Mechanika I (13)

background image

T14. Dynamika układu punktów

materialnych. Dynamika bryły

sztywnej.

Pęd układu punktów materialnych.

Moment pędu układu punktów

materialnych.

Równania ruchu bryły sztywnej.

Momenty bezwładności bryły

sztywnej.

Przykład.

background image

Pęd układu punktów
materialnych

0

x

y

z

- siły
wewnętrzne

- siły
zewnętrzne

Z III zasady dynamiki wynika,
że:

Ponieważ siły wewnętrzne
działają wzdłuż tych samych
prostych:

1

A

2

A

3

A

1,2

F

2,1

F

2,3

F

3,1

F

1,3

F

3,2

F

1

F

2

F

3

F

,

i j

F

i

F

,

,

i j

j i

F

F

=-

r

r

0

0

,

,

i j

j i

M

M

=-

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Wniosek:

Wypadkowa siła sił wewnętrznych układu
punktów materialnych równa jest zeru.

Wniosek:

Wypadkowy moment sił wewnętrznych układu
punktów materialnych równy jest zeru.

,

,

0

i j

j i

F

F

+

=

r

r

,

1

n

wi

i j

j

F

F

=

=

r

r

,

1

1

1

0

n

n

n

w

wi

i j

i

i

j

F

F

F

=

=

=

=

=

=

��

r

r

r

0

0

,

,

0

i j

j i

M

M

+

=

r

r

0

0 ,

1

n

wi

i j

j

M

M

=

=

r

r

0

0

0 ,

1

1

1

0

n

n

n

w

wi

i j

i

i

j

M

M

M

=

=

=

=

=

=

��

r

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Wniosek:

Szybkość zmian wypadkowego pędu układu
punktów materialnych równa jest wypadkowej
sił zewnętrznych.

i

wi

i

dP

F

F

dt

=

+

r

r

r

(

)

1

1

n

n

i

wi

i

i

i

dP

F

F

dt

=

=

=

+

r

r

r

1

1

1

n

n

n

i

wi

i

i

i

i

d

P

F

F

dt

=

=

=

=

+

� �

r

r

r

1

1

,

,

n

n

i

i

i

i

d

P F

P

P

F

F

dt

=

=

=

=

=

r

r

r

r

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Wniosek:

Szybkość zmian wypadkowego momentu pędu
układu punktów materialnych równa jest
wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych.

0

0

0

i

wi

i

dK

M

M

dt

=

+

r

r

r

(

)

0

0

0

1

1

n

n

i

wi

i

i

i

dK

M

M

dt

=

=

=

+

r

r

r

0

0

0

1

1

1

n

n

n

i

wi

i

i

i

i

d

K

M

M

dt

=

=

=

=

+

r

r

r

0

0

0

0

0

0

1

1

,

,

n

n

i

i

i

i

d

K

M

K

K

M

M

dt

=

=

=

=

=

r

r

r

r

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Wniosek:

Pęd układu punktów materialnych możemy
wyrazić jako iloczyn sumy mas i prędkości
środka ciężkości.

- położenie środka masy układu punktów
materialnych

1

1

1

n

n

n

i

i

i i

i

i

i

i

dr

P

P

mu

m

dt

=

=

=

=

=

=

� �

r

r

r

r

1

n

i i

i

d

P

mr

dt

=

= �

r

r

1

1

,

n

n

i i

C

i

i

i

mr mr

m

m

=

=

=

=

r

r

(

)

C

C

C

dr

d

P

mr

m

mu

dt

dt

=

=

=

r

r

r

r

C

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Twierdzenie o ruchu środka masy:

Środek masy układu punktów materialnych
porusza się tak, jakby była w nim
skoncentrowana cała masa układu i działała na
niego wypadkowa siła.

C

du

d P

m

F

dt

dt

=

=

r

r

r

background image

Pęd układu punktów
materialnych

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych jest równa
zeru, pęd układu punktów materialnych
pozostaje stały.

F - siła ciągu

0

0

d P

F

P const

dt

=

=

=

r

r

r

(

)

(

)

0

r

p

p

r

p

P

m m u

dm

d P

du

m m

u

dt

dt

dt

=

+

=

+

+

=

(

)

p

r

p

dm

du

m m

u

F

dt

dt

+

=-

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

Ruch obrotowy bryły sztywnej o jednym stopniu
swobody

C

z

I

z

moment bezwładności

bryły względem osi z

Cz

Cz

dK

M

dt

=

(

)

2

Czi

i i i

i

i

z

i

i i

z

K

muh m h

h mh

w

w

=

=

=

2

,

Czi

zi

z

zi

i i

K

I

I

mh

w

=

=

1

1

n

n

Cz

zi

z

z

zi

z z

i

i

K

I

I

I

w

w

w

=

=

=

=

=

i

h

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

Ruch obrotowy bryły sztywnej o trzech stopniach
swobody

C

z

y

x

Cx

x x

K

I

w

=

Cx

x

x

Cx

dK

d

I

M

dt

dt

w

=

=

Cy

y y

K

I

w

=

Cz

z z

K

I

w

=

x

Cx

x

x

d

M

dt

I

w

e

=

=

w

r

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

x

Cx

x

d

M

dt

I

w

=

y

Cy

y

d

M

dt

I

w

=

Cz

z

z

M

d

dt

I

w

=

cos

sin sin

sin

sin cos

cos

x

y

z

d

d

dt

dt

d

d

dt

dt

d

d

dt

dt

J

j

y

J

y

w

J

j

y

J

y

w

y

j

J

w

+

=

-

=

+

=

0

0

0

0

0

0

(0)

,

(0)

,

(0)

(0)

,

(0)

,

(0)

x

x

y

y

z

z

w

w

w

w

w

w

y

y

J

J

j

j

=

=

=

=

=

=

background image

Energia kinetyczna bryły
sztywnej

Energia kinetyczna w ruchu
obrotowym:

C

z

2

2 2

1

1

2

2

ki

i i

i

i

E

mu

m h

w

=

=

2 2

1

2

1

n

k

i

i

i

E

m h

w

=

=

i

h

2

2

2

1

1

2

2

1

n

k

i i

z

i

E

mh

I

w

w

=

=

=

background image

Energia kinetyczna bryły
sztywnej

Energia kinetyczna w ruchu
postępowym:

Twierdzenie Koeniga:

Energia kinetyczna bryły sztywnej dla ruchu
dowolnego jest sumą energii kinetycznej ruchu
postępowego z prędkością równą prędkości
środka masy i energii kinetycznej w chwilowym
ruchu obrotowym ciała względem jego środka
masy

2

1

2

ki

i

E

mu

=

2

2

1

1

2

2

1

n

k

i

i

E

mu

mu

=

=

=

2

2

1

1

2

2

k

l

E

mu

I w

=

+

background image

Momenty bezwładności
bryły

C

z

y

x

Podzielmy bryłę na jednakowe
elementy o objętości DV

i

h

2

2

2

(

)

zi

i i

i

i

I

mh

V x

y

r

=

= D

+

2

2

i

i

i

h

x

y

=

+

(

)

2

2

2

2

0

1

lim

(

)

n

z

i

i

V

i

V

I

V x

y

x

y dV

r

r

D �

=

=

D

+

=

+

(

)

(

)

2

2

2

2

,

x

y

V

V

I

y

z dV

I

x

z dV

r

r

=

+

=

+

background image

Momenty bezwładności
bryły

C

z

y

x

I

xz

moment bezwładności bryły

względem
płaszczyzny xz

moment bezwładności
bryły względem bieguna
C

i

h

(

)

2

x

y

z

xy

xz

yz

I

I

I

I

I

I

+ + =

+ +

2

2

x

xz

xy

V

V

I

y dV

z dV I

I

r

r

=

+

= +

i

r

r

(

)

2

2

2

2

x

y

z

V

I

I

I

x

y

z dV

+ + =

+ +

2

2

x

y

z

V

I

I

I

r dV

r

+ + =

2

C

V

I

r dV

r

=

background image

Moment bezwładności bryły względem bieguna C
jest własnością bryły i nie zależy od orientacji osi
układu współrzędnych. Natomiast momenty
bezwładności względem osi zależą od tej
orientacji.
Można tak dobrać orientację osi, że momenty
bezwładności względem tych osi przybiorą
wartość ekstremalną. Takie osie nazywamy

głównymi osiami bezwładności

.

Momenty bezwładności
bryły

background image

Momenty bezwładności
bryły

y

C

x

z

b

y

b

x

b

Momenty bezwładności względem głównych osi
bezwładności są właściwością bryły. Znając wartości
tych momentów i usytuowanie danej osi względem osi
głównych, możemy obliczyć wartość momentu
bezwładności względem tej osi.

min,

max

zb

xb

yb

I

I

I

=

=

=

background image

Momenty bezwładności
bryły

y

1

C

x

1

z

1

N

Przyjmujemy osie obracającego się układu
współrzędnych zgodne z głównymi osiami
bezwładności.

x

h

V

y

j

J

w

r

background image

z

1

y

1

x

1

0

1

Równania ruchu bryły
sztywnej

1

( )

C

K t

r

1

(

)

C

K t

t

+D

r

1

( )

w C

K t

D

r

1

( )

C

K t

D

r

1

( )

r

C

K t

D

r

1

1

1

1

0

0

0

1

lim

lim

lim

C

C

w C

r

C

t

t

t

C

C

C

w

dK

K

K

K

dt

t

t

t

dK

dK

K

dt

dt

w

D �

D �

D �

D

D

D

=

=

+

D

D

D

=

+ �

r

r

r

r

r

r

r

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

C

C

C

C

dK

K

K

M

dt

x

h

V

V

h

x

w

w

+

-

=

C

C

C

C

dK

K

K

M

dt

h

V

x

x

V

h

w

w

+

-

=

C

C

C

C

dK

K

K

M

dt

V

x

h

h

x

V

w

w

+

-

=

C

K

I

x

x x

w

=

C

K

I

h

h h

w

=

C

K

I

V

V V

w

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

(

)

C

d

I

I

I

M

dt

x

x

h

V

V

h

x

w

w w

+

-

=

(

)

C

d

I

I

I

M

dt

h

h

V x

x

V

h

w

w w

+

-

=

(

)

C

d

I

I

I

M

dt

V

V

x h

h

x

V

w

w w

+

-

=

background image

y

1

0

1

x

1

z

1

Równania ruchu bryły
sztywnej

y

x

1

w

2

w

V

3

w

h

y

3

1

cos

V

w w w

J

= +

sin cos

sin

d

d

dt

dt

h

y

J

J

j

j

w

-

=

J

y

1

2

sin sin

cos

x

w w

J

j

w

j

=

+

x

j

h

sin sin

cos

d

d

dt

dt

x

y

J

J

j

j

w

+

=

1

2

sin cos

sin

h

w w

J

j

w

j

=

-

cos

d

d

dt

dt

V

y

j

J

w

+

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

Przykład:

r

1

r

2

l

y

x

z

0

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

Przykład:

y

x

0

x

1

y

1

G

R

T

C

0

( )

r t

r

0

1

2

( )

r t

r r

= -

r

( )

t

a

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

x

1

y

1

G

R

T

M

T

=

-Tr

2

F

Bn

F

Bs

Opis ruchu
postępowego

T

sin ( ) 0

Bn

R F

G

t

a

-

-

=

( )

t

a

cos ( ) 0

Bs

T F

G

t

a

+

-

=

2

0

1

2

(

)

Bn

F

m

r r

w

=

-

0

1

2

(

)

Bs

d

du

F

m

m

r r

dt

dt

w

=

=

-

0

1

2

(

)

cos

d

m

r r

mg

T

dt

w

a

-

=

-

2

0

1

2

(

)

sin

R m

r r

mg

w

a

=

-

+

0

d

dt

a

w

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

x

1

y

1

M

T

=

-Tr

2

Opis ruchu obrotowego

A

Prędkość punktu A w układzie nieruchomym jest równa
zero.

( )

t

j

2

z

d

I

Tr

dt

w

=-

d

dt

j

w

=

x

h

(

)

2

0

1

2

0

r

r r

w

w

+

-

=

0

1

2

2

2

z

d

r r

I

Tr

r

dt

w

-

=

(

)

1

2

0

2

r r

r

w

w

-

=-

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

0

1

2

(

)

cos

d

m

r r

mg

T

dt

w

a

-

=

-

0

1

2

2

2

z

d

r r

I

Tr

r

dt

w

-

=

0

1

2

2

2

z

d

r r

T

I

r

dt

w

-

=

0

0

1

2

1

2

2

2

(

)

cos

z

d

d

r r

m

r r

mg

I

dt

r

dt

w

w

a

-

-

=

-

0

2

2

1

2

cos

1

z

d

I

g

dt

mr

r r

w

a

+

=

-

0

d

dt

a

w

=

0

0

(0)

,

(0) 0

a

a

w

=

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

2. Wyznaczamy prędkość kątową obrotu
walca:

3. Wyznaczamy kąt obrotu
walca:

1. Rozwiązując układ równań wyznaczamy funkcje:

1

0

2

( )

( )

r

t

t

r

w

w

=

0

( )

( )

t

t

d

j

w t t

=

0

( ), ( )

t

t

a

w

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

x

1

y

1

A

C

( )

t

j

x

h

1

( )

( )

( )

( )

cos ( )

sin ( )

A

C

A

C

A

A

x t

x t

x t

x t

t

t

x

j

h

j

=

+

=

+

-

1

( )

( )

( )

( )

sin ( )

cos ( )

A

C

A

C

A

A

y t

y t

y t

x t

t

t

x

j

h

j

=

+

=

+

+

1

2

( ) (

)sin ( )

C

x t

r r

t

a

= -

1

2

( ) (

)cos ( )

C

y t

r r

t

a

= -

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

C

z

y

x

i

h

i

r

r

(

)

2

2

z

V

I

x

y dV

r

=

+

2

2

2

2

0 0

2

l

r

z

l

I

h hd dhdz

p

r

j

-

=

���

2

3

4

1

2

2

0

2

r

z

I

l h dh

lr

pr

pr

=

=

2

2

m

lr

pr

=

2

1

2

2

z

I

r

m

=

background image

Równania ruchu bryły
sztywnej

2

1

2

0

2

2

2

1

2

cos

1

r

d

g

dt

r

r r

w

a

+

=

-

(

)

0

1

2

1

2

cos

1

d

g

dt

r r

w

a

+ =

-

(

)

0

1

2

2 cos

3

d

g

dt

r r

w

a

=

-

0

d

dt

a

w

=

background image

Dziękuję za uwagę


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mechanika, 13+, Ćwiczenie 13
Mechanika 13
Mechanika I 13-14 L gr. 1.8 końcowe
mechana 13, NAUKA, budownictwo, BUDOWNICTWO sporo, Złota, mechanika budowli, MECHANIKA BUDOWLI, Mech
Mechanika I 13 14 L gr 1 8 końcowe
Mechanika techniczna(13)
Mechanika płynów wykład 13
Koral 13, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
13 dysza venturiego, mechanika plynów
13. TERENOWE - in situ, Inżynieria środowiska, inż, Semestr IV, Mechanika gruntów, laboratorium
Wyklad 13 Pomiar mocy, Energetyka Politechnika Krakowska Wydział Mechaniczny I stopień, Miernictwo
Mechanika nieba wykład 13
Zaliczenie.teoria.13, AGH GiG WWNiG, mechanika płynów
funkcjonowanie rynków i mechanizmu rynkowego (13 str), Ekonomia
funkcjonowanie rynków i mechanizmu rynkowego (13 str), Ekonomia, ekonomia
lab.płyny.4.13.R, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów

więcej podobnych podstron