T14. Dynamika układu punktów
materialnych. Dynamika bryły
sztywnej.
Pęd układu punktów materialnych.
Moment pędu układu punktów
materialnych.
Równania ruchu bryły sztywnej.
Momenty bezwładności bryły
sztywnej.
Przykład.
T14. Dynamika układu punktów
materialnych. Dynamika bryły
sztywnej.
Pęd układu punktów materialnych.
Moment pędu układu punktów
materialnych.
Równania ruchu bryły sztywnej.
Momenty bezwładności bryły
sztywnej.
Przykład.
Pęd układu punktów
materialnych
0
x
y
z
- siły
wewnętrzne
- siły
zewnętrzne
Z III zasady dynamiki wynika,
że:
Ponieważ siły wewnętrzne
działają wzdłuż tych samych
prostych:
1
A
2
A
3
A
1,2
F
2,1
F
2,3
F
3,1
F
1,3
F
3,2
F
1
F
2
F
3
F
,
i j
F
i
F
,
,
i j
j i
F
F
=-
r
r
0
0
,
,
i j
j i
M
M
=-
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Wniosek:
Wypadkowa siła sił wewnętrznych układu
punktów materialnych równa jest zeru.
Wniosek:
Wypadkowy moment sił wewnętrznych układu
punktów materialnych równy jest zeru.
,
,
0
i j
j i
F
F
+
=
r
r
,
1
n
wi
i j
j
F
F
=
=
�
r
r
,
1
1
1
0
n
n
n
w
wi
i j
i
i
j
F
F
F
=
=
=
=
=
=
�
��
r
r
r
0
0
,
,
0
i j
j i
M
M
+
=
r
r
0
0 ,
1
n
wi
i j
j
M
M
=
=
�
r
r
0
0
0 ,
1
1
1
0
n
n
n
w
wi
i j
i
i
j
M
M
M
=
=
=
=
=
=
�
��
r
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Wniosek:
Szybkość zmian wypadkowego pędu układu
punktów materialnych równa jest wypadkowej
sił zewnętrznych.
i
wi
i
dP
F
F
dt
=
+
r
r
r
(
)
1
1
n
n
i
wi
i
i
i
dP
F
F
dt
=
=
=
+
�
�
r
r
r
1
1
1
n
n
n
i
wi
i
i
i
i
d
P
F
F
dt
=
=
=
=
+
� �
�
r
r
r
1
1
,
,
n
n
i
i
i
i
d
P F
P
P
F
F
dt
=
=
=
=
=
�
�
r
r
r
r
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Wniosek:
Szybkość zmian wypadkowego momentu pędu
układu punktów materialnych równa jest
wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych.
0
0
0
i
wi
i
dK
M
M
dt
=
+
r
r
r
(
)
0
0
0
1
1
n
n
i
wi
i
i
i
dK
M
M
dt
=
=
=
+
�
�
r
r
r
0
0
0
1
1
1
n
n
n
i
wi
i
i
i
i
d
K
M
M
dt
=
=
=
=
+
�
�
�
r
r
r
0
0
0
0
0
0
1
1
,
,
n
n
i
i
i
i
d
K
M
K
K
M
M
dt
=
=
=
=
=
�
�
r
r
r
r
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Wniosek:
Pęd układu punktów materialnych możemy
wyrazić jako iloczyn sumy mas i prędkości
środka ciężkości.
- położenie środka masy układu punktów
materialnych
1
1
1
n
n
n
i
i
i i
i
i
i
i
dr
P
P
mu
m
dt
=
=
=
=
=
=
� �
�
r
r
r
r
1
n
i i
i
d
P
mr
dt
=
�
�
= �
�
�
�
�
r
r
1
1
,
n
n
i i
C
i
i
i
mr mr
m
m
=
=
=
=
�
�
r
r
(
)
C
C
C
dr
d
P
mr
m
mu
dt
dt
=
=
=
r
r
r
r
C
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Twierdzenie o ruchu środka masy:
Środek masy układu punktów materialnych
porusza się tak, jakby była w nim
skoncentrowana cała masa układu i działała na
niego wypadkowa siła.
C
du
d P
m
F
dt
dt
=
=
r
r
r
Pęd układu punktów
materialnych
Zasada zachowania pędu:
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych jest równa
zeru, pęd układu punktów materialnych
pozostaje stały.
F - siła ciągu
0
0
d P
F
P const
dt
=
�
=
�
=
r
r
r
(
)
(
)
0
r
p
p
r
p
P
m m u
dm
d P
du
m m
u
dt
dt
dt
=
+
=
+
+
=
(
)
p
r
p
dm
du
m m
u
F
dt
dt
+
=-
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
Ruch obrotowy bryły sztywnej o jednym stopniu
swobody
C
z
I
z
–
moment bezwładności
bryły względem osi z
Cz
Cz
dK
M
dt
=
(
)
2
Czi
i i i
i
i
z
i
i i
z
K
muh m h
h mh
w
w
=
=
=
2
,
Czi
zi
z
zi
i i
K
I
I
mh
w
=
=
1
1
n
n
Cz
zi
z
z
zi
z z
i
i
K
I
I
I
w
w
w
=
=
=
=
=
�
�
i
h
Równania ruchu bryły
sztywnej
Ruch obrotowy bryły sztywnej o trzech stopniach
swobody
C
z
y
x
Cx
x x
K
I
w
=
Cx
x
x
Cx
dK
d
I
M
dt
dt
w
=
=
Cy
y y
K
I
w
=
Cz
z z
K
I
w
=
x
Cx
x
x
d
M
dt
I
w
e
=
=
w
r
Równania ruchu bryły
sztywnej
x
Cx
x
d
M
dt
I
w
=
y
Cy
y
d
M
dt
I
w
=
Cz
z
z
M
d
dt
I
w
=
cos
sin sin
sin
sin cos
cos
x
y
z
d
d
dt
dt
d
d
dt
dt
d
d
dt
dt
J
j
y
J
y
w
J
j
y
J
y
w
y
j
J
w
+
=
-
=
+
=
0
0
0
0
0
0
(0)
,
(0)
,
(0)
(0)
,
(0)
,
(0)
x
x
y
y
z
z
w
w
w
w
w
w
y
y
J
J
j
j
=
=
=
=
=
=
Energia kinetyczna bryły
sztywnej
Energia kinetyczna w ruchu
obrotowym:
C
z
2
2 2
1
1
2
2
ki
i i
i
i
E
mu
m h
w
=
=
2 2
1
2
1
n
k
i
i
i
E
m h
w
=
=
�
i
h
2
2
2
1
1
2
2
1
n
k
i i
z
i
E
mh
I
w
w
=
=
=
�
Energia kinetyczna bryły
sztywnej
Energia kinetyczna w ruchu
postępowym:
Twierdzenie Koeniga:
Energia kinetyczna bryły sztywnej dla ruchu
dowolnego jest sumą energii kinetycznej ruchu
postępowego z prędkością równą prędkości
środka masy i energii kinetycznej w chwilowym
ruchu obrotowym ciała względem jego środka
masy
2
1
2
ki
i
E
mu
=
2
2
1
1
2
2
1
n
k
i
i
E
mu
mu
=
=
=
�
2
2
1
1
2
2
k
l
E
mu
I w
=
+
Momenty bezwładności
bryły
C
z
y
x
Podzielmy bryłę na jednakowe
elementy o objętości DV
i
h
2
2
2
(
)
zi
i i
i
i
I
mh
V x
y
r
=
= D
+
2
2
i
i
i
h
x
y
=
+
(
)
2
2
2
2
0
1
lim
(
)
n
z
i
i
V
i
V
I
V x
y
x
y dV
r
r
D �
=
=
D
+
=
+
�
�
(
)
(
)
2
2
2
2
,
x
y
V
V
I
y
z dV
I
x
z dV
r
r
=
+
=
+
�
�
Momenty bezwładności
bryły
C
z
y
x
I
xz
–
moment bezwładności bryły
względem
płaszczyzny xz
moment bezwładności
bryły względem bieguna
C
i
h
(
)
2
x
y
z
xy
xz
yz
I
I
I
I
I
I
+ + =
+ +
2
2
x
xz
xy
V
V
I
y dV
z dV I
I
r
r
=
+
= +
�
�
i
r
r
(
)
2
2
2
2
x
y
z
V
I
I
I
x
y
z dV
+ + =
+ +
�
2
2
x
y
z
V
I
I
I
r dV
r
+ + =
�
2
C
V
I
r dV
r
=
�
Moment bezwładności bryły względem bieguna C
jest własnością bryły i nie zależy od orientacji osi
układu współrzędnych. Natomiast momenty
bezwładności względem osi zależą od tej
orientacji.
Można tak dobrać orientację osi, że momenty
bezwładności względem tych osi przybiorą
wartość ekstremalną. Takie osie nazywamy
głównymi osiami bezwładności
.
Momenty bezwładności
bryły
Momenty bezwładności
bryły
y
C
x
z
b
y
b
x
b
Momenty bezwładności względem głównych osi
bezwładności są właściwością bryły. Znając wartości
tych momentów i usytuowanie danej osi względem osi
głównych, możemy obliczyć wartość momentu
bezwładności względem tej osi.
min,
max
zb
xb
yb
I
I
I
=
=
=
Momenty bezwładności
bryły
y
1
C
x
1
z
1
N
Przyjmujemy osie obracającego się układu
współrzędnych zgodne z głównymi osiami
bezwładności.
x
h
V
y
j
J
w
r
z
1
y
1
x
1
0
1
Równania ruchu bryły
sztywnej
1
( )
C
K t
r
1
(
)
C
K t
t
+D
r
1
( )
w C
K t
D
r
1
( )
C
K t
D
r
1
( )
r
C
K t
D
r
1
1
1
1
0
0
0
1
lim
lim
lim
C
C
w C
r
C
t
t
t
C
C
C
w
dK
K
K
K
dt
t
t
t
dK
dK
K
dt
dt
w
D �
D �
D �
D
D
D
=
=
+
D
D
D
�
�
=
+ �
�
�
�
�
r
r
r
r
r
r
r
Równania ruchu bryły
sztywnej
C
C
C
C
dK
K
K
M
dt
x
h
V
V
h
x
w
w
+
-
=
C
C
C
C
dK
K
K
M
dt
h
V
x
x
V
h
w
w
+
-
=
C
C
C
C
dK
K
K
M
dt
V
x
h
h
x
V
w
w
+
-
=
C
K
I
x
x x
w
=
C
K
I
h
h h
w
=
C
K
I
V
V V
w
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
(
)
C
d
I
I
I
M
dt
x
x
h
V
V
h
x
w
w w
+
-
=
(
)
C
d
I
I
I
M
dt
h
h
V x
x
V
h
w
w w
+
-
=
(
)
C
d
I
I
I
M
dt
V
V
x h
h
x
V
w
w w
+
-
=
y
1
0
1
x
1
z
1
Równania ruchu bryły
sztywnej
y
x�
1
w
2
w
V
3
w
h�
y
3
1
cos
V
w w w
J
= +
sin cos
sin
d
d
dt
dt
h
y
J
J
j
j
w
-
=
J
y
1
2
sin sin
cos
x
w w
J
j
w
j
=
+
x
j
h
sin sin
cos
d
d
dt
dt
x
y
J
J
j
j
w
+
=
1
2
sin cos
sin
h
w w
J
j
w
j
=
-
cos
d
d
dt
dt
V
y
j
J
w
+
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
Przykład:
r
1
r
2
l
y
x
z
0
Równania ruchu bryły
sztywnej
Przykład:
y
x
0
x
1
y
1
G
R
T
C
0
( )
r t
r
0
1
2
( )
r t
r r
= -
r
( )
t
a
Równania ruchu bryły
sztywnej
x
1
y
1
G
R
T
M
T
=
-Tr
2
F
Bn
F
Bs
Opis ruchu
postępowego
T
sin ( ) 0
Bn
R F
G
t
a
-
-
=
( )
t
a
cos ( ) 0
Bs
T F
G
t
a
+
-
=
2
0
1
2
(
)
Bn
F
m
r r
w
=
-
0
1
2
(
)
Bs
d
du
F
m
m
r r
dt
dt
w
=
=
-
0
1
2
(
)
cos
d
m
r r
mg
T
dt
w
a
-
=
-
2
0
1
2
(
)
sin
R m
r r
mg
w
a
=
-
+
0
d
dt
a
w
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
x
1
y
1
M
T
=
-Tr
2
Opis ruchu obrotowego
A
Prędkość punktu A w układzie nieruchomym jest równa
zero.
( )
t
j
2
z
d
I
Tr
dt
w
=-
d
dt
j
w
=
x
h
(
)
2
0
1
2
0
r
r r
w
w
+
-
=
0
1
2
2
2
z
d
r r
I
Tr
r
dt
w
-
=
(
)
1
2
0
2
r r
r
w
w
-
=-
Równania ruchu bryły
sztywnej
0
1
2
(
)
cos
d
m
r r
mg
T
dt
w
a
-
=
-
0
1
2
2
2
z
d
r r
I
Tr
r
dt
w
-
=
0
1
2
2
2
z
d
r r
T
I
r
dt
w
-
=
0
0
1
2
1
2
2
2
(
)
cos
z
d
d
r r
m
r r
mg
I
dt
r
dt
w
w
a
-
-
=
-
0
2
2
1
2
cos
1
z
d
I
g
dt
mr
r r
w
a
�
�
+
=
�
�
-
�
�
0
d
dt
a
w
=
0
0
(0)
,
(0) 0
a
a
w
=
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
2. Wyznaczamy prędkość kątową obrotu
walca:
3. Wyznaczamy kąt obrotu
walca:
1. Rozwiązując układ równań wyznaczamy funkcje:
1
0
2
( )
( )
r
t
t
r
w
w
=
0
( )
( )
t
t
d
j
w t t
=
�
0
( ), ( )
t
t
a
w
Równania ruchu bryły
sztywnej
x
1
y
1
A
C
( )
t
j
x
h
1
( )
( )
( )
( )
cos ( )
sin ( )
A
C
A
C
A
A
x t
x t
x t
x t
t
t
x
j
h
j
=
+
=
+
-
1
( )
( )
( )
( )
sin ( )
cos ( )
A
C
A
C
A
A
y t
y t
y t
x t
t
t
x
j
h
j
=
+
=
+
+
1
2
( ) (
)sin ( )
C
x t
r r
t
a
= -
1
2
( ) (
)cos ( )
C
y t
r r
t
a
= -
Równania ruchu bryły
sztywnej
C
z
y
x
i
h
i
r
r
(
)
2
2
z
V
I
x
y dV
r
=
+
�
2
2
2
2
0 0
2
l
r
z
l
I
h hd dhdz
p
r
j
-
=
���
2
3
4
1
2
2
0
2
r
z
I
l h dh
lr
pr
pr
=
=
�
2
2
m
lr
pr
=
2
1
2
2
z
I
r
m
=
Równania ruchu bryły
sztywnej
2
1
2
0
2
2
2
1
2
cos
1
r
d
g
dt
r
r r
w
a
�
�
+
=
�
�
-
�
�
(
)
0
1
2
1
2
cos
1
d
g
dt
r r
w
a
+ =
-
(
)
0
1
2
2 cos
3
d
g
dt
r r
w
a
=
-
0
d
dt
a
w
=
Dziękuję za uwagę