ROZWÓJ
OPERACYJNEGO
ROZUMOWANIA I JEGO
ZNACZENIE W UCZENIU
SIĘ MATEMATYKI

Operacyjne rozumowanie to sposób
funkcjonowania intelektualnego, który
kształtuje się i dojrzewa zgodnie z rytmem
rozwojowym człowieka. W kolejnych
okresach i stadiach rozwojowych zmienia
się sposób w jaki człowiek ujmuje i
porządkuje oraz wyjaśnia rzeczywistość.
Zmiany te mają charakter progresywny i
przebiegają od form prostych, silnie
powiązanych

ze

spostrzeganiem

i

wykonywanymi czynnościami, do form
coraz

bardziej

precyzyjnych,

zrealizowanych

w

umyśle,

a

więc

abstrakcyjnych i hipotetycznych.

Etapy rozwoju operacyjnego rozumowania:

I okres – do około 18 m-ca życia- kształtowanie się inteligencji
praktycznej (sensoryczno-motorycznej); aktywność poznawcza
ukierunkowana jest na poznanie świata rzeczy i porządkowanie
najbliższej przestrzeni; efektem tego, jest między innymi,
rozumienie stałości przedmiotów i ich rozmieszczania wokół
własnej osoby.

II okres – do 12 roku życia - także i w tym okresie sprawą
najważniejszą jest poznanie świata rzeczy, dlatego nazywa się go
okresem kształtowania operacji konkretnych. Został on
podzielony na dwa podokresy

• I podokres – przedoperacyjny (wyobrażeń
przedoperacyjnych) trwa do 7 roku życia – czas przygotowania i
dojrzewania pierwszych operacji konkretnych

• II podokres - zdolność do operacyjnego rozumowania
rozszerza się z kategorii liczbowych na kategorie przestrzenno –
czasowe. Powoli ustala się operacyjne rozumowania o spoistej,
operacyjnej i konkretnej logice. Po osiągnięciu pełnych
kompetencji zaczyna się stopniowe przechodzenie do
następnego okresu.

III okres – rozumowania na poziomie operacyjnym typu
formalnego.

W

życiu

dziecka przełomowym momentem
jest 7 r. ż. , w tym czasie u większości
dzieci, ale nie u wszystkich, pojawiają
się

pierwsze

operacje

konkretne.

Dziecko zaczyna się posługiwać logiką
zbliżoną do tej, której używają dorośli.
Jest to także preferowany sposób
myślenia w uczeniu się matematyki,
przyrody,

a

potem

w

trakcie

opanowywania początków fizyki, chemii
oraz biologii.

W grupie dzieci rozpoczynających naukę w szkole
różnice indywidualne w tempie rozwoju umysłowego
mogą – zdaniem I. Wołoszynowej(1977) – wynosić
cztery lata. Oznacza to, że są tam dzieci, które w
swoim rozumowaniu posługują się już systemami
całościowymi, a nie tylko pojedyńczymi operacjami
konkretnymi. Jednocześnie w tej samej grupie
znajdują się dzieci rozumujące jeszcze na poziomie
przedoperacyjnym. Tak wielkie różnice indywidualne
wyjaśniają jedną z przyczyn niepowodzeń w uczeniu
się matematyki.

Z badań E. Gruszczyk – Kolczyńska wynika, że

istnieje

związek

efektów

uczenia

się

matematyki

z

rozwojem

operacyjnego

rozumowania. Dzieci, które nie rozumieją jeszcze
operacyjnie w określonym zakresie, nie potrafią
przyswoić sobie pojęcia liczby naturalnej, opanować
czterech działań arytmetycznych ani też rozwiązać
zadań matematycznych na wymaganych przez
nauczyciela poziomie.

Wg prof. Gruszczyk - Kolczyńskiej zakres
operacyjnego

rozumowania

na

poziomie

konkretnym wyznaczają m.in. takie wskaźniki:
1.Operacyjne

rozumowanie

w

obrębie

ustalania

stałości

ilości

nieciągłych.

Warunkiem

koniecznym

dla

zrozumienia

aspektu kardynalnego liczby naturalnej jest
zdolność do wyprowadzania wniosku, że liczba
elementów

nie

zmienia

się

mimo

obserwowanych

przemieszczeń

tych

elementów, a także zdolność do operacyjnego
ustalania równoliczności zbiorów. Jest to także
podstawa rozumienia i opanowania czterech
działań arytmetycznych oraz uchwycenia
sensu matematycznego zadań tekstowych.

Wskaźniki rozumowania

operacyjnego

2.Operacyjne porządkowanie elementów

w

zbiorze

przy

wyznaczaniu

konsekwentnych

serii.

Ten

zakres

rozumowania jest podstawa rozumienia
relacji porządkującej i jej własności, a potem
aspektu porządkowego i miarowego liczby
naturalnej. Umożliwia dzieciom wydobycie
sensu matematycznego z wielu zadań
tekstowych.

3.Operacyjne rozumowanie w zakresie

ustalania stałości masy (tworzywa). Dla
kształtowania pojęcia miary i umiejętności
mierzenia jest potrzebne wnioskowanie: jest
tyle samo, mimo że zmiany przekształcające
sugerują, iż teraz: jest więcej lub mniej. Ten
sposób rozumowania pozwala dzieciom
zrozumieć zależności zawarte w zadaniach
tekstowych dotyczących pomiaru masy lub
tworzywa.

4.Operacyjne rozumowanie w zakresie

ustalania stałości długości przy
obserwowanych przekształceniach.
Postawa

dla

kształtowania

pojęć

geometrycznych oraz opanowywania
umiejętności

mierzenia

długości.

Umożliwia dzieciom rozumienie zadań
tekstowych

dotyczących

pomiaru

długości.

5.Operacyjne rozumowanie w zakresie

ustalania stałej objętości cieczy,
przy transformacjach zmieniających
jej wygląd. Jest to konieczne dla
rozumienia

pomiaru

pojemności.

Umożliwia dzieciom rozumienie zadań
tekstowych,

w

których

występują

jednostki pojemności.

Z badań E. Gruszczyk-

Kolczyńskiej

nad

zjawiskami

niepowodzeń

w

uczeniu

się

matematyki wynika, że trzy pierwsze
lata nauki mają zasadnicze znaczenie.
Jeżeli dziecko w tym okresie potrafi
sprostać wymaganiom, można z dużą
pewnością przyjąć, że i później nie
będzie miało większych kłopotów. Nie
może

jednak

opuszczać

lekcji

matematyki i musi samodzielnie
odrabiać zadania, a sposób nauczania
matematyki musi być prawidłowy.

Większość

zaburzeń

w

uczeniu

się

matematyki, a nawet blokad w opanowaniu
wiadomości i umiejętności matematycznych,
jest bowiem spowodowana tym, że dzieci nie
rozumują operacyjnie, a muszą uczyć się
matematyki na sposób szkolny, który
wymaga takiego rozumowania. Ważna jest
następująca kolejność:

pierwsze dwa wskaźniki operacyjnego
rozumowania są dzieciom bezwzględnie
potrzebne dla uczenia się matematyki już
pod koniec klasy zerowej i na początku klasy
pierwszej;

następne

wskaźniki

operacyjnego

rozumowania są konieczne dla sprostania
wymaganiom

stawianym

dzieciom

pod

koniec klasy pierwszej;

na początku klasy drugiej dzieci powinny
już rozumować operacyjnie, co najmniej w
zakresie

wszystkich

wymienionych

wskaźników.

Jeżeli tak nie jest pojawiają się nadmierne
trudności

w

zakresie

uczenia

się

matematyki. Kształtują się mechanizmy
obronne, które powodują, że dziecko
unika

rozwiązywania

zadań

wymagających wysiłku intelektualnego.
Następuje zwolnienie tempa rozwoju
umysłowego i nie ma właściwie szans, by
dalszy rozwój operacyjnego rozumowania
przebiegał prawidłowo. Oznacza to, że
pozostałe

wskaźniki

operacyjnego

rozumowania pojawiają się znacznie
później. Ważne jest, aby każde dziecko,
pod koniec klasy zerowej i najpóźniej na
początku klasy pierwszej, rozumiało już
operacyjnie w co najmniej dwóch
pierwszych wskaźnikach.

Mając to na uwadze E. Gruszczyk - Kolczyńska
przeprowadziła całą serię badań wśród dzieci
przedszkolnych i uczniów klasy pierwszej. Dążyła w
nich do określenia operacyjnego rozumowania.
Badania te zrealizowała we wrześniu, a więc na
początku roku szkolnego. Zastosowała w nich serię
eksperymentów diagnostycznych wzorowanych na
metodyce badań J. Piageta. Badania były prowadzone
indywidualnie i objęła nimi wszystkie bez wyjątku
dzieci uczęszczające do wybranych przedszkoli lub
wybranych klas pierwszych. Zależało jej bowiem na
ustaleniu

stopnia

zróżnicowania

poziomu

rozumowania operacyjnego w grupach rówieśniczych.
Chciała na ich podstawie wnioskować o rozpiętości
możliwości intelektualnych dzieci w typowej klasie, a
także o tym, na jakie problemy natrafia nauczyciel
kształtując w ich umysłach pojęcia i umiejętności
matematyczne. Badania te ukazują także, ile dzieci
nie osiągnęło dojrzałości intelektualnej do uczenia się
matematyki na początku roku szkolnego.

Analizując zachowania dzieci podczas badań E. Gruszczyk
– Kolczyńska wyróżniła trzy poziomy zachowania.
Odpowiadają one tym, które wymienia J. Piaget. W
polskich tłumaczeniach prac Piageta nazywa się je
odpowiednio:

poziom

przedoperacyjny,

poziom

przejściowy i poziom operacji konkretnych.
Badania E. Gruszczyk – Kolczyńskiej nie mają na celu
weryfikacji ustaleń J. Piageta, lecz określenie kompetencji
intelektualnych, tych operacyjnych, potrzebnych w
uczeniu się matematyki. Dlatego oprócz tradycyjnego
nazewnictwa stosuje następujące określenia:
a) Niski poziom operacyjnego rozumowania, poziom

przedoperacyjny,

b) Średni

poziom

operacyjnego

rozumowania,

poziom przejściowy,

c) Wysoki

poziom

operacyjnego

rozumowania,

poziom operacji konkretnych.

Z wielu obserwacji E.Gruszczyk - Kolczyńskiej
wynika, że nauczycielki uczące w klasach
początkowych , a nawet w klasie zerowej , nie
przypuszczają, że sporo dzieci w klasie
odmiennie

interpretuje

sens

zadań

matematycznych. Wydaje im się, że mówią o
sprawach tak jasnych i oczywistych, że nie
może

być

nawet

mowy

o

jakimś

nieporozumieniu. Po prostu nie zdają sobie
sprawy, że dziecko może funkcjonować w
innej konwencji logicznej. Tym bardziej, iż
dziecko – mam tu na myśli to, które rozumuje
na niskim poziomie operacyjnego myślenia –
nie może wyjaśnić swych wątpliwości, gdyż
musiałoby

to

uczynić

w

kategoriach

operacyjnych,

a

te

są

mu

przecież

niedostępne. Dotyczy to także rodziców
wtedy,

gdy

chcą

dziecku

pomóc

w

rozwiązaniu zadania.

Niski

poziom

operacyjnego

rozumowania

przeszkodą

w

kształtowaniu w umysłach dzieci
pojęcia liczby naturalnej

Omówienie tego problemu zacznę od przypomnienia, że
pojęcia matematyczne i język matematyki są ze swej natury
operacyjne. W tej samej konwencji logicznej są ujęte treści
programu nauczania matematyki, także na poziomie
nauczania początkowego. Nie jest to, co prawda, jasno
wyrażone w programie – nie ma tam takiego określenia –
lecz dobór i układ treści wyraźnie na to wskazuje.
Przykładem jest zalecany w programie sposób kształtowania
pojęcia liczby naturalnej oraz umiejętności dodawania i
odejmowania, a także mnożenia i dzielenia. Również i
metodyka nauczania początkowego matematyki opracowana
jest w konwencji operacyjnej i zleca stosowanie metod
czynnościowych (Z. Semedeni red. 1981,1984,1985, a także
H. Moroz 1978, J. Hawlicki 1978). Wynika z tego jasno,
nauczanie matematyki w szkole ma charakter operacyjny i
to już od początku klasy I. Tym samym przyjmuje się, że
wszystkie dzieci rozpoczynające naukę w szkole rozumują
już operacyjnie przynajmniej w tym zakresie, który jest
konieczny do rozpoczęcia kształtowania pojęcia liczby
naturalnej.

Z badań przeprowadzonych przez E. Gruszczyk
- Kolczyńskiej wynika, że założenie to tylko po
części jest słuszne. Okazuje się bowiem, że we
wrześniu, a więc tuż po rozpoczęciu nauki w
klasie I, około 30% siedmiolatków nie osiągnęło
jeszcze należytych kompetencji intelektualnych
do uczenia się matematyki. Mam tu na myśli
program i stosowane metody nauczania.
Jeszcze gorzej przedstawia się sytuacja w
klasach zerowych i oddziałach przedszkolnych,
gdzie także stosuje się powszechnie elementy
operacyjnego

kształtowania

pojęć

i

umiejętności matematycznych dzieci. We
wrześniu

około

69%

sześciolatków

nie

reprezentuje bowiem koniecznych kompetencji
intelektualnych – tych operacyjnych – do
takiego uczenia się matematyki.

Dorośli, niestety także i nauczyciele, nie mają
elementarnej wiedzy o tym, jak bardzo różni się
ich rozumowanie od dziecięcego myślenia. Zbyt
rzadko także szanują inność logiki dziecka.
Dlatego:

•Zmuszają dzieci do rozwiązywania zadań
nie bacząc, czy są one im dostępne.
Ponieważ zadania te wydają się dorosłym łatwe,
niemożność rozwiązywania ich przez dziecko
interpretują jako przejaw zlej woli lub lenistwa.
Dlatego zamiast przybliżyć dziecku treść
zadania, są skłonni karać je za to, że
rozwiązywanie zadania nie przebiega należycie.

•Narzucają dzieciom swój dorosły sposób
rozumowania - przejaw logiki operacyjnej na
poziomie konkretnym lub formalnym. Nie
dostrzegają, że takie myślenie jest dziecku
jeszcze obce i niezgodne z jego sposobem
ujmowania

rzeczywistości.

Jeżeli

dziecko

ujawnia swój punkt widzenia, jest karcone lub
wyśmiewane.

•Przekazują dzieciom polecenia, a także
wyjaśniają im problemy za pomocą słów i
zwrotów, których one nic znają lub
inaczej rozumieją. Dzieci nie potrafią nawet
wyrazić słowami, czego nie pojmują, gdyż nie
są w stanie powtórzyć nawet tego, co mówił
dorosły, a cóż dopiero podjąć dyskusję i
określić swe wątpliwości.

Pod

wpływem

tych

nacisków

dzieci

rezygnują z własnego rozumowania i zastępują
go podanym wzorem. Uczą się na pamięć
schematów i stosują je niezależnie od tego,
czy jest to potrzebne, czy nie. Stają się mało
samodzielne

i

wycofują

się

z

zadań

wymagających wysiłku intelektualnego. Boją
się cokolwiek powiedzieć, aby się nie
ośmieszyć. Tracą krytycyzm i uzależniają się
od innych. Uczą się bezradności zamiast
samodzielnego rozwiązywani problemów.

Bibliografia

 Gruszczyk – Kolczyńska E., Dzieci ze specyficznymi
trudnościami

w

uczeniu

się

matematyki,

wydawnictwo WSiP.
 http://www.sp3.lubsko.pl/iza2.pdf
http://www.edukacja.q4.pl/007.htm
http://chomikuj.pl/calineczkapoz/Pedagogika+i+psy
chologia/E.Gruszczyk-Kolczy*c5*84ska/E.
+GRUSZCZYK-KORCZY*c5*83SKA+-
+DZIECI+ZE+SPECYFICZNYMI+TRUDNO*c5*9aCIAMI
+W+UCZENIU+SI*c4*98+MATEMATYKI,262787285.d
oc