Całki oznaczone.

Wszystkie poznane do tej pory całki to całki nieoznaczone.

Całka oznaczona to całka dla której określa się przedział. Musi być różniczkowalna.

Przykład:

Przykład:

podstawiamy:

dla

Przy metodzie podstawiania trzeba zmienić granice całkowania bo zmienia się zmienna.

Wracamy do przykładu:

Twierdzenia:

P

a b

Przykład:

Mamy dwie funkcje:

Miejsce przecięcia się obu wykresów

x²

4x

Obliczyć pole zawarte między jednym a drugim wykresem w obszarze między przecięciami się tych wykresów.

Wykresy przecinają się dla x który jest równy:

Pole będzie równe różnicy :

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

Przykład:

(-1)

Przykład:

Przykład:

Podstawiamy do naszego przykładu:

Przykład:

zastosujemy wzór

Obliczamy pochodną mianownika:

Podstawiamy obliczoną wartość w miejsce licznika:

Rozpisujemy mianownik aby można było zastosować wzór:

Wracamy do obliczeń całki:

Podstawiamy:

Wstawiamy to do przykładu:

Rozwiązaniem jest:

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji:

7

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

Dla oraz wykresy tych funkcji przecinają się.

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału 0,7

Przykład:

Obliczyć pole między wykresami funkcji:

1/4

Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):

Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału

Wzory na obliczanie całek:

1.

2.

3.

4.

5. Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. Twierdzenia: 1.

2.