Teoria gier – czym jest i czemu słuy, przykłady zastosowan,

reprezentacja gry, gry nieskonczonej, gra o sumie stałej i zerowej, gra

Bayesowska, gra symetryczna, strategia minmax.

• Czym jest

Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w przypadku konfliktu interesów.

• Czemu służy

Teoria gier wywodzi się z badania gier hazardowych i taka jest też jej terminologia, jednak zastosowanie znajduje głównie w ekonomii, biologii (szczególnie w socjobiologii), socjologii oraz informatyce (patrz: sztuczna inteligencja)

• Reprezentacja gry

Gra to dowolna sytuacja konfliktowa, gracz natomiast to dowolny jej uczestnik. Graczem może być na przykład człowiek, przedsiębiorstwo lub zwierzę. Każda strona wybiera pewną strategię postępowania, po czym zależnie od strategii własnej oraz innych uczestników każdy gracz otrzymuje wypłatę w jednostkach użyteczności. Zależnie od gry jednostki te mogą reprezentować pieniądze, wzrost szansy na przekazanie własnych genów czy też cokolwiek innego, z czystą satysfakcją włącznie. Wynikowi gry zwykle przyporządkowuje się pewną wartość liczbową.

Teoria gier bada jakie strategie powinni wybrać gracze żeby osiągnąć najlepsze wyniki.

• Klasyfikacja

Gry dzielą się na:

gry o sumie stałej (gdy suma wypłat obu graczy jest stała - szczególnym przypadkiem są gry o sumie zerowej, to gra w której zysk jednego gracza oznacza stratę drugiego.) i na gry o sumie zmiennej

Formalnie oznacza to, że proporcja zysku jednego gracza do straty drugiego w wyniku przejścia między dowolnymi stanami jest stała. Taką grę można zawsze sprowadzić do gry o sumie stałej, a nawet zerowej, za pomocą przekształcenia liniowego.[potrzebne źródło]

Na przykład gra w której jeden gracz zyskuje 100, 200, 300 lub 400, drugi natomiast w tych samych sytuacjach odpowiednio 6, 5, 4 lub 3, jest grą o sumie stałej chociaż niewątpliwie 106, 205, 304 i 403 nie są równe. Jeśli jednak pomnożymy wygrane drugiego gracza przez 100 i odejmiemy od nich 700, uzyskujemy: -100, -200, -300, -400, które dodają się do zera.

gry sprawiedliwe (gdy wartość oczekiwana wypłaty każdego z graczy jest taka sama) oraz gry niesprawiedliwe (gdy wartość oczekiwana wypłaty graczy jest różna - najwyższa wygrana jednego z graczy przewyższa najwyższą wygraną drugiego gracza)

Przykładowo, uznając za wypłatę sumę pieniężną, gra w kasynie jest grą o sumie zerowej (wygrana gracza to strata kasyna, i na odwrót; nie rozpatrujemy tu zadowolenia z samego faktu gry), jednakże nie jest ona grą sprawiedliwą (z przyczyn oczywistych prawdopodobieństwa wygranej są dla gracza niekorzystne, a wartość oczekiwana wygranej pieniężnej ujemna).

dwuosobowe i wieloosobowe

• Pojęcia

Gra nieskończona – wyimaginowany proces, w którym dwie osoby podejmują szereg (zwykle naprzemiennych) wyborów ponumerowanych elementami pewnej nieskończonej liczby porządkowej. Po zakończeniu procesu pewne zadane z góry kryterium używane jest do rozstrzygnięcia, który z graczy odniósł zwycięstwo.

Język gier nieskończonych jest używany w szeregu dziedzin matematyki głównie dla opisu własności studiowanych obiektów. Większość zastosowań gier tego typu występuje w teorii mnogości i topologii.

Gra Bayesowska - W teorii gier spotykamy si˛e cz˛esto z mechanizmami, w których nieznane s ˛ a dokładne

informacje na temat preferencji graczy a tak˙ze macierzy wypłat. Takie mechanizmy

nazywa si˛e grami bayesowskimi. Laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii

z 1994 roku, John Harsanyi, zaproponował wprowadzenie Natury jako dodatkowego

gracza w celu zamodelowania niepewno´sci. Natura losowo przypisuje ka˙zdemu z graczy

pewien typ, który do pewnego stopnia determinuje jego zachowanie w grze (u´sci-

´slaj ˛ ac, determinuje jego funkcj˛e wypłat). Ów typ jest zmienn ˛ a losow ˛ a, której rozkład

jest dany. W grze bayesowskiej niekompletno´s´c informacji oznacza, ˙ze przynajmniej

jeden z graczy nie jest pewien jakiego typu s ˛ a inni gracze.

W grach niebayesowskich z pełn ˛ a informacj ˛ a mamy do dyspozycji przestrze´n dopuszczalnych

strategii i funkcje wypłat graczy. Wówczas strategia danego gracza jest

kompletnym planem działa´n zabezpieczaj ˛ acym ka˙zd ˛ a ewentualno´s´c. Funkcja wypłat

jest funkcj ˛ a przekształcaj ˛ ac ˛ a zbiór strategii na zbiór wypłat (np. typu rzeczywistego).

W grach bayesowskich nale˙zy zdefiniowa´c równie˙z przestrze´n mo˙zliwych typów

graczy i ich wyobra˙ze´n na temat innych. Wtakiej sytuacji strategi ˛ a gracza jest zbiorem

planów działa´n gracza dla ka˙zdego typu, który mo˙ze go dotyczy´c.

Gra Symetryczna - In game theory, a symmetric game is a game where the payoffs for playing a particular strategy depend only on the other strategies employed, not on who is playing them.

W pewnym miescie dokonano przestepstwa. Dochodzenie wykazało, ze w gre

wchodzi jedynie dwóch podejrzanych. Prokurator przypuszczał (i miał racje!),

ze przestepstwa dokonali wspólnie, jednak wiedział, ze slady zatarto tak starannie,

ze nie bedzie w stanie znalezc dowodów winy. Ale prokurator nie był

w ciemie bity. Miał plan... Kazdemu z aresztantów zamknietych w osobnych

celach przedstawił propozycje nie do odrzucenia:

- Wiem, ze to wy to zrobiliscie. Przyznaj sie, to na tym tylko skorzystasz:

Jezeli przyznacie sie obaj, dostaniecie łagodne wyroki. Jezeli tylko jeden z was

bedzie chciał z nami współpracowac, to ten przyznajacy sie dostanie nagrode,

a drugi - krnabrny - bedzie siedziec długo... oj, nie chciałbym byc w jego skórze...

- A jesli nikt z nas sie nie przyzna?

• No cóz, musze przyznac, ze z braku dowodów bede zmuszony was uwolnic...

Tak mniej wiecej brzmi bowiem idea dylematu wieznia

Strategia Min max Minimax (czasami minmax) jest metodą w teorii decyzji do minimalizowania maksymalnych możliwych strat. Alternatywnie można je traktować jako maksymalizację minimalnego zysku (maximin). Wywodzi się to z teorii gry o sumie zerowej, obejmujących oba przypadki, zarówno ten, gdzie gracze wykonują ruchy naprzemiennie, jak i ten, gdzie wykonują ruchy jednocześnie. Zostało to również rozszerzone na bardziej skomplikowane gry i ogólne podejmowanie decyzji w obecności niepewności.

Algorytm Minimax pomaga znaleźć najlepszy ruch, pracując od końca gry. Na każdym kroku zakłada, że gracz A próbuje zmaksymalizować szanse na wygraną gracza A, podczas gdy w następnym ruchu gracz B stara się zminimalizować szanse na wygraną gracza A (tzn. zmaksymalizować swoje szanse wygrania).

Teoria gier dwuosobowych o sumie stałej jest najlepiej rozwinięta i daje najbardziej konkretne wyniki.

Chociaż zarówno teoria gier jak i teoria decyzji analizują sposoby podejmowania optymalnych decyzji w rozmaitych sytuacjach, te dwie dziedziny nauki istotnie się między sobą różnią. Główna różnica jest taka, że w teorii gier działania podejmowane przez każdego z uczestników mają wpływ na pozostałych uczestników gry, dodatkowo gdy gracze podejmują decyzję co do wyboru swoich strategii biorą te interakcje pod uwagę. W teorii decyzji, decyzje mogą być podejmowane w warunkach ryzyka lub niepewności, ale nie zależą one od strategicznych działań osób innych niż decydent.

5. Sztuczne sieci neuronowe – co to takiego i do czego słua, model

neuronu, podstawowe typy sieci, podstawowe typy algorytmów uczenia,

przykłady i moliwosci ich zastosowan.

6. Podejscie Bayesowskie – prawdopodobienstwo Bayesowskie, czym róni

sie od podejscia klasycznego, jak sie je oblicza, wzory Bayesa (prawd.

a priori i a posteriori), przykłady zastosowan, wnioskowanie

Bayesowskie, klasyfikatory Bayesowskie.

7. Systemy eksperckie – czym sa, co moga, czym rónia sie od innych

systemów wnioskujacych, reguły i sposoby wnioskowania, reprezentacja

wiedzy, przykłady zastosowan, data mining, drzewa decyzyjne, etc.

8. Zbiory rozmyte i logika rozmyta – podstawowe pojecia i definicje teorii

zbiorów rozmytych, podstawy logiki rozmytej, sposoby opisu, liczba

i przedział rozmyty, sposoby implementacji, defuzyfikacja, zastosowania.

9. Zbiory przyblione – podstawowe pojecia i definicja, własnosci,

reprezentacja danych, zalenosc atrybutów, tabele decyzyjne, przykłady

zastosowan.

10. Kognitywistyka – có to takiego, główne załoenia i kierunki badan,

powiazania z innymi dyscyplinami, osiagniecia kognitywistyki pomocne

we wspomaganiu decyzji.

11. Odporne metody analizy danych – odpornosc na błedy w danych, typy

i zródła błedów, ogólny opis procedur zwiekszajacych odpornosc,

odpornosc na błedy w danych a sieci neuronowe.