Prawa komutacji:

W_L(0^-)=W _L(0⁺) W_C(0^-)=W_C(0⁺)

i_L(0^-)=i_L(0⁺) u_C(0^-)=u_C(0⁺)

Układ szeregowy RL:

Załączenie źródła napięcia stałego:

E=u_R(t)+u_L(t);

u_R(t)=Ri(t); u_L(t)=L(di(t)/dt);

(di(t)/dt)+(R/L)i(t)=E/L; (di(t)/dt) +(R/L)i(t)=0

Stała czasu ukł. RL:

τ =L/R; i(t)=(E/R)(1-e^{-t/τ});

u_R(t)=Ri(t)=E(1-e^{-t/τ}); u_L(t)=E-Ri(t)=L(di(t)/dt)=Ee^{-t/τ};

Załączenie źródła napięcia sinusoidalnego:

e(t)=E_msin(ωt+ψ); e(0⁺)= E_msin(ψ);

(di(t)/dt)+(R/L)i(t)=( E_m/L)sin(ωt+ψ);

Z=√(R²+(ωL)²); ϕ=arctg(ωL/R);

i(t)=( E_m/Z){sin(ωt+ψ-ϕ)-sin(ψ-ϕ)e^{-(R/L)t}};

Układ szeregowy RC:

Załączenie źródła napięcia stałego:

E=u_R(t)+u_C(t);

u _R(t)=Ri(t); i(t)=C(du_C(t)/dt);

(du_C(t)/dt)+(1/RC) u_C(t)=E/(RC);

u_C(t)=U(1-e^{-t/(τ)}; τ=RC;

u _R(t)=E-u_C(t)=Ee^{-t/τ}; i(t)=( u _R(t)/R)= (E/R)e^{-t/τ};

Załączenie źródła napięcia sinusoidalnego:

Z=√(R²+(1/(ωC))²); ϕ=arctg(1/(ωRC));

u(t)=( E_m/(ωCZ)){-cos(ωt+ψ+ϕ)+cos(ψ+ϕ)e^{-t/(RC)}};

Układ szeregowy RLC:

Załączenie źródła napięcia stałego:

i(0^-)=i(0⁺)=0; u_C(0^-)=u_C(0⁺)=0;

E=u _R(t)+u_L(t)+u_C(t); i(t)=C(du_C(t)/dt);

u _R(t)=Ri(t); u_L(t)=L(di_L(t)/dt);

(d²u_C(t)/dt²)+(R/L)(du_C(t)/dt)+(1/LC)u_C(t)=E/(LC)

Metoda zmiennych stanu:

y(t)=Cx(t)+Du(t);

(d/dt)x(t)=Ax(t)+Bu(t) -równanie stanu;

x(t)=exp(At)x₀+₀∫^t exp(a(t-τ))Bu(τ)dτ -rozw. równ. stanu;

Wyznaczanie exp(At) metodą Sylvestera:

det(λ[1]-[A])=0; ϕ(λ)=0;

Wyznaczanie exp(At) metodą wektorów własnych :

[A][U_k]=λ_k[U_k]; [A][U]=[U][D]

Metody częstotliwościowe :

Podstawowe własności przekształcenia Laplace'a:

F(s)=₀∫^∞ f(t)exp(-st)dt; s=σ+jω;

Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów:

F(jω)=f(ω)exp[jϕ(ω)]

Transmitancja częstotliwościowa: Y(jω)= H(jω)X(jω)

Charakterystyki amplitudowa i fazowa: H(jω)=H(ω)exp[jϕ(ω)]; Ch. Amplitudowo-fazowa: H(jω)=P(ω)+jQ(ω)];

Ch. Naturalna logarytmiczna amplitudowa: L(ω)=lnH(ω), [Np]

Logarytmiczna ch. Amplitudowa: L(ω)=20lgH(ω), [dB]

Dla filtra dolnoprzepustowego RC:

Y(jω)=(1/(1+jωRC))X(jω); H(jω)=(1/(1+jωRC))

Ch.A.: H(ω)={1/[√(1+(ωRC)²)]};

Ch.F.: ϕ(ω)=-arctg(ωRC)

Ch.L.A.: L(ω)=-10lg{1+[ω/(ω_gr­)]²} ω_gr=1/(RC)

Dla filtra górnoprzepustowego RC:

Y(jω)=(1ωRC/(1+jωRC))X(jω); H(jω)=(1+jωRC/(1+jωRC))

Ch.A.: H(ω)={ωRC /[√(1+(ωRC)²)]};

Ch.F.: ϕ(ω)=(π/2)-arctg(ωRC)

Ch.L.A.: L(ω)=20lg{(ω/ω_gr)/√[1+(ω/ω_{gr ­})²]}

Przekształcenie Z :

Sygnał dyskretny	Transformata Z	Promień zbieżności
F[n]=δ[n]={1 dla n=0 {0 dla n>0	F(z)=1	R0=0
F[n]=δ[n-k] , n≥0	F(z)=z^-k	R0=1
F[n]=ε[n]=1, n≥0	F(z)=z/(z-1)	R0=1
F[n]=a^n, n≥0	F(z)=z/(z-a)	R0=a

Transmitancja układu cyfrowego:

dla: y[n]+a₁[n-1]=b₀x[n]+b₁x[n-1];

to po: Y(z)(1+a₁z^-1)+a₁y[-1]=X(z)(b₀+b₀z^-1);

jest zależność: Y(z)=( b₀+b₀z^-1)/(1+a₁z^-1)X(z)+(-a₁y[-1])/( 1+a₁z^-1)

i funkcja: H(z)= ( b₀+b₀z^-1)/(1+a₁z^-1)

---