Rachunek kwantyfikatorów - ćwiczenia (ciąg dalszy)
Sformułuj zdania odpowiadające poszczególnym schematom:
∀x P(x) → ∀x Q(x) Jeżeli wszystko jest bocianem, to wszystko jest ptakiem.
∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) Istnieją bociany i istnieją czarne [ptaki].
∀x [P(x) → Q(x)] Jeżeli cokolwiek jest bocianem, to jest też ptakiem.
∃x [P(x) ∧ Q(x)] Istnieją czarne bociany.
Pomiędzy powyższymi zdaniami i schematami zachodzą następujące zależności:
{ ∃x [P(x) ∧ Q(x)] } → { ∃x P(x) ∧ ∃x Q(x) }
Jeżeli istnieją czarne bociany, to istnieją bociany i istnieją czarne ptaki.
{ ∀x [P(x) → Q(x)] } → { ∀x P(x) → ∀x Q(x) }
Skoro cokolwiek jest bocianem, jest też ptakiem, to jeśli wszystko byłoby bocianem, wszystko musiałoby być też ptakiem.
Sformułuj zdania odpowiadające poszczególnym schematom (zakładając, że zakres zmiennych ogranicza się do zbioru ludzi):
∼∀x P(x) Nieprawda, że każdy jest Polakiem.
∀x ∼P(x) Nikt nie jest Polakiem.
∼∃x P(x) Nie istnieją Polacy.
∃x ∼P(x) Istnieje ktoś, kto nie jest Polakiem.
Utwórz schematy do podanych zdań:
Niektórzy matematycy są muzykalni. ∃x [P(x) ∧ Q(x)]
Wszyscy matematycy są muzykalni. ∀x [P(x) → Q(x)]
Tylko matematycy są muzykalni. ∀x [Q(x) → P(x)]
Nie tylko matematycy są muzykalni. { ∃x [∼P(x) ∧ Q(x)] } ∧ { ∃x [P(x) ∧ Q(x)] }
Wszyscy matematycy i fizycy są muzykalni. ∀x { [P(x) ∨ Q(x)] → R(x) }
Każdy muzykalny matematyk jest introwertykiem. ∀x { [P(x) ∧ Q(x)] → R(x) }
Sformułuj zdania odpowiadające poszczególnym schematom (zakładając, że zakres zmiennych ogranicza się do zbioru ludzi):
∀x ∀y R(x,y) Każdy boi się każdego.
∃x ∃y R(x,y) Ktoś boi się kogoś.
∀x ∃y R(x,y) Każdy boi się kogoś.
∃x ∀y R(x,y) Ktoś boi się każdego.
∼∃x ∃y R(x,y) Nikt nie boi się nikogo.
∼∃x ∀y R(x,y) Nikt nie boi się każdego.
Utwórz schematy do podanych zdań, mając do dyspozycji funktory = i <, i wiedząc, że zakres zmiennych ogranicza się do zbioru liczb:
Każda liczba jest równa sobie samej.
∀x (x=x)
Żadna liczba nie jest mniejsza od siebie samej.
∼∃x (x<x)
Jeśli jakaś liczba jest mniejsza od pewnej liczby, to ta druga nie jest mniejsza od pierwszej.
∀x ∀y [(x<y) → ∼(y<x)]
Z dwóch różnych liczb jedna jest mniejsza od drugiej.
∀x ∀y { ∼(x=y) → [(x<y) ∨ (y<x)] }
Istnieje liczba najmniejsza.
∃x ∀y [∼(x=y) → (x<y)]
Nie istnieje liczba największa.
∼∃x ∀y [∼(x=y) → (x>y)]
Każde dwie liczby równe trzeciej liczbie są równe sobie nawzajem.
∀x ∀y ∀z { [(x=z) ∧ (y=z)] → (x=y) }
Utwórz schematy do podanych zdań:
Wszyscy boimy się pewnych ludzi.
∀x ∃y R(x,y) w sensie: Każdy boi się pewnych ludzi.
∃x ∀y R(y,x) w sensie: Istnieją tacy ludzie, którzy to mają do siebie, że każdy się ich boi.
Każdy matematyk jest uczniem pewnego matematyka.
∀x { P(x) → ∃y [P(y) ∧ R(x,y)] }
Pewien matematyk nie ma uczniów wśród matematyków.
∃x { P(x) ∧ ∼∃y [P(y) ∧ R(y,x)] }
To nie Oswald (a) zabił (P) Kennedy'ego (b).
∃x [P(x,b) ∧ (x≠a)]
Utwórz schematy poniższego zdania:
Każdy filozof głosi jakieś twierdzenie, którego pewien filozof nie uznaje.
P - być filozofem
Q - być twierdzeniem
R - głosić
S - nie uznawać
∀x { P(x) → ∃y [ Q(y) ∧ R(x,y)] ∧ ∃z [P(z) ∧ ∼S(z,y)] }
LOGIKA