---

Overview

Oznaczenia
Estymacja funkcji
Test istotności
Współczynnik korelacji
Test rw
Przykład
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6

---

Sheet 1: Oznaczenia

Wielowymiarowa analiza regresji liniowej
Badając populację generalną ze względu na więcej niż dwie cechy mierzalne, posługujemy się pojęciem
regresji wielokrotnej (wielorakiej). W takim przypadku najczęściej interesuje nas związek pomiędzy
jedną zmienną (zależną), zwaną zazwyczaj cechą wynikową, a wieloma (jednocześnie) zmiennymi nie-
zależnymi - objaśniającymi domniemany związek. Wyniki pomiarów są realizacją wielowymiarowej zmien-
nej losowej, czyli tzw. wektora losowego, a funkcja przyporządkowująca wartościom wielu zmiennych
objaśniających średnie wartości cechy wynikowej nosi nazwę funkcji regresji wielokrotnej.
W wielu praktycznych zastosowaniach zupełnie wystarczająca jest liniowa postać regresji wielokrotnej,
której wykres nosi nazwę hiperpłaszczyzny regresji. Przyjmowanie modelu liniowego związane jest z
prostotą rachunków mających na celu uzyskanie równania regresji wielorakiej, którego współczynniki
wyznacza się metodą najmniejszych kwadratów. Realizację niezbędnych obliczeń najwygodniej prze-
prowadza się stosując zapis macierzowy.
Niezbędne jest wprowadzenie następujących oznaczeń.
Niech X oznacza (n x (k + 1))-wymiarową macierz wejść, złożoną z wartości zaobserwowanych w
n-elementowej próbie na k + 1 zmiennych objaśniających X1, X2, …, Xk, Xk+1, gdzie Xk+1 jest
zmienną tożsamościowo równą 1, występującą przy wyrazie wolnym w równaniu regresji wielokrotnej:
y oznacza n-wymiarowy wektor kolumnowy wartości cechy wynikowej Y:
b oznacza (k + 1)-wymiarowy wektor kolumnowy parametrów (współczynników) regresji wielokrotnej:
natomiast e oznacza n-wymiarowy wektor kolumnowy losowy, złożony z tzw. składników (zakłóceń)
losowych:

---

Sheet 2: Estymacja funkcji

Estymacja liniowej funkcji regresji wielokrotnej
Podczas badań populacji generalnej ze względu na cechę wynikową Y i k cech objaśniających (nie-
zależnych) X1, X2, …, Xk pobieramy z niej n-elementową próbę, której wyniki są łącznymi obserwac-
jami cechy Y i k cech Xi. Przyjmując przedstawione wcześniej oznaczenia możemy sformułować nastę-
pujące założenia:
1. y = Xb + e.
2. Wektor losowy e jest tzw. sferycznym wektorem normalnym, tzn. ma n-wymiarowy rozkład normalny
N(0, s2I), przy czym funkcja gęstości dana jest wzorem:
a parametry:
gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n.
3. Macierz X jest macierzą o ustalonych elementach i ma rząd r(X) = k + 1 <= n.
Z założenia pierwszego wynika liniowość zależności pomiędzy wartościami cechy wynikowej Y
i wartościami zmiennych objaśniających Xi z dokładnością do składnika losowego, co w zapisie skalarnym
można przedstawić jako:
	yj = b1xj1 + b2xj2 + … + bkxjk + bk+1xj(k+1) + ej
gdzie j = 1, 2, …, n.
Drugie założenie wyraża fakt, że występujące w powyższym wzorze zakłócenia losowe ej, są niezależny-
mi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie normalnym N(0, s).
Trzecie założenie wskazuje, że macierz X nie jest stochastyczna, a jej kolumny to układ k + 1 liniowo
niezależnych wektorów, przy czym liczba pomiarów n (liczba wierszy) jest co najmniej równa liczbie
kolumn, tzn. liczbie współczynników regresji bi.
Z powyższych założeń wynikają następujące równości:
	E(e|X) = 0;
	E(y|X) = Xb (funkcja regresji);
	V(y|X) = s2I;
gdzie kreski | oznaczają, że wektory wartości oczekiwanych i macierz kowariancji dotyczą rozkładów
warunkowych (przy ustalonych wartościach macierzy X).
Wyznaczenie równania regresji wielokrotnej polega na takim oszacowaniu wektora b (na podstawie
wyników próby, czyli macierzy X i wektora y), aby zminimalizować wartość funkcji S:
gdzie:
przy czym b jest estymatorem wektora rzeczywistych współczynników regresji b.
Efekt ten uzyskuje się stosując metodę najmniejszych kwadratów, zaś nieobciążonym estymatorem
wektora b współczynników regresji jest wektor b wyznaczony ze wzoru:
	b = (XTX)-1XTy
Powyższy wzór nazywany bywa ogólnym wzorem analizy regresji, a występująca w nim symetryczna
macierz odwrotna (XTX)-1 istnieje na mocy założenia 3.
Macierz wariancji i kowariancji estymatora b wyznacza się ze wzoru:
	V(b) = s2(XTX)-1
natomiast nieobciążony estymator wariancji s2 składnika losowego,						, określony jako:

---

Sheet 3: Test istotności

Test istotności dla współczynników regresji wielokrotnej
Poszukując równania regresji wielokrotnej uwzględnia się najczęściej te zmienne niezależne, które mogą
mieć wpływ na kształtowanie się wartości cechy wynikowej Y. Dobór tych zmiennych jest arbitralny, choć,
co warto podkreślić, należy tu wykorzystać dostępne informacje na temat badanego zjawiska, czy procesu.
Dobrane do modelu regresji zmienne mogą, lecz nie muszą odgrywać istotnej roli w równaniu regresji wielo-
krotnej, stąd kapitalnego znaczenia nabiera możliwość racjonalnego usunięcia z niego tych zmiennych, które
nie mają istotnego znaczenia. Możliwość zredukowania liczby współczynników regresji do tych, które znaj-
dują się przy zmiennych istotnie oddziałujących na cechę wynikową daje test istotności dla współczynników
regresji wielokrotnej.
Test ten przeprowadza się w stosunku do wszystkich współczynników regresji stojących przy zmiennych
niezależnych. Hipoteza zerowa zakłada, że weryfikowany współczynnik bi jest równy pewnej hipotetycznej
wartości bi0 (H0: bi = bi0), natomiast hipoteza alternatywna przyjmuje, iż współczynnik ten różni się od
wartości hipotetycznej (H1: bi<>bi0). Jeżeli wartość hipotetyczna bi0 = 0, to weryfikacja hipotezy zerowej
jest sprawdzeniem, czy zmienna Xi istotnie wpływa na wartości cechy wynikowej Y, czyli czy powinna ona
pozostać w równaniu regresji? Jak zawsze w takiej sytuacji hipotezę alternatywną można postawić bardziej
jednoznacznie, tzn. H1: bi < bi0 bądź H1: bi > bi0, przy czym w pierwszym przypadku wykonuje się test
z lewostronnym obszarem krytycznym, natomiast w drugim obszar krytyczny jest obszarem prawostronnym.
Przebieg testu jest następujący. Po oszacowaniu wariancji s2 wektora losowego za pomocą wzoru
oblicza się wartość statystyki t zgodnie ze wzorem:
gdzie: bi - i-ta składowa wektora b;
bi0 - wartość hipotetyczna współczynnika regresji,
natomiast
przy czym dii jest i-tym diagonalnym elementem macierzy (XTX)-1.
Statystyka t ma przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej rozkład t Studenta o liczbie stopni swo-
body wynoszącej n - k - 1. Sposób wyznaczania wartości p i zweryfikowania na jej podstawie hipotezy
zerowej jest taki sam jak dla wszystkich testów wykorzystujących tę statystykę.
Jeżeli weryfikacja przebiegała z założeniem, że bi0 = 0, to po jej przeprowadzeniu w stosunku do
wszystkich współczynników regresji (wszystkich zmiennych niezależnych) dokonuje się redukcji równania
regresji wielokrotnej. Polega ona na usunięciu z macierzy wejść X tych kolumn, które odpowiadają
zmiennym, znajdującym się przy współczynnikach regresji nie różniących się istotnie od zera. Macierz X
ma po takim zabiegu niezmienioną liczbę wierszy, natomiast odpowiednio mniejszą liczbę kolumn. Wszystkie
wykonane dotąd obliczenia należy powtórzyć wykorzystując nową postać macierzy X.
Przedstawiony tu sposób eliminacji zmiennych nieistotnie oddziałujących na cechę wynikową Y, ma
jednak wadę. Może zdarzyć się sytuacja, że etapów eliminacji będzie kilka, a na koniec żadna ze zmiennych
nie wytrzyma weryfikacji za pomocą omawianego testu istotności. Oczywiście nie można wykluczyć, że
w badanym zjawisku czy procesie cecha wynikowa Y rzeczywiście nie zależy od rozpatrywanych zmien-
nych niezależnych. Zdarza się jednak, że brak końcowego równania regresji wielokrotnej jest efektem
zbyt radykalnie przeprowadzanej weryfikacji. Można temu częściowo zaradzić stosując następujący
schemat postępowania:
1. Wyznaczyć wstępne równanie regresji (zawierające wszystkie zmienne niezależne).
2. Obliczyć wartość statystyki ti dla wszystkich współczynników regresji.
3. Wyznaczyć prawdopodobieństwo pi będące miarą błędu pierwszego rodzaju.
4. Ustalić numer zmiennej, dla której wartość pi była największa.
5. Usunąć z macierzy X kolumnę odpowiadającą zmiennej, której numer ustalono w kroku 4.
6. Przeprowadzić na nowo obliczenia dla zredukowanej o jedną kolumnę macierzy X. Przejść do kroku 2.
Przedstawioną tu procedurę postępowania należy kontynuować tak długo, aż w równaniu regresji pozo-
staną zmienne spełniające przyjęty poziom wymagań (poziom istotności). Jeżeli jednak, mimo takiego
sposobu eliminacji zmiennych niezależnych, nie uda się uzyskać równania, w którym wszystkie zmienne
istotnie wpływają na cechę wynikową, to albo jest tak rzeczywiście, albo można podjąć kolejną próbę
przyjmując nieco większą wartość poziomu istotności.

---

Sheet 4: Współczynnik korelacji

Estymacja współczynnika korelacji wielokrotnej
Obok poszukiwania równania regresji wielorakiej, opisującego kształt zależności pomiędzy cechą wyni-
kową Y i wieloma jednocześnie zmiennymi niezależnymi, ważne jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie,
jaka jest siła tej zależności. Na pytanie to częściowo można udzielić odpowiedzi po oszacowaniu współ-
czynnika korelacji wielokrotnej. Wartość współczynnika korelacji może jedynie sugerować, jak silna jest
poszukiwana zależność. Pełnej odpowiedzi udziela dopiero weryfikacja statystyczna za pomocą testu
istotności dla współczynnika korelacji wielokrotnej.
Współczynnik korelacji wielokrotnej jest pierwiastkiem kwadratowym obliczonym z wartości tzw.
stosunku korelacyjnego:
gdzie 1 - j2 jest wspomnianym stosunkiem korelacyjnym, zaś j2 nosi nazwę współczynnika zbieżności,
który oblicza się ze wzoru:
przy czym s2 jest wariancją składnika losowego (tzw. wariancją resztową), a V(Y) jest wariancją zmiennej
zależnej (cechy wynikowej).
Współczynnik korelacji wielokrotnej jest oczywiście unormowaną miarą siły zależności między zmienną
Y i wszystkimi jednocześnie zmiennymi niezależnymi Xi. Oznacza to, że przyjmuje on wartości z przedziału
0 <= r <= 1, przy czym, w przypadku gdy r = 0, zmienna Y nie jest skorelowana ze zmiennymi Xi,
natomiast gdy r = 1, zachodzi y = Xb, czyli cecha wynikowa Y zależy ściśle liniowo od zmiennych nie-
zależnych (objaśniających) Xi.
Wartość współczynnika korelacji wielokrotnej estymuje się za pomocą estymatora (współczynnika
korelacji z próby) danego wzorem:
gdzie 1T jest n-wymiarowym wektorem wierszowym złożonym z samych jedynek.

---

Sheet 5: Test rw

Test istotności współczynnika korelacji wielokrotnej
Jak wspomniano, sama wartość współczynnika korelacji z próby nie może być jednoznacznie podstawą
oceny siły zależności pomiędzy cechą wynikową Y i zmiennymi niezależnymi Xi. Aby ocenić tę siłę, należy
przeprowadzić weryfikację współczynnika korelacji wielokrotnej za pomocą testu istotności. W teście tym
stawia się hipotezę zerową, która zakłada brak korelacji pomiędzy zmienną Y i wszystkimi zmiennymi nie-
zależnymi Xi (H0: r = 0), wobec hipotezy alternatywnej wyrażającej przypuszczenie, że współczynnik ko-
relacji wielorakiej jest istotnie większy od zera (H1: r > 0). Test wykorzystuje statystykę:
która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F Snedecora o k i n - k - 1 stopniach
swobody.
Uwzględniając wymienione liczby stopni swobody i wartość statystyki F wyznacza się za pomocą tablic
rozkładu F Snedecora wartość p wyrażającą prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju.
Wartość tę porównuje się z przyjętym z góry poziomem istotności a i podejmuje decyzję o odrzuceniu
hipotezy zerowej (gdy p <= a) lub braku podstaw do jej odrzucenia (gdy p > a).

---

Sheet 6: Przykład

Przykład
Wysunięto przypuszczenie, że granica plastyczności stali dwoistofazowych zależy od struktury. Na
podstawie pomiarów udziału objętościowego martenzytu VV [%], średniego pola powierzchni wysp
martenzytu AM [mm2], średniej drogi swobodnej w martenzycie LM [mm] oraz względnej powierzchni
granic ziaren martenzyt-ferryt SMF [mm2/mm3] ustalić kierunek i siłę ich wpływu na granicę plastycz-
ności R0,2 stali dwoistofazowych. Oszacować współczynnik korelacji wielokrotnej i poddać go wery-
fikacji statystycznej.
Tabela. Wyniki pomiarów wybranych parametrów struktury stali dwoistofazowych
	VV	AM	LM	SMF	R0,2
	20,53	2,8	1,45	563,3	377
	17,78	2,9	1,43	494,6	354
	17,93	3,5	1,62	441,1	334
	27,25	1,3	1,03	1060,5	624
	39,46	2,1	1,29	1223,1	745
	25,83	1,3	1,06	969,3	626
	34,81	2,0	1,33	1042,9	685
	40,41	2,9	1,70	948,2	536
	24,09	2,4	1,38	709,9	517
	36,96	2,0	1,06	1390,8	847
	20,21	0,6	0,65	1247,9	524
	16,43	0,5	0,50	1311,3	554
	22,83	0,6	0,59	1539,3	468
	21,93	0,6	0,63	1394,4	519
Rozwiązanie
Przed przystąpieniem do obliczeń mających na celu uzyskanie równania regresji wielorakiej należy
utworzyć macierz wejść X. Jak wiadomo, macierz ta zawiera jako ostatnią, kolumnę jedynek, dlatego
też zbiór danych źródłowych trzeba uzupełnić o dodatkową kolumnę, której elementy będą
tożsamościowo równe 1.
	X1	X2	X3	X4	X5		Y
	20,53	2,8	1,45	563,3	1		377
	17,78	2,9	1,43	494,6	1		354
	17,93	3,5	1,62	441,1	1		334
	27,25	1,3	1,03	1060,5	1		624
	39,46	2,1	1,29	1223,1	1		745
	25,83	1,3	1,06	969,3	1		626
X =	34,81	2,0	1,33	1042,9	1	y =	685
	40,41	2,9	1,70	948,2	1		536
	24,09	2,4	1,38	709,9	1		517
	36,96	2,0	1,06	1390,8	1		847
	20,21	0,6	0,65	1247,9	1		524
	16,43	0,5	0,50	1311,3	1		554
	22,83	0,6	0,59	1539,3	1		468
	21,93	0,6	0,63	1394,4	1		519
Obliczenia rozpoczynamy od utworzenia macierzy transponowanej XT. Zaznaczamy blok komórek
B31:F44, a następnie klikamy przycisk Kopiuj, po czym zaznaczamy komórkę B50. W dalszym ciągu
wybieramy opcję Edycja oraz polecenie Wklej specjalnie, by w otwartym oknie tego polecenia kliknąć
w polu wyboru Transpozycja.
	20,53	17,78	17,93	27,25	39,46	25,83	34,81	40,41	24,09	36,96	20,21	16,43	22,83	21,93
	2,8	2,9	3,5	1,3	2,1	1,3	2,0	2,9	2,4	2,0	0,6	0,5	0,6	0,6
XT =	1,45	1,43	1,62	1,03	1,29	1,06	1,33	1,70	1,38	1,06	0,65	0,50	0,59	0,63
	563,3	494,6	441,1	1060,5	1223,1	969,3	1042,9	948,2	709,9	1390,8	1247,9	1311,3	1539,3	1394,4
	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Mając macierze XT oraz X można obliczyć elementy macierzy (XTX), będącej ich iloczynem. Macierz ta
jest, jak wiadomo, symetryczną macierzą rzędu (k + 1), a uzyskamy ją wykorzystując funkcję
MACIERZ.ILOCZYN znajdującą się w zestawie funkcji matematycznych. Funkcja MACIERZ.ILOCZYN
jest tzw. funkcją tablicową. Najpierw zaznaczamy komórkę B66, która stanowić będzie lewy górny
narożnik macierzy (XTX) - element o indeksach 1, 1. Teraz wybieramy w zestawie funkcji matematycz-
nych funkcję MACIERZ.ILOCZYN, co prowadzi do pojawienia się okna tej funkcji. Ma ono dwa pola
nazwane Tablica1 i Tablica2. W polu Tablica1 podajemy blok komórek B50:O54, natomiast w polu
Tablica2 blok komórek B31:F44 i klikamy przycisk OK. Po tej czynności w komórce B60 widoczna
jest wartość 10498. Następnie zaznaczamy blok komórek B66:F70 (5 x 5) i klikamy w pasku formuły
(w dowolnym miejscu), a następnie naciskamy jednocześnie trzy klawisze: [Shift]+[Ctrl]+[Enter]. W
efekcie w zaznaczonych komórkach uzyskujemy wszystkie elementy symetrycznej macierzy (XTX).
	10498	689	427	386078	366
	689	60	34	22248	26
XTX =	427	34	20	14643	16
	386078	22248	14643	16332246	14337
	366	26	16	14337	14
W ogólnym wzorze analizy regresji widoczna jest symetryczna macierz odwrotna (XTX)-1, którą uzyskamy
za pomocą wykorzystania funkcji tablicowej MACIERZ.ODW. W tym celu zaznaczamy komórkę B79 i
wybieramy w zestawie funkcji matematycznych wspomnianą funkcję. W otwartym w ten sposób oknie
funkcji MACIERZ.ODW w polu Tablica podajemy blok komórek B66:F70 i klikamy przycisk OK. W
zaznaczonej komórce B77 uzyskujemy wartość 0,0266, która stanowi lewy górny element macierzy odwrot-
nej (indeksy 1, 1). Teraz zaznaczamy blok komórek B79:F83 (5 x 5), klikamy w obrębie paska formuły i
naciskamy jednocześnie klawisze [Shift]+[Ctrl]+[Enter]. W zaznaczonych komórkach uzyskujemy
pozostałe elementy macierzy odwrotnej (XTX)-1.
	0,0266	0,1465	-1,1396	-0,0008	1,1718
	0,1465	2,0221	-8,8184	-0,0040	6,4801
(XTX)-1 =	-1,1396	-8,8184	55,3716	0,0356	-52,7765
	-0,0008	-0,0040	0,0356	0,0000	-0,0397
	1,1718	6,4801	-52,7765	-0,0397	57,4629
W ogólnym wzorze analizy regresji (b = (XTX)-1XTy) oprócz macierzy odwrotnej występuje iloczyn
XTy. Elementy tego wektora kolumnowego o wymiarach 5 x 1 uzyskamy wykorzystując ponownie funkcję
MACIERZ.ILOCZYN. Zaznaczamy w tym celu komórkę B92 i uaktywniamy tę funkcję, po czym w polu
Tablica1 podajemy blok komórek B50:O54, a w polu Tablica2 blok komórek H31:H44 zawierających
elementy wektora cechy wynikowej y. po zamknięciu okna funkcji MACIERZ.ILOCZYN uzyskujemy
w komórce B92 pierwszy element wyznaczonego wektora XTy. Pozostałe jego elementy obliczamy za-
znaczając najpierw komórki B92:B96, a następnie powtarzając czynności finalizujące wykorzystanie funkcji
tablicowej.
	213616
	13483,5
XTy =	8515,5
	8306616,6
	7710
Estymator współczynników regresji b jest wektorem będącym iloczynem macierzy (XTX)-1 i wektora
XTy. Współczynniki regresji stanowiące elementy tego wektora uzyskamy za pomocą opisanej już funkcji
MACIERZ.ILOCZYN, przy czym umiejscowimy je w komórkach B99:B103.
	50,1	b1
	202,8	b2
b =	-1712	b3
	-1,114	b4
	1932,5	b0
Aby uzyskać odpowiedź na pytanie o siłę oddziaływania poszczególnych zmiennych niezależnych, należy
je zweryfikować. Przyjmiemy klasyczną wartość poziomu istotności a =						0,05	i następujące posta-
cie hipotez: H0: bi = 0; H1: bi <> 0.
W pierwszej kolejności niezbędne jest oszacowanie wariancji resztowej (składnika losowego) za pomocą
wzoru
W wersji macierzowej tego wzoru należy odjąć od iloczynu yTy iloczyn bTXTy. Aby uniknąć koniecznej
transpozycji wektorów y i b, wykorzystamy dla obliczenia yTy funkcję SUMA.KWADRATÓW a dla
obliczenia bTXTy funkcję SUMA.ILOCZYNÓW. Argumentem pierwszej z nich jest blok komórek H31:H44,
natomiast pierwszym argumentem funkcji SUMA.ILOCZYNÓW jest blok komórek B99:B103 (współczynniki
regresji), a drugim blok komórek B91:B95 (elementy wektora XTy). Wartości obydwu iloczynów wyzna-
czymy odpowiednio w komórkach B120 i B121. Przed obliczeniem wartości estymatora wariancji resztowej
konieczne jest ustalenie liczby wierszy n i kolumn k macierzy wejść X, co uzyskujemy w komórce B122
(=ILE.LICZB(H31:H44)) oraz w komórce B123 (=ILE.NIEPUSTYCH(B30:E30)).
yTy =	4526374,0
bTXT =	4508737,5
n =	14
k =	4
Teraz za pomocą formuły w postaci: =(B120-B121)/(B122-B123-1) uzyskujemy w komórce B126 po-
szukiwaną wartość.
S2e =	1959,6
Aby przeprowadzić weryfikację istotności statystycznej współczynników regresji i współczynnika korelacji
wielokrotnej obliczono w pierwszej kolejności wartość statystyki t dla zweryfikowania hipotezy o istotności
współczynnika znajdującego się w równaniu regresji przy zmiennej VV (komórka B148). Widoczną w tej
komórce wartość uzyskano za pomocą formuły o postaci: =B99/PIERWIASTEK($B$126*B78), zgodnie ze
wzorem
z jednoczesnym uwzględnieniem wzoru
Powielając zawartość komórki B148 do komórki B149 i zmieniając w powstałej tam formule adres komórki
B79 na C79 obliczono wartość statystyki t dla współczynnika stojącego w równaniu regresji przy zmiennej
AM. Powielając komórkę B149 do B150 (zamiana w adresie C80 litery C na D) oraz komórkę B150 do
B151 (zamiana w adresie D81 litery D na E) uzyskujemy wartości statystyki t dla dwóch pozostałych współ-
czynników regresji. Odpowiadające wartościom t prawdopodobieństwa p obliczono w komórkach
D148:D151. W tym celu do komórki D148 wprowadzono formułę następującej postaci:
		=ROZKŁAD.T(MODUŁ>LICZBY(B148);B$122-B$123-1;2).
Zagnieżdżoną w tej formule funkcję MODUŁ.LICZBY zastosowano w celu uniknięcia problemów, jakie
pojawią się, gdy wartość pierwszego argumentu funkcji ROZKŁAD.T jest ujemna. Jako ostatni argument
funkcji ROZKŁAD.T przyjęto wartość 2, bowiem postać hipotezy alternatywnej wskazuje na weryfikację
z dwustronnym obszarem krytycznym. Tak skonstruowaną formułę powielono do pozostałych trzech
komórek D149:D151 otrzymując w ten sposób wartości p pozwalające zweryfikować współczynniki regresji
przy zmiennych AM, LM i SFM.
t1 =	6,935	p1 =	0,0001
t2 =	3,222	p2 =	0,0105
t3 =	-5,197	p3 =	0,0006
t4 =	-4,742	p4 =	0,0011
Ostatnim elementem obliczeń było wyznaczenie wartości współczynnika korelacji wielokrotnej oraz
poddanie go weryfikacji statystycznej. Uwzględniając wzór
wprowadzono do komórki B167 formułę:
	=PIERWIASTEK(1-(B120-B121)/(WARIANCJA(H31:H44)*(B122-1))).
Wartość statystyki F obliczono w komórce B167 za pomocą formuły:
	=(B122-B123-1)*B167^2/(B123*(1-B167^2)),
natomiast odpowiadającą jej wartość prawdopodobieństwa p w komórce B169 wykorzystując funkcję
ROZKŁAD.F, której kolejnymi argumentami były: F (komórka B168), k (komórka B123) oraz n - k - 1
(zapis B122-123-1).
rw =	0,9680
F =	33,518
p =	0,00002
Odpowiedź: Po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń uzyskano równanie regresji wielokrotnej,
które po uwzględnieniu nazw zmiennych niezależnych i cechy wynikowej przyjmuje postać:
	R0,2 = 50,1*VV + 202,8*AM - 1712,0*LM - 1,114*SMF + 1932,5
Przeprowadzona weryfikacja współczynników regresji wykazała, że są one (wszystkie) istotne na
poziomie a = 0,05, a co za tym idzie nie ma powodów do przeprowadzania procesu eliminacji (redukcji
równania regresji). Weryfikacja współczynnika korelacji wielokrotnej przebiegła również pomyślnie
(p < 0,05), co oznacza, że równanie jako całość ma praktyczną przydatność do przewidywania wartości
w zależności od wartości analizowanych parametrów (stereologicznych) ich struktury.
Odpowiedź na pytanie o siłę oddziaływania poszczególnych zmiennych niezależnych (parametrów
struktury) można uzyskać po uszeregowaniu w rosnącej kolejności wartości pi. Prowadzi to do wniosku,
że najsilniej wpływa na granicę plastyczności udział objętościowy martenzytu (VV), a w dalszej kolejności
średnia droga swobodna w martenzycie (LM), względna powierzchnia granic ziaren martenzyt-ferryt (SMF)
i wreszcie średnie pole powierzchni wysp martenzytu (AM).
Odpowiedź na pytanie o kierunek oddziaływania analizowanych parametrów struktury jest bardzo
prosta. Kierunek ten pokazuje znak poszczególnych współczynników regresji. I tak zwiększenie zarówno
udziału objętościowego martenzytu, jak i średniego pola powierzchni wysp martenzytu podnosi granicę
plastyczności stali dwoistofazowych. Zwiększanie wartości dwóch pozostałych parametrów struktury,
tj. średniej drogi swobodnej w martenzycie oraz względnej powierzchni granic ziaren martenzyt-ferryt
wpływa na obniżenie badanej cechy wytrzymałościowej.

---

Sheet 7: Zadanie 1

Zadanie 1
Kwartalne obserwacje obrotów w sklepach odzieżowych i tekstylnych (Y) oraz udziałów procentowych
w ogólnej masie towarowej artykułów wykonanych z tkanin laminatowych i ortalionu (X1), artykułów
wykonanych z elany i terylenu (X2) wreszcie artykułów wykonanych z modylenu i tkanin podobnych (X3)
dały następujące wyniki:
X1	10	11	10	11	15	12	16	16
X2	9	7	10	8	7	15	20	15
X3	4	4	4	5	5	4	8	9
Y	2	3	4	6	10	12	20	25
Czy istnieje związek pomiędzy udziałami procentowymi badanych rodzajów tkanin a obrotami w sklepach
odzieżowych i tekstylnych? Jaka jest siła tej zależności?

---

Sheet 8: Zadanie 2

Zadanie 2
W oparciu o wyniki pomiarów ustalić zależności temperatur w komorze silnikowej t [°C] autobusu
w zależności od liczby obrotów silnika ns [min-1], ciśnienia w komorze silnikowej p [mm H2O] i natężenia
przepływu wody w chłodnicy Gw [kg/s].
	ns [1/min]	p [mm H2O]	Gw [kg/s]	t [°C]
	750	1,0	1,445	60
	1000	1,9	1,901	64
	1250	2,4	2,404	73
	1650	4,1	3,123	84
	760	1,1	1,424	59
	1005	2,1	1,944	65
	1245	2,3	2,435	74
	1645	3,9	3,223	86
	760	1,2	1,400	62
	995	2,0	1,935	66
	1255	2,2	2,422	75
	1655	4,0	3,155	85

---

Sheet 9: Zadanie 3

Zadanie 3
Badano koszt strat ciepła (Y) powstające w wymienniku ciepła w zależności od liczby rur (X1)
oraz ich powierzchni (X2). Otrzymane dane zebrano w tabeli.
	X1 [szt.]	X2 [m2]	Y [zł]
	550	120	310
	600	130	300
	520	108	275
	420	110	250
	400	84	220
	300	90	200
	230	80	190
	120	55	150
	190	64	140
	100	50	100
Oszacować współczynnik korelacji wielokrotnej i poddać go weryfikacji statystycznej.

---

Sheet 10: Zadanie 4

Zadanie 4
Badano wpływ procesów nawęglania (X1) oraz odpuszczania (X2) w temperaturze 620 K na wytrzymałość
zmęczeniową (Y) stali E2. Otrzymano następujące wyniki (1 oznacza zastosowanie zabiegu, 0 jego brak):
	X1	X2	Y [102 MPa]
	0	0	3,4
	0	1	4,8
	1	0	6,9
	1	1	5,1

---

Sheet 11: Zadanie 5

Zadanie 5
Mamy następujące dane o produkcji dwu różnych wyrobów w sztukach oraz zużycie energii na tę
produkcję za sześć okresów:
	Okres	Produkcja		Zużycie energii w kWh
		L	K
	1	2	3	12
	2	4	2	14
	3	3	1	11
	4	5	3	15
	5	2	2	14
	6	2	1	6
Ustalić siłę związku korelacyjnego pomiędzy zużyciem energii elektrycznej a wielkością produkcji wyrobów
L i K. Oszacować za pomocą metody najmniejszych kwadratów parametry funkcji regresji typu
Y = b1*X1 + b2*X2 + b0, gdzie Y oznacza zużycie energii elektrycznej, X1 - produkcję wyrobu L,
X2 - produkcję wyrobu K.

---

Sheet 12: Zadanie 6

Zadanie 6
	v [km/h]	m [kg]	p [bar]	[l/100 km]
	X1	X2	X3	Y		Y = b0 + b1 * X1 + b2 * X2 + b3 * X3
	47	58	2,2	5,19		Y = b0 + b1 * v + b2 * m + b3 * p
	47	117	2,2	5,20
	51	122	2,1	5,27
	57	124	2,1	5,37
	57	126	2,1	5,95
	60	128	2,1	6,08
	65	148	2,0	6,25
	66	193	2,0	6,43
	69	200	2,0	6,53
	75	285	2,0	6,56
	78	326	2,0	6,57
	79	353	2,0	6,58
	81	357	2,0	6,67
	85	364	1,9	6,85
	86	369	1,9	6,92
	87	375	1,9	6,98
	89	387	1,9	7,29
	91	459	1,9	7,37
	92	460	1,9	7,70
	92	487	1,8	7,79