SYMETRIA OSIOWA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A`=(x`, y`) jest obrazem punktu A=(x, y):

a) względem osi odciętych (x), to x` = x (pierwsza współrzędna punktu pozostaje bez zmian), y` = -y (druga współrzędna punktu zmienia się na przeciwną)

b) względem osi rzędnych (y), to x` = -x (pierwsza współrzędna punktu zmienia się na przeciwną), y` = y (druga współrzędna pozostaje bez zmian).

H = (-2, 1), L = (2, 1) to punkty symetryczne względem osi y, gdyż pierwsze współrzędne mają przeciwne, a drugie jednakowe.

H = (-2, 1), K = ( -2, -1) to punkty symetryczne względem osi x, gdyż pierwsze współrzędne są takie same, a drugie przeciwne.

Symetria względem dowolnej prostej

Jeżeli prosta k jest równoległa do jednej z osi układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu A bardzo łatwo ustalić współrzędne punktu do niego symetrycznego względem prostej k.

Zadanie 1.

Znajdź obraz punktu A=(8,-5) w symetrii względem prostej y = -4.

Rozwiązanie:

Prosta y = -4 jest równoległa do osi x. Obraz punktu A w symetrii względem tej prostej musi być położony w takiej samej odległości od prostej jak punkt a, lecz po drugiej stronie.

A' = (x', y') -obraz punktu A w symetrii względem prostej y = -4, więc pierwsza współrzędna jest taka sama jak punktu A. Zatem x' = 8. Odległość punktu A od prostej y = -4 wynosi 1. Zatem punkt A' też musi być położony w takiej samej odległości, więc y' = -4 + 1 . Stąd y' = -3.

Obrazem punktu A= (8, -5) w symetrii względem prostej y = -4 jest punkt A' = (8,-3).

Zadanie 2.

Obliczmy współrzędne punktów K = (2a-4; b-3) i L = (-a+5; -2b+4) wiedząc, że są symetryczne:

a) względem osi x,

b) względem osi y.

Rozwiązanie:

a) Punkty symetryczne względem osi x mają równe pierwsze współrzędne, a drugie współrzędne są liczbami przeciwnymi, więc:

2a-4 = -a+5

2a+a = 5+4

3a = 9

a = 3

b-3 = -(-2b+4)

b-3= 2b-4

b-2b = -4+3

-b = -1

b =1

Zatem:

K = (2*3-4; 1-3), L = (-3+5; -2*1+4)

K = (2; -2), L = (2; 2)

b) Punkty symetryczne względem osi y mają równe drugie współrzędne, a pierwsze współrzędne są liczbami przeciwnymi, więc:

b-3 = -2b+4

b+2b = 4+3

3b = 7

b = 7/3

2a -4 = -(-a+5)

2a-4 =a-5

a =4-5

a = -1

Zatem:

K = (2*(-1)-4; 7/3 - 3), L = (-(-1)+5, -2 7/3+4)

K = (-6, - 2/3), L = (6, - 2/3)

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadanie 1, 2, 3 str. 134 z podręcznika.

---