WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

1

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

Z9/2.1. Zadanie 2

Rysunek Z9/2.1 przedstawia wykresy sił przekrojowych w belce złożonej. Belka jest wykonana

z dwóch ceowników tworzących przekrój skrzynkowy. Jest on pochylony o kąt 12 stopni w stosunku do
pionu. Przedstawia to rysunek Z9/2.2. Wykorzystując Tablice do projektowania prętów zginanych ukośne
zaprojektować przekrój pręta a następnie wykonać wykres naprężenia normalnego

σ

X

w najbardziej obciążo-

nym przekroju oraz w przekroju, w którym moment zginający osiąga ekstremalną wartość w przedziale CD.
Wytrzymałość stali, z której wykonana jest belka wynosi 215 MPa.

A

B

C

D

E

8,0 kNm

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

14

,0

50

,0

32,0

40

,0

12,0

8,

0

0,

0

0,

0

12

,0

0,875

3,125

0,875

3,125

1,333

1,667

1,333

1,667

14

,1

3

21

,3

3

64

,0

Rys. Z9/2. Wykresy sił przekrojowych w belce

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

Rys. Z9/2.2. Położenie przekroju pręta w stosunku do płaszczyzny obciążenia

Z9/2.2. Zaprojektowanie przekroju pręta

Na podstawie wykresów sił przekrojowych możemy stwierdzić, że ekstremalny moment zginający na

długości belki działa w przekroju znajdującym się nad podporą przegubowo-przesuwną B. Wartość
bezwzględna tego momentu wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

2

M

Y

EXT

=

64,0 kNm=6400 kNcm

.

(Z9/2.1)

W Tablicy T9.11 dla przekroju skrzynkowego składającego się z dwóch ceowników w kolumnie odpo-
wiadającej nachyleniu 12 stopni odnajdujemy pierwszy przekrój, którego nośność jest większa niż ekstre-
malny moment zginający (Z9/2.1). Przekrojem tym jest skrzynka zbudowana z dwóch ceowników 200,
której nośność wynosi

M

R

=

65,99 kNm

.

(Z9/2.2)

Nie musieliśmy stosować współczynnika (T9.7), ponieważ wytrzymałość stali wynosi 215 MPa.

Rysunek Z9/2.3 przedstawia podstawowe wymiary pojedynczego ceownika. Pole powierzchni

odczytane w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych wynosi

A

1

=

A

2

=

32,2 cm

2

.

(Z9/2.3)

Wartości głównych momentów bezwładności dla każdego z ceowników wynoszą

J

Y01

=

J

Y02

=

1910 cm

4

,

(Z9/2.4)

J

Z01

=

J

Z02

=

148,0 cm

4

.

(Z9/2.5)

Y

01

Z

01

10

,0

10

,0

7,5

5,49

2,01

Z

02

[cm]

10

,0

10

,0

7,5

5,49

2,01

Y

02

sc

1

sc

2

Rys. Z9/2.3. Wymiary ceownika 200

Rysunek Z9/2.4 przedstawia wymiary przekroju skrzynkowego. Środek ciężkości znajduje się w punkcie
przecięcia się osi symetrii przekroju. Osie środkowe są także osiami głównymi dla tego przekroju. Współ-
rzędne środka ciężkości ceownika numer 1 oraz 2 w układzie osi głównych przekroju skrzynkowego
wynoszą

y

01

=

5,49 cm , z

01

=

0,0 cm

,

(Z9/2.6)

y

02

=−

5,49cm , z

02

=

0,0 cm

.

(Z9/2.7)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

3

Y=Y

01

=Y

02

=Y

gl

Z=Z

gl

Z

02

Z

01

[cm]

10

,0

10

,0

7,5

7,5

5,49 5,49

2,01

2,01

sc

1

sc

2

sc

Rys. Z9/2.4. Wymiary przekroju skrzynkowego

Wartości głównych momentów bezwładności przekroju skrzynkowego wynoszą

J

Y

=

J

Ygl

=

19100,0

2

⋅

32,219100,0

2

⋅

32,2=3820 cm

4

,

(Z9/2.8)

J

Z

=

J

Zgl

=

148,05,49

2

⋅

32,2148,0



−

5,49



2

⋅

32,2=2237 cm

4

.

(Z9/2.9)

Z9/2.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju

Najbardziej obciążonym przekrojem jest ten przekrój, w którym moment zginający ma wartość

ekstremalną. Moment ten rozciąga górną część pręta. Rysunek Z9/2.5 przedstawia składowe wypadkowego
wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych. Moment po kierunku osi Y=Y

gl

ma zwrot

przeciwny do zwrotu tej osi czyli jest ujemny natomiast po kierunku osi Z=Z

gl

ma zwrot zgodny czyli jest

dodatni. Wartości ich wynoszą odpowiednio

M

Y

=−

6400⋅cos



12

°



=−

6260 kNcm

,

(Z9/2.10)

M

Z

=

6400⋅sin



12

°



=

1331 kNcm

.

(Z9/2.11)

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

6260 k

Ncm

1331

kNcm

6400 kNcm

12

0

Rys. Z9/2.5. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w najbardziej obciążonym przekroju

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

4

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać



X

=−

1331
2237

⋅

y

−

6260

3820

⋅

z=−0,5950⋅y−1,639⋅z

.

(Z9/2.12)

Równanie osi obojętnej ma postać

−

0,5950⋅y−1,639⋅z=0

.

(Z9/2.13)

Możemy je przedstawić w postaci

−

1,639⋅z=0,5950⋅y

.

(Z9/2.14)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać

z=−0,3630⋅y

.

(Z9/2.15)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y

gl

wynosi więc

=

arc tan



−

0,3630



=−

19,95°

.

(Z9/2.16)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/2.6. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi



X



1



=−

0,5950⋅



−

7,5



−

1,639⋅



−

10,0



=

20,85

kN

cm

2

=

208,5 MPa

,

(Z9/2.17)



X



2



=−

0,5950⋅



7,5



−

1,639⋅



10,0



=−

20,85

kN

cm

2

=−

208,5 MPa

.

(Z9/2.18)

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

19,95

0

1

2

Rys. Z9/2.6. Położenie osi obojętnej w najbardziej obciążonym przekroju

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

5

Wykres naprężenia normalnego w przekroju odnosimy na prostej prostopadłej do osi obojętnej. Wykres ten
przedstawia rysunek Z9/2.7. Jak widać jest to wykres liniowy a wartości bezwzględne największych
naprężeń normalnych nie przekraczają wytrzymałości 215 MPa.

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

19,95

0

2

1

σ

X

[MPa]

208,5

208,5

0,0

Rys. Z9/2.7. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju

Z9/2.4. Wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego

w przedziale CD

Zgodnie z wykresem momentu zginającego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego

w przedziale CD działa moment zginający rozciągający dolną część belki a jego wartość bezwzględna
wynosi

∣

M

Y

∣

=

21,33 kNm=2133 kNcm

.

(Z9/2.19)

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

2086 k

Ncm

44

3,

5 k

Ncm

2133 kNcm

12

0

Rys. Z9/2.8. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w miejscu ekstremalnego momentu

zginającego w przedziale CD

Rysunek Z9/2.8 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach

osi głównych w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD. Moment po kierunku osi
Y=Y

gl

ma zwrot zgodny ze zwrotem tej osi czyli jest dodatni natomiast po kierunku osi Z=Z

gl

ma zwrot

przeciwny czyli jest ujemny. Wartości tych momentów wynoszą

M

Y

=

2133⋅cos



12

°



=

2086 kNcm

,

(Z9/2.20)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

6

M

Z

=−

2133⋅sin



12

°



=−

443,5 kNcm

.

(Z9/2.21)

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać



X

=−

−

443,5

2237

⋅

y

2086
3820

⋅

z=0,1983⋅y0,5461⋅z

.

(Z9/2.22)

Równanie osi obojętnej ma postać

0,1983⋅y0,5461⋅z=0

.

(Z9/2.23)

Możemy je przedstawić w postaci

0,5461⋅z=−0,1983⋅y

.

(Z9/2.24)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać

z=−0,3631⋅y

.

(Z9/2.25)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y

gl

wynosi więc

=

arc tan



−

0,3631



=−

19,96°

.

(Z9/2.26)

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

19,96

0

1

2

Rys. Z9/2.9. Położenie osi obojętnej w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD

Jak widać wartość ta jest w przybliżeniu równa wartości kąta wyznaczonej ze wzoru (Z9/2.16). Położenie
osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/2.9. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami przekroju od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi



X



1



=

0,1983⋅



−

7,5





0,5461⋅



−

10,0



=−

6,948

kN

cm

2

=−

69,48 MPa

,

(Z9/2.27)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2

7



X



2



=

0,1983⋅



7,5





0,5461⋅



10,0



=

6,948

kN

cm

2

=

69,48 MPa

.

(Z9/2.28)

Rysunek Z9/2.10 przedstawia wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginają-
cego w przedziale CD.

12

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

19,96

0

2

1

σ

X

[MPa]

69,48

69,48

0,0

Rys. Z9/2.10. Wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD

Dr inż. Janusz Dębiński