9J = 0
RozwiÄ…zanie:
Macierz B posiada macierz odwrotnÄ… wtedy i tylko wtedy gdy det B = 0 . RozwiÄ…zu-

jemy równanie det B = 0
det B = (2 - )(5 - ) - 1 = 2 - 7 + 9 = 0
" = 13
" "
7 - 13 7 + 13
1 = , 2 =
2 2
Macierz B posiada macierz odwrotnÄ… dla  = 1 i  = 2

Macierz A spełnia równanie A2 - 7A + 9J = 0 ponieważ jest to równanie wiekowe tej
macierzy. Można to też pokazać bezpośrednio:

5 7
A2 = AA = .
7 26

5 7 -14 -7 9 0 0 0
A2 - 7A + 9J = + + =
7 26 -7 -35 0 9 0 0
3. Podać definicję iloczynu mieszanego wektorów, postać analityczną i interpretację ge-

ometrycznÄ… tego iloczynu. Dla jakiego  k wektory = [-1, 2, 1] ; b = [2, 1, 3] ;
a
= [-4, 3, k] sÄ… współpÅ‚aszczyznowe. Przedstawić w postaci = Ä… + ² dla wyz-
c c c a b
naczonego k.
RozwiÄ…zanie:

Wektory , b , są współpłaszczyznowe gdy ich iloczyn mieszany jest równy 0.
a c


-1 2 1


2 1 3 = -k - 24 + 6 + 4 + 9 - 4k = -5k - 5 = 0


-4 3 k
k = -1

A więc wektory , b , są współpłaszczyznowe dla k = 1 .
a c
Aby znalez
ć Ä… i ² rozwiÄ…zujemy równanie wektorowe:
[-4, 3, -1] = Ä…[-1, 2, 1] + ²[2, 1, 3]
Przekształcamy do układu równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ -Ä… + 2² = -4
òÅ‚
2Ä… + ² = 3
ôÅ‚
ół
Ä… + 3² = -1
Układ ten ma jedno rozwiązanie (2 niewiadome, rzędy A i AR są równe 2)
RozwiÄ…zaniem jest:
Ä… = 2 , ² = -1
4. Wyznaczyć styczną do paraboli y2 = 8x równoległą do prostej x + y = 0 .
RozwiÄ…zanie:
Prosta równoległa do prostej y = -x ma równanie y = -x + b
Prosta ta jest styczna do praboli gdy ma z nią jeden punkt przecięcia.
Szukamy ilości rozwiązań układu:

y2 = 8x
y = -x + b
x = b - y
y2 = -8y + 8b
y2 + 8y - 8b = 0
" = 64 + 32b
Układ ma jedno rozwiązanie gdy " = 0 czyli dla b = -2
Odpowiedz
: Równanie szukanej prostej stycznej: y = -x - 2
5. Wyznczyć odległość punktu P (-1, 2, 1) od prostej:

x - y + 2 = 0
l :
2x + y - z = 0
RozwiÄ…zanie:
-

| × AP |
v
Odległość punktu P od prostej jest równa: d = , gdzie A jest dowolnym
|
v|
punktem prostej, a jest jej wektorem kierunkowym. Przekształcamy równanie prostej
v
l do postaci parametrycznej.
x = t
y = t + 2
z = 2t + t + 2 = 3t + 2
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t
òÅ‚
l : y = t + 2
ôÅ‚
ół
z = 3t + 2
Wektor równoległy do prostej = [1, 1, 3]
v
Bierzemy dowolny punkt leżący np. dla t = 0 A(0, 2, 2) . Wtedy:
-

AP = [-1, 0, -1]
-

× AP = [-1, -2, 1]
v
Odległość punktu P od prostej l jest równa:
"
6
"
d =
11
6. Znalez
ć płaszczyznę styczną do sfery x2 + y2 + z2 - 2x + 2z = 2 prostpadłą do prostej
x y+1
l : = = z
2 -1
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie sfery S : (x - 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4
Z tego równania mamy środek sfery: O(1, 0, -1) i jej promień R = 2
Wektor kierunkowy prostej l = [2, -1, 1] jest prostopadły do szukanej płaszczyzny
v
stycznej. Płaszczyzna ta ma więc równanie: 2x - y + z + D = 0 . Płaszczyzna ta będzie
styczna do sfery gdy odległość środka sfery od tej płaszczyzny będzie równa R.
|2 - 0 - 1 + D|
"
= 2
6
"
|D + 1| = 2 6
"
D1 = -1 - 2 6
"
D2 = -1 + 2 6
Odpowiedz
: Równania płaszczyzn stycznych:
"
Ä„1 : 2x - y + z - 1 - 2 6 = 0
"
Ä„2 : 2x - y + z - 1 + 2 6 = 0