Ć w i c z e n i e 8

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY

METODĄ STOKESA

8.1 Opis teoretyczny

Przepływ cieczy rzeczywistej charakteryzuje zawsze pewien poślizg jej warstewek. Gdy na przy-
kład ciecz spływa po nachylonej gładkiej powierzchni, to jej warstewki znajdujące się blisko dna
płyną wolniej niż warstewki znajdujące się bliżej jej powierzchni (rys 8.1). Najszybciej porusza się
warstwa powierzchniowa cieczy, natomiast warstwa przylegająca bezpośrednio do dna nie porusza
się wcale.

V

1

V

2

V

3

V

4

V

5

V

6

V

7

Rys.8.1. Poślizg powierzchni wewnętrznych cieczy przy jej przepływie

Ponieważ w cieczach rzeczywistych istnieją siły międzycząsteczkowe (siły van der Waalsa) więc
takim poślizgom towarzyszy opór poślizgu zwany tarciem wewnętrznym lub oporem lepkości.
Opór lepkości cieczy występuje nie tylko przy ruchu cieczy względem nieruchomych ścianek, jak
np. przy przepływie przez rurki, ale również przy ruchu ciała względem nieruchomej cieczy. Ten
drugi przypadek jest przedmiotem omawianego ćwiczenia. Każde ciało poruszające się w cieczy
pociąga za sobą, dzięki istnieniu sił międzycząsteczkowych, sąsiadujące z nim warstewki. Zobra-
zować to można na przykładzie kulki poruszającej się w cieczy. Kulka unosi ze sobą warstwę przy-
legającego płynu, a ten na skutek zjawiska tarcia wewnętrznego wprawia w ruch następne warstwy.
W ogólnym przypadku siła oporu F

T

jaką płyn stawia poruszającemu się ciału jest proporcjonalna

do wielkości ciała i zależy od jego kształtu, prędkości ruchu kulki V oraz od współczynnika

η

określającego lepkość ośrodka, w którym odbywa się ruch. Zależność tę można wyrazić wzorem:

V

η

a

k

F

T

r

r

−

=

(8.1)

gdzie: k – współczynnik proporcjonalności zależny od kształtu ciała, a – wielkość charakteryzująca
wymiary ciała.

We wzorze pojawia się minus, gdyż siła oporu skierowana jest przeciwnie niż wektor prędkości
ciała.
W przypadku ciała o kształcie kuli o promieniu r powyższy wzór przyjmuje postać:

V

η

r

π

6

F

T

r

r

−

=

(8.2)

Zależności wyrażone równaniami (8.1) i (8.2) noszą nazwę prawa Stokesa. Zasadnicze cechy tego
prawa to proporcjonalność oporu lepkości do prędkości ruchu V.
Wzór (8.2) jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W przypadku,
gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o wewnętrznym promieniu R, pojawia się dodatko-
we hamowanie ruchu kulki na wskutek zachodzenia dodatkowego tarcia poruszających się warstw
cieczy (pociąganych przez kulkę) o nie poruszającą się warstwę cieczy zwilżającą cylinder. Im
ścianka cylindra znajduje się bliżej poruszającej się kulki, tym efekt ten jest silniejszy. Zależy on od
stosunku promieni r/R . Po uwzględnieniu tej poprawki wzór (8.2) przyjmuje postać:











 +

−

=

R

r

2,4

1

V

η

r

π

6

F

T

r

r

(8.3)

Ponieważ gęstość materiału kulki

K

ρ

jest większa od gęstości cieczy

C

ρ

, w ćwiczeniu obserwu-

jemy opadanie kulki zanurzonej w cieczy w polu grawitacyjnym Ziemi.
Na kulkę podczas jej ruchu działają trzy siły:

1)

siła ciężkości kulki skierowana w dół

K

r

ρ

π

3

G

3

4

F

=

r

(8.4)

2)

siła wyporu cieczy skierowana do góry

C

r

ρ

π

3

W

3

4

F

=

r

(8.5)

3)

siła Stokesa wyrażona wzorem (8.3) i skierowana przeciwnie do ruchu kulki, a więc ku

górze.

Siła wypadkowa działająca na kulką jest sumą powyższych sił:

T

W

G

F

F

F

F

r

r

r

r

+

+

=

(8.6)

Uwzględniając wyrażenia (8.3), (8.4) i (8.5) oraz kierunki działania sił można zapisać wzór na war-
tość bezwzględną siły wypadkowej w postaci:











 +

−

−

=

R

r

2,4

1

V

η

r

π

6

)

(

3

4

F

3

C

K

g

r

ρ

ρ

π

(8.7)

Dla prędkości V = 0 jest ona największa. Pod jej działaniem kulka będzie opadać coraz szybciej.
Ale ponieważ w miarę wzrostu prędkości siła F maleje, w pewnym monęcie ustali się osiągnie ona

wartość zera i od tej chwili kulka porusza się już ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością zwaną
dalej graniczną V

gr

) . Kładąc we wzorze (8.7) F = 0 po przekształceniach otrzymujemy:

gr

2

V

R

r

2,4

1

9

)

(

2











 +

−

=

C

K

g

r

ρ

ρ

η

(8.8)

V

gr

można łatwo wyznaczyć przez pomiar czasu opadania kulki t na określonej drodze L w czasie

jej ruchu jednostajnego:

t

L

=

gr

V

co daje końcowo wyrażenie:











 +

−

=

R

r

2,4

1

9

)

(

2

2

L

g

t

r

C

K

ρ

ρ

η

(8.9)

Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszyst-
kich wielkości występujących po prawej stronie powyższego wzoru.

8.2 Opis układu pomiarowego

Przyrząd do pomiaru

η składa się ze szklanego cylindra napełnionego badaną cieczą, na którym

znajdują się dwa poziome paski położone w odległości L

jeden od drugiego. Górny pasek musi być

umieszczony w wystarczająco dużej odległości od powierzchni cieczy, aby zagwarantować jedno-
stajny ruch kulki. Odległość między paskami mierzy się przymiarem metrowym, a czas opadania
kulki – stoperem. W ćwiczeniu używamy kulek ołowianych ( śrutu ), których średnicę mierzy się
śrubą mikrometryczną. Po przeliczeniu średnicy na promień r , kulkę należy wrzucić do cylindra w
celu wykonania pomiaru czasu t.
Dane do ćwiczenia:

R = 50

±1 mm

3

/

23

,

1

cm

g

gliceryny

=

ρ

3

/

86

,

0

cm

g

parafiny

=

ρ

3

/

3

,

11

cm

g

Pb

=

ρ

L

=

100,0

± 0,2 cm

8.3. Przebieg pomiarów

1. Śrubą mikrometryczną zmierzyć średnicę kulki ołowianej {aby nie deformować kulek, nie nale-

ży ich mocno ściskać).

2. Wrzucić kulkę do cylindra nie dotykając lejka, który jest wstawiony, aby nadać kulce odpo-

wiedni kierunek ( tor kulki powinien pokrywać się z osią cylindra).

3. Zmierzyć czas opadania kulki między dwoma paskami (należy tak patrzeć na krawędź paska,

aby uniknąć błędu paralaksy).

4. Pomiary według pkt. 1

÷ 3 wykonać przynajmniej dla 10 kulek

5. Pomiary według pkt. 1

÷ 4 powtórzyć dla drugiej cieczy.

8.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Korzystając ze wzoru (8.9) obliczyć współczynnik lepkości dla każdej pary wyników: promień

kulki – czas jej spadku w cieczy.

2. Obliczyć wartość średnią otrzymanych wyników współczynnika lepkości i jej średni błąd kwa-

dratowy.

3. Punkty 1

÷ 2 powtórzyć dla drugiej cieczy.

4. Otrzymane rezultaty porównać z wartościami tablicowymi i wyciągnąć odpowiednie wnioski.

8.5. Pytania kontrolne

1. Co nazywamy lepkością cieczy i jaki jest jej powód?.
2. Sformułować i wyrazić wzorem prawo Stokesa.
3. Jakie warunki muszą być spełnione, aby przedstawiona teoria ruchu ciała w ośrodku ciągłym

była słuszna?.

L i t e r a t u r a

[1] Dryński. T.: Ćwiczenia laboratoryjne PWN, Warszawa 1976.
[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975.
[3] Jaworska B., Dietław A., Miłkowska L., Siergiejew G.: Kurs Fizyki tom I Mechanika,
Podstawy fizyki cząsteczkowej i termodynamiki, PWN, Warszawa 1974.