Instrumenty rynku

kapitałowego

OBLIGACJE

Wyboru dokonał: Jacek Mrowicki

Emitenci obligacji



Rząd;



Władze samorządowe;



Związki międzygminne;



Przedsiębiorstwa.

Najważniejsze rodzaje
obligacji.



Obligacje o stałym oprocentowaniu
(fixed interest bonds);



Obligacje o zmiennym oprocentowaniu
(floating rate notes);



Obligacje zamienne (convertibles)

Nabywca obligacji zamiennej ma prawo do jej
zamiany na akcje przedsiębiorstwa, które ją
wyemitowało ( na ściśle określonych warunkach –
np. przez podanie tzw. conversion ratio – proporcji
wymiany.

Najważniejsze rodzaje
obligacji cd.



Obligacje zerokuponowe



Obligacje indeksowane (index-linked
bonds)

Obligacje te zalicza się do obligacji o zmiennym
oprocentowaniu. Stopa oprocentowania obligacji
indeksowanych zależy od pewnej zmieniającej się
wartości np. stopy inflacji. Obligacje indeksowane
polegają na tym, że odsetki, a czasem i wartość
nominalna wypłacana po upływie terminu wykupu
są

powiększane

(indeksowane)

o

procent

wynikający np. z wielkości inflacji.

Stopa dochodu w terminie do
wykupu
(yield to maturity – YTM)

Stopa dochodu w terminie do wykupu to
efektywna stopa zwrotu z tytułu posiadania
obligacji.

n

P =  [ Ct / ( 1 + YTM )

t

]

t = 1

gdzie:
P – wartość obligacji;
Ct – dochód z tytułu posiadania obligacji, uzyskany w
t-tym

okresie;

n – liczba lat (okresów) do terminu wykupu obligacji.

Stopa dochodu w terminie do
wykupu
(Yield to maturity – YTM) cd.

Ponieważ często rozwiązanie analityczne

równania wyceny ze względu na YTM nie

jest możliwe, stosuje się wzór przybliżony.

YTM = [ I + (FV – CV) / n] / [( FV + CV) / 2]

gdzie:
I – odsetki z tytułu posiadania obligacji
FV – wartość nominalna obligacji
CV – bieżąca wartość obligacji

Obligacja zerokuponowa – wzór
na wycenę

P = FV / ( 1 + YTM )

n

Oznaczenia jw.

Na podstawie powyższego wzoru można
określić stopę dochodu ww. terminie do
wykupu obligacji zerokuponowej.

YTM = (FV / P)

1/n

- 1

Obligacje o stałym
oprocentowaniu
– wzór na wycenę

Obligacja z n – okresowym (np. n – letnim)
terminem

wykupu,

o

stałym

oprocentowaniu, w przypadku której odsetki
płacone są po upływie każdego okresu.

n

P =  [ I / (1 + YTM)

t

] + [ FV / (1 + YTM)

n

]

t = 1

oznaczenia jw.

Obligacje o zmiennym
oprocentowaniu
– wzór na wycenę

Gdy oprocentowanie obligacji jest zmienne,

tzn. zmienia się wielkość wypłacanych

odsetek, do wyceny stosuje się następujący

wzór:

n

P =  [ I

t

/ ( 1 + YTM)

t

] + [ FV / ( 1 + YTM)

n

]

t = 1

gdzie:
I

t

– odsetki z tytułu posiadania obligacji, wypłacone w

okresie t

Zależności pomiędzy stopą zwrotu do
wykupu (YTM), bieżącą i nominalną
stopą zwrotu

a)

Obligacja A: P = 100,

YTM = 10%;

b)

Obligacja B:

P = 103,24

YTM = 9%;

c)

Obligacja C:

P = 96,9

YTM = 11%.

Nominalna stopa zwrotu (NR) w przypadku wszystkich

trzech obligacji wynosi 10% ( jest to po prostu

oprocentowanie ), a więc bieżąca stopa zwrotu (CR) wynosi

odpowiednio:

a)

Obligacja A:

10/100 = 10%;

b)

Obligacja B:

10/103,24 = 9,69%;

c)

Obligacja C:

10/96,9 = 10,32%.

Można więc przedstawić zależność, iż dla:

a)

Obligacja A:

YTM = CR = NR;

b)

Obligacja B:

YTM < CR < NR;

c)

Obligacja C:

YTM > CR > NR.

Rynkowa stopa procentowa

Każda inwestycja może być traktowana jako bieżące wyrzeczenie dla

niepewnych przyszłych korzyści. Za to wyrzeczenie inwestor oczekuje nagrody

w postaci stopy zwrotu inaczej stopy procentowej (rate of return, interest rate)

z tej inwestycji. Stopa zwrotu jest ceną czasu i ryzyka.
Uważa się, że stopa zwrotu z inwestycji jest sumą czterech składników:

r =  +  + l + 

r – nominalna stopa procentowa
 - realna stopa procentowa
 - oczekiwana stopa inflacji
l – oczekiwana premia płynności (liquidity premium)
 - oczekiwana premia za ryzyko (risk premium)

Należy zauważyć, że w powyższym równaniu trzy pierwsze składniki

odzwierciedlają cenę czasu, a ostatni składnik odzwierciedla cenę ryzyka.

Rynkowa stopa procentowa
cd.

}
}
}
}

Czas do terminu
wykupu

r – nominalna stopa
procentowa

 - realna stopa procentowa

 - oczekiwana stopa

inflacji

l – oczekiwana premia
płynności

 - oczekiwana premia za

ryzyko

Rynkowa stopa procentowa
cd.



Realna stopa procentowa jest to cena równowagi na rynku pieniądza,
innymi słowy cena , przy której równoważy się podaż pieniądza,
kreowana przez kredytodawców i popyt na pieniądz kreowany przez
pożyczkobiorców. Zwiększony popyt wywołuje wzrost realnej stopy
procentowej, a zwiększona podaż jaj spadek.



Premia płynności wynika z faktu, że na rynku dostępne są instrumenty
finansowe o różnych długościach terminu do wykupu. Z reguły
kredytodawcy preferują instrumentu krótkoterminowe. Wynika to z
faktu, że instrumenty takie są bardziej płynne. Wobec tego
kredytodawcy akceptują z instrumentów krótkoterminowych niższą
stopę zwrotu. Z drugiej strony kredytobiorcy, preferują instrumenty
długoterminowe. Zaakceptują zatem wyższą stopę zwrotu z
instrumentów długoterminowych. Wynika z tego, że premia płynności
rośnie w miarę wzrostu długości okresu do terminu wykupu.



Premia za ryzyko wynika z oczywistego faktu, że inwestor chce
otrzymać nagrodę za ponoszone ryzyko.

Twierdzenia o wycenie
obligacji

1.

Jeśli rośnie wartość obligacji, to spada stopa dochodu YTM i
odwrotnie, jeśli spada wartość obligacji, to rośnie stopa
dochodu YTM;

2.

Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość premii lub
dyskonta zmniejsza się w miarę zbliżania się do terminu
wykupu;

3.

Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość premii lub
dyskonta zmniejsza się w coraz większym tempie w miarę
zbliżania się do terminu wykupu;

4.

Wzrost wartości obligacji wywołany spadkiem stopy dochodu o
określoną wartość jest wyższy niż spadek wartości obligacji
wywołany wzrostem stopy dochodu o tę samą wartość.
Własność tę nazywamy efektem wypukłości;

Twierdzenia o wycenie
obligacji cd.

5.

Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im wyższe jest oprocentowanie
obligacji, przy założeniu tego samego terminu wykupu. Ta
własność nie dotyczy obligacji, w przypadku których pozostała
już tylko jedna płatność (a więc można je traktować jako
obligacje

zerokuponowe)

oraz

obligacji

perpetualnych.

Własność tę można nazwać efektem odsetek;

6.

Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im krótszy jest okres do terminu
wykupu. Są jednak wyjątki, gdy własność ta nie zachodzi (np.
obligacji o bardzo długim okresie do terminu wykupu
sprzedawanych z dużym dyskontem). Własność tę można
nazwać efektem terminu wykupu.

Twierdzenie 1.
Jeśli rośnie wartość obligacji, to spada stopa dochodu
YTM i odwrotnie, jeśli spada wartość obligacji, to
rośnie stopa dochodu YTM

Przykład. Obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej 100, o
oprocentowaniu równym NR = 10%, odsetki płacone co roku. Dla
różnych wartości stopy dochodu YTM otrzymujemy różne wartości
obligacji.



Gdy YTM = 10% to:

P=10/(1,1)+10/(1,1)

2

+110/(1,1)

3

= 100

Gdy YTM = NR to wartość obligacji = wartości nominalnej;



Gdy YTM = 9% to: P=10/(1,09)+10/(1,09)

2

+110/(1,09)

3

= 102,53

Gdy YTM < NR to wartość obligacji > wartości nominalnej;



Gdy YTM = 11% to:

P=10/(1,11)+10/(1,11)

2

+110/(1,11)

3

=

97,56
Gdy YTM > NR to wartość obligacji < wartości nominalnej i jest to
tzw. obligacja z dyskontem. Przy tym różnica między wartością
nominalną a wartością rynkową jest tutaj tzw. wielkością dyskonta.

Twierdzenie 2.
Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość
premii lub dyskonta zmniejsza się w miarę
zbliżania się do terminu wykupu

Przykład. Dana jest obligacja czteroletnia, o wartości nominalnej 100, o

oprocentowaniu nominalnym NR=10%, w przypadku której odsetki

płacone są co roku. Zakładamy, że YTM do terminu wykupu nie zmieni

się. Zanalizujmy trzy różne przypadki wartości YTM: 8%, 10%, 12%. W

poniższej tablicy przedstawione są wartości obligacji w poszczególnych

latach (na rok przed kolejnymi płatnościami odsetek.

Tablica ta ilustruje własność 2, czyli zmniejszanie się wielkości premii i

dyskonta w miarę zbliżania się do terminu wykupu. Sugeruje to

dodatkową interpretację własności 2. Jeśli dane są dwie obligacje o tym

samym oprocentowaniu, tej samej wartości nominalnej i tej samej stopie

dochodu, to obligacja z krótszym terminem wykupu charakteryzuje się

mniejszym dyskontem (lub odpowiednio mniejszą premią)

Liczba lat do

wykupu

Wartość obligacji

YTM = 8%

YTM = 10%

YTM = 12%

4
3
2
1

106,62
105,15
103,57
101,85

100
100
100
100

93,93
95,20
96,62
98,21

Twierdzenie 3.
Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość
premii lub dyskonta zmniejsza się w coraz większym
tempie w miarę zbliżania się do terminu wykupu

Przykład. Stanowi on kontynuację przykładu poprzedniego

.

Z powyższej tablicy widać, że wielkość dyskonta i premii zmniejsza się

w coraz większym tempie w miarę zbliżania się do terminu wykupu co

ilustruje własność 3.

Liczba lat do

terminu

wykupu

Wielkość

premii

Procent

spadku premii

Wielkość

dyskonta

Procent

spadku

dyskonta

4
3
2
1

6,62
5,15
3,57
1,85

22,21
30,68
48,18

6,07
4,80
3,38
1,79

20,92
29,58
47,04

Twierdzenie 4.
Wzrost wartości obligacji wywołany spadkiem
stopy dochodu o określoną wartość jest wyższy niż
spadek wartości obligacji wywołany wzrostem
stopy dochodu o tę samą wartość. Własność tę
nazywamy efektem wypukłości

Przykład. Obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej 100, o
oprocentowaniu równym NR = 10%, odsetki płacone co roku. Dla
różnych wartości stopy dochodu YTM otrzymujemy różne wartości
obligacji.

Gdy YTM = 10% to:

P=10/(1,1)+10/(1,1)2+110/(1,1)3 = 100

Gdy YTM = 9% to:

P=10/(1,09)+10/(1,09)2+110/(1,09)3 = 102,53

Gdy YTM = 11% to:

P=10/(1,11)+10/(1,11)2+110/(1,11)3 = 97,56

Widać, że spadek stopy dochodu o 1% (z 10% do 9%) wywołuje wzrost
wartości o 2,53 (ze 100 do 102,53). Z kolei wzrost stopy procentowej o
1% (z 10% do 11%) wywołuje spadek wartości o 2,44 (ze 100 do 97,56),
a więc mniej niż wzrost wartości.

Twierdzenie 5.
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im wyższe jest oprocentowanie
obligacji, przy założeniu tego samego terminu wykupu. Ta
własność nie dotyczy obligacji, w przypadku których pozostała już
tylko jedna płatność (a więc można je traktować jako obligacje
zerokuponowe) oraz obligacji perpetualnych. Własność tę można
nazwać efektem odsetek

Przykład. Dane są trzy obligacje A,B,C, przy czym:



obligacja A ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 10%;



obligacja B ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 8%;



obligacja C ma termin wykupu 2 lata oprocentowanie NR = 10%.

Obliczmy wartość tych obligacji dla YTM = 7% i dla YTM = 6% oraz
procentowy wzrost wartości wynikający ze spadku stopy dochodu.

Efekt odsetek ilustruje porównanie obligacji A i B, gdzie 2,66 > 2,61.

Obligacja

Wartość obligacji

Procent wzrostu

wartości

YTM = 7%

YTM = 6%

A
B
C

107,87
102,62
105,42

110,69
105,35
107,33

2,61
2,66
1,81

Związek pomiędzy cenami obligacji o
różnych kuponach a poziomem zmiany
stopy procentowej.

Twierdzenie 6.
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im krótszy jest okres do terminu
wykupu. Są jednak wyjątki, gdy własność ta nie zachodzi (np.
obligacji o bardzo długim okresie do terminu wykupu
sprzedawanych z dużym dyskontem). Własność tę można nazwać
efektem terminu wykupu

Przykład. Dane są trzy obligacje A,B,C, przy czym:



obligacja A ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 10%;



obligacja B ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 8%;



obligacja C ma termin wykupu 2 lata oprocentowanie NR = 10%.

Obliczmy wartość tych obligacji dla YTM = 7% i dla YTM = 6% oraz
procentowy wzrost wartości wynikający ze spadku stopy dochodu.

Efekt terminu do wykupu ilustruje porównanie obligacji A i C gdzie 2,61 >
1,81.

Obligacja

Wartość obligacji

Procent wzrostu

wartości

YTM = 7%

YTM = 6%

A
B
C

107,87
102,62
105,42

110,69
105,35
107,33

2,61
2,66
1,81

Związek pomiędzy cenami obligacji a
terminem do wykupu (przy danym
oprocentowaniu)

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 5

Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku wzrastają z 10% do 11%. Wtedy

przychody z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,1 = 4394,49



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,11 + 8 x 49 + (108/1,11) x 49 =

5594,69

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4394,49 + 5594,69 = 9989,18

Metoda uodparniania portfela może być uogólniona na przypadek wielu

obligacji. Załóżmy, że inwestor może tworzyć portfel złożony „n” obligacji, o

udziałach w

1

, w

2

, ………w

n

i o duration D

1

, D

2

, ……D

n

. Załóżmy również, że czas

trwania płatności, której musi dokonać inwestor w przyszłości wynosi D

0

. Metoda

uodparniania sprowadza się wówczas do rozwiązania układu dwóch równań.

n



w

i

= 1

i =1

n



w

i

D

i

= D

0

i =1

Układ ten ma z reguły wiele rozwiązań.

Krzywa zależności stopy dochodu do
wykupu YTM, a czasem do terminu
wykupu

YTM

Czas do terminu wykupu

Krzywa zależności stopy dochodu do
wykupu YTM, a czasem do terminu
wykupu cd.

Kształt krzywych próbują wyjaśnić trzy teorie:

1.

Teoria oczekiwań – która wychodzi z założenia, iż krzywa
odzwierciedla przewidywania rynku co do przyszłych wartości stopy
procentowej: aktualną (kasową) i przyszłą (terminową). Załóżmy, iż
np. obligacja jednoroczna ma 6% stopę procentową, a dwuletnia 7%
stopę procentową. Według teorii oczekiwań stopa zwrotu obligacji
dwuletniej odzwierciedla aktualna stopę procentową (6%) i przyszłą
stopę procentową za rok. Wynika z tego, że stopy zwrotu dwóch
inwestycji dwuletnich, z których jedna polega na zakupie obligacji
dwuletniej, a druga na dwukrotnym zakupie obligacji jednorocznych,
powinny być równe. Tak więc zgodnie z podanymi danymi:

1,07

2

= 1.06 (1 + r

1

) gdzie r

1

to terminowa (roczna) stopa

procentowa za rok

Wynika z tego, że

r

1

= 1,07

2

/ 1,06 – 1 = 0.08

Powyższy sposób pozwala na wyznaczenie wszystkich
terminowych stóp procentowych i wyznaczenie krzywych
rentowności

Krzywa zależności stopy dochodu do
wykupu YTM, a czasem do terminu
wykupu cd.

2.

Teoria preferencji płynności – twierdzi, iż inwestorzy preferują
obligacje krótkoterminowe dla których występuje mniejsze
ryzyko.

Inwestorzy

wymagają

od

instrumentów

długoterminowych wyższej rentowności.

3.

Teoria segmentacji rynku – w teorii tej twierdzi się, iż stopy
zwrotu obligacji o różnych terminach wykupu są efektem
podaży i popytu na te instrumenty. Twierdzi się ponadto, iż
występuje segmentacja inwestorów tzn. ograniczanie się tylko
do pewnych rodzajów obligacji. W wyniku tego dla różnych
typów obligacji występują różne krzywe rentowności.

Kasowa stopa dochodu

Przykład. Dane są wartości stóp dochodu w okresie do wykupu czterech
obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu, o wartości nominalnej 100, w
przypadku których odsetki płacone są co roku, sprzedawane po cenie równej
wartości nominalnej (a zatem YTM = oprocentowaniu), o terminach wykupu 1,
2, 3, 4 lata. Stopy te wynoszą odpowiednio:
r

1

= 8,5%, r

2

= 9%, r

3

= 9,4%, r

4

= 10%.

Na tej podstawie oblicza się stopy dochodu (YTM), jakie powinny mieć
obligacje skarbowe zerokuponowe emitowane na 1, 2, 3, 4 lata. Oczywiście w
przypadku obligacji jednorocznej stopa ta wynosi 8,5%. Przestawiona powyżej
obligacja skarbowa jednoroczna jest bowiem równoważna obligacji
zerokuponowej, a zatem obligacje te powinny mięć tę samą stopę zwrotu.
Weźmy teraz pod uwagę obligację dwuletnią. Można ją traktować jako
obligację dającą dwie płatności: 9 (odsetki) po pierwszym roku i 109 (odsetki +
wykup) po drugim roku. Jeśli przyjmiemy, że YTM dla pierwszej płatności
powinna być równa YTM jednorocznej obligacji zerokuponowej, a YTM dla
drugiej płatności powinna być równa YTM dwuletniej obligacji zerokuponowej,
to otrzymujemy:
100 = 9/(1 + 0,085) + 109/(1+ r

s2

)

2

gdzie r

s2

– kasowa stopa dochodu dla obligacji dwuletniej.

Wynika z tego, że r

s2

= 9,0225%

Kasowa stopa dochodu cd.

Podobnie dla obligacji trzyletniej otrzymujemy:

100 = 9,4/(1 + 0,085) + 9,4/(1 + 0,0225)

2

+ 109,4/(1 + r

s3

)

3

Wynika z tego, że r

s3

= 9,4549% W podobny sposób otrzymujemy

dla obligacji czteroletniej r

s4

= 10,1421%.

Do obliczania kasowych stóp dochodu na podstawie obligacji o stały
oprocentowaniu sprzedawanych po cenie równej wartości
nominalnej stosuje się wzór rekurencyjny.

k-1

r

sk

={ (FV + I) / [ FV -



( I / (1 + r

sk

)

t

) ] }

1/k

– 1

t = 1

gdzie: I – wielkość odsetek, FV – wartość nominalna obligacji, r

s

–

kasowa stopa dochodu obligacji.

Terminowe stopy dochodu

Kasowe stopy dochodu można wykorzystać do skonstruowania
terminowych stóp dochodu. Otrzymuje się w ten sposób krzywą
terminowej stopy dochodu. Wykorzystuje się tu podobną
argumentację jak w teorii oczekiwań. Jedyna różnica jest taka, że
znane są wszystkie kasowe stopy dochodu, a na ich podstawie
wyznacza się terminowe stopy dochodu. Oznacza to, że
zainwestowanie w obligację o terminie wykupu l lat, a po jej
wykupie w obligację o terminie wykupu m powinno przynieść taki
sam dochód, jak zainwestowanie w obligację o terminie wykupu l +
m lat. Wynika z tego, że:

(1 + r

s,l + m

)

l + m

= (1 + r

sl

)

l

(1 + r

l,m

)

m ,

gdzie:

r

l,m

– terminowa stopa dochodu dla obligacji m-letniej za l lat.

W rezultacie otrzymujemy wzór na terminową stopę dochodu:

r

l,m

= [(1 + r

s,l + m

)

l + m

/ (1 + r

sl

)

l

]

1/m

- 1

Terminowe stopy dochodu cd.

Przykład. Dane są kasowe stopy dochodu dla obligacji z terminem
wykupu 1, 2, 3, 4 lata (obliczone w poprzednim przykładzie
wartości zaokrąglone):

r

s1

= 8,5%,

r

s2

= 9,02%,

r

s3

= 9,45%, r

s4

= 10,14%. Obliczmy wszystkie

terminowe stopy dochodu W przypadku terminowej stopy dochodu
dla obligacji dwuletniej za 1 rok otrzymujemy:

r

1,2

= [ (1 + 0,0945)

1+2

/ (1 + 0,085) ]

½

-1 = 9,9281%

W ten sam sposób otrzymujemy pozostałe terminowe stopy
dochodu, które wynoszą:

r

1,1

= 9,5425%, r

1,3

= 10,6921%,

r

2,1

= 10,3151%,

r

2,2

=

11,2715%,

r

3,1

= 12,2362%.

Dekompozycja obligacji 1

Dekompozycja obligacji polega na oddzielnym obrocie
odsetkami (kuponami) płaconymi w różnych okresach. Oznacza
to, że obligacja jest dekomponowana na płatności uzyskiwane
w poszczególnych okresach i te płatności traktowane są jako
odrębne obligacje. W języku finansowym nazywa się to coupon
stripping lub strip ( od skrótu separate trading of registered
interest and principal). W gruncie rzeczy zatem obligacja
traktowana jest jako zbiór (portfel) obligacji zerokuponowych o
różnych terminach wykupu. W technice tej stosowana jest
podobna idea jak przy określaniu kasowej stopy zwrotu.

Dekompozycja obligacji

2

Przykład. Załóżmy, że stopy dochodu obligacji z terminami wykupu 1, 2,
3 lata wynoszą odpowiednio 8%, 8,4%, 9%. Obligacje te sprzedawane są
po cenie równej wartości nominalnej wynoszącej 100, a odsetki płacone
są raz w roku. Dokonamy teraz dekompozycji tych obligacji jako obligacji
zerokuponowych.

100

8,4 108,

4

=

7,7778

8,4

108,
4

92,222
2

100

109

9

9

=

84,0099

7,6568

8,333

9

9

109

Rozpatrzmy tera obligację dwuletnią. Jej cena wynosi 100. Po
rozdzieleniu jej na dwie części otrzymujemy roczną obligację
zerokuponową o wartości nominalnej 8,4 oraz dwuletnią obligację
zerokuponową o wartości nominalnej 108,4. W tym przypadku roczna
obligacja zerokuponowa powinna przynieść stopę dochodu równą 8%, a
zatem jej cena wynosi:

P = 8,4/1,08 = 7,7778

Wynika z tego, że wartość obligacji zerokuponowej (druga część
zdekomponowanej obligacji) wynosi 100 – 7,7778 = 92,2222. Stopa
dochodu w okresie do wykupu tej obligacji jest zatem równa (na
podstawie wzoru na YTM dla obligacji zerokuponowej YTM = (FV / P)

1/n

–

1):

YTM = (108,4/92,2222)

1/2

-1 = 8,4169%

Dekompozycja obligacji

3

Dekompozycja obligacji

4

Rozpatrzmy teraz obligację trzyletnią. Jej cena wynosi 100. Po rozdzieleniu

jej na trzy części otrzymujemy roczną obligację zerokuponową o wartości

nominalnej 9, dwuletnią obligację zerokuponową o wartości nominalnej 9

oraz trzyletnią obligację zerokuponową o wartości nominalnej 109. Roczna

obligacja zerokuponowa powinna przynieść stopę dochodu 8%, a zatem jej

cena wynosi:
P = 9/1,08 = 8,3333.
Z kolei dwuletnia obligacja zerokuponowa powinna przynieść 8,4169% (na

podstawie wcześniejszych wyliczeń), zatem jej cena winna wynosić:

P = 9/(1,084169)

2

= 7,6568

Wynika z tego, że wartość trzyletniej obligacji zerokuponowej (trzecia

część) wynosi 100 – 8,3333 – 7,6568 = 84,0099. Stopa dochodu w okresie

do wykupu tej obligacji jest równa:
YTM = (109/84,0099)

1/3

– 1 = 9,0683%

W

efekcie

otrzymaliśmy

następujące

stopy

dochodu

obligacji

zerokuponowych: 8%, 8,4169%, 9,0683%. Oznacza to, że krzywa stopy

dochodu dla obligacji zerokuponowych leży powyżej krzywej stopy dochodu

dla obligacji z odsetkami (odpowiednio 8%, 8,4% i 9%). Prawidłowość ta

zachodzi zawsze wtedy, gdy krzywa stopy dochodu obligacji z odsetkami

jest rosnąca. Wówczas opłaca się dekompozycja obligacji z odsetkami na

obligacje zerokuponowe.

Ryzyko reinwestowania odsetek

Przykład. Dana jest obligacja z czteroletnim terminem wykupu, o
wartości nominalnej 100, oprocentowaniu NR = 10% i cenie 106,62, w
przypadku której odsetki płacone są co roku. Wynika z tego, że YTM =
8%. Przeanalizujemy teraz trzy różne scenariusze kształtowania się stopy
reinwestycji odsetek w okresie posiadania obligacji.

Scenariusz A. Stopa reinwestycji odsetek pozostaje bez zmian w

całym okresie i wynosi 8%. Wtedy całkowity dochód z tytułu posiadania
obligacji (wliczając w to reinwestycję odsetek) wynosi:

FV

4

= 10(1,08)

3

+ 10(1,08)

2

+ 10 x 1,08 + 110 = 145,08

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

(FV

4

/ P)

1/4

-1 = 8%

Scenariusz B. Stopa reinwestycji po pierwszym roku spada do 7%, a

następnie pozostaje bez zmian. Wtedy całkowity dochód z tytułu
posiadania obligacji wynosi:

FV

4

= 10(1,07)

3

+ 10(1,07)

2

+ 10 x 1,07 + 110 = 144,40

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

(FV

4

/ P)

1/4

-1 = 7,88%

Scenariusz B. Stopa reinwestycji po pierwszym roku wzrasta do 9%, a
następnie pozostaje bez zmian. Wtedy całkowity dochód z tytułu posiadania
obligacji wynosi:
FV

4

= 10(1,09)

3

+ 10(1,09)

2

+ 10 x 1,09 + 110 = 145,73

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
(FV

4

/ P)

1/4

-1 = 8,13%

Jak widać, zrealizowana stopa dochodu jest równa YTM, gdy odsetki są
reinwestowane po stopie równej YTM. Gdy stopa reinwestycji jest niższa,
wtedy zrealizowana stopa dochodu jest niższa niż YTM i jest to negatywny
efekt ryzyka reinwestowania. Gdy zaś stopa reinwestycji jest wyższa, wtedy
zrealizowana stopa dochodu jest wyższa niż YTM i jest to pozytywny efekt
ryzyka reinwestowania. Wynika z tego, że efekty ryzyka reinwestowania są
odwrotne do efektów ryzyka zmiany ceny.
Na ryzyko reinwestowania wpływ mają: termin wykupu i oprocentowanie
obligacji. Im dłuższy okres do terminu wykupu (przy stałym oprocentowaniu
i stałej stopie dochodu), tym większe ryzyko reinwestowania. Z kolei im
wyższe oprocentowanie obligacji (przy stałej długości okresu do terminiu
wykupu i stałej stopie dochodu), tym większe ryzyko reinwestowania.

Ryzyko reinwestycji nie występuje w przypadku obligacji zerokuponowych.

Ryzyko reinwestowania odsetek cd.

Łączny efekt działania ryzyka zmiany
ceny i ryzyka reinwestowania

Przykład. Dana jest obligacja z czteroletnim terminem wykupu, o
wartości nominalnej 100, oprocentowaniu NR = 10% i cenie 106,62, w
przypadku której odsetki płacone są co roku. Wynika z tego, że YTM =
8%. Inwestor zamierza sprzedać obligację rok przed terminem wykupu.
Przeanalizujmy trzy scenariusze kształtowania się stóp procentowych w
okresie posiadania obligacji.

Scenariusz A. Stopa procentowa pozostaje bez zmian w całym

okresie i wynosi 8%. W momencie sprzedaży obligacji na rok przed
terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:

P

3

= 110 / 1,08 = 101,85

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:

FV

3

= 10(1,08)

2

+ 10 x 1,08 + 10 = 32,46

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

[(FV

3

+ P

3

) / P]

1/3

– 1 = 8%

Łączny efekt działania ryzyka zmiany
ceny i ryzyka reinwestowania cd.

Scenariusz B. Stopa procentowa po pierwszym roku spada do 7%, a
następnie pozostaje bez zmian. W momencie sprzedaży obligacji na rok
przed terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:
P

3

= 110 / 1,07 = 102,80

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:
FV

3

= 10(1,07)

2

+ 10 x 1,07 + 10 = 32,15

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
[(FV

3

+ P

3

) / P]

1/3

– 1 = 8,17%

Scenariusz C. Stopa procentowa po pierwszym roku wzrasta do 9%, a
następnie pozostaje bez zmian. W momencie sprzedaży obligacji na rok
przed terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:
P

3

= 110 / 1,09 = 100,92

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:
FV

3

= 10(1,09)

2

+ 10 x 1,09 + 10 = 32,78

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
[(FV

3

+ P

3

) / P]

1/3

– 1 = 7,84%

Zrealizowana stopa dochodu (RCY –
realized compound yield)

Zrealizowana stopa dochodu (RCY) uwzględnia zarówno reinwestycję
odsetek, jak i możliwość sprzedaży obligacji przed terminem wykupu.
Ogólny wzór na zrealizowaną stopę dochodu obligacji o stałym
oprocentowaniu w ciągu n lat jest następujący:

RCY = { [ I (1 + r

2

)(1 + r

3

) …(1 + r

n

) + I (1 + r

3

)(1 + r

4

) …(1 + r

n

) +

+ I(1 + r

n

) + I + P

n

] / P }

1/n

– 1

gdzie: RCY – zrealizowana stopa zwrotu; I – wielkość odsetek; P

n

– cena

po jakiej zostanie sprzedana obligacja po n latach; r

t

– stopa reinwestycji

w t-tym roku posiadania obligacji.

Zrealizowana stopa dochodu (RCY –
realized compound yield) cd.

Przykład. Dana jest obligacja z czteroletnim terminem wykupu, o
wartości nominalnej 100, oprocentowaniu NR = 10% i cenie 106,62, w
przypadku której odsetki płacone są co roku. Wynika z tego, że YTM = 8%.
Inwestor B przetrzymuje obligację do terminu wykupu, a inwestor A
sprzedaje ją po trzech latach. Stopa dochodu YTM po roku spada do 7%, a
po dwóch latach wzrasta do 7,5%. Obliczmy zrealizowaną stopę dochodu
obu inwestorów stosując wzór ogólny na RCY:
Cena, po jakiej obligacja zostanie sprzedana po trzecim roku, wynosi:
P

3

= 110/1,075 = 102,33

Zrealizowana stopa dochodu inwestora A wynosi:
RCY = [(10(1,07)(1,075) + 10(1,075) + 10 +102,33)/106,62]

1/3

-1 = 8,07%

Zrealizowana stopa dochodu inwestora B wynosi:
RCY = [(10(1,07)(1,075)

2

+ 10(1,075)

2

+ 10(1,075) + 110)/106,62]

1/4

-1 =

7,93%

Jak widać, inwestor A skorzystał na sprzedaży obligacji z premią przed
terminem wykupu.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 1

Pojęcie czasu trwania wykorzystuje się do analizowania ryzyka
związanego ze zmianami stóp procentowych (a więc ryzyka zmiany ceny
i ryzyka reinwestowania).
Czas trwania obligacji duration zapisany jest poniższym
wzorem:

n

D = {

 [

tC

t

/ (1 + YTM)

t

] } / P

t=1

gdzie: D = Średni termin do wykupu, P = wartość obligacji wyznaczona
ze wzoru na cenę:

n

P =



C

t

/ (1 + YTM)

t

t=1

C

t

– wpływ z tytułu posiadania obligacji w t-tym roku, n – liczba lat do

terminu wykupu

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 2

Z powyższego wzoru wynika, że czas trwania można interpretować jako

średni, ważony czas do terminu wykupu, przy czym wagami są wartości

bieżące dochodów z tytułu posiadania obligacji.
Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej 100, której

odsetki wynoszące 10 (NR = 10%) płacone są raz do roku. Stopa dyskonta,

równa YTM, wynosi 7%. Wartość tej obligacji wynosi zatem:
P = 10/(1,07) + 10/(1,07)

2

+ 110/(1,07)

3

= 107,87

Wobec tego czas trwania obligacji wynosi:
D = [ 1 x 10/(1,07) + 2 x 10/(1,07)

2

+ 3 x 110/(1,07)

3

] / 107,87 = 2,75

Wobec tego czas trwania obligacji wynosi 2,75 roku

Średni termin do wykupu można także wyliczyć dla obligacji w których odsetki

wypłacane są częściej niż raz w roku. Stosuje się wtedy poniższy wzór:

nm

D = {

 [

tC

t

/ (1 + YTM/m)

t

] / P } /m

t=1

Należy jednak pamiętać, iż stopa dochodu dotyczy okresu wypłacania

odsetek.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 3

Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej 100,
której odsetki wynoszące 10 (NR = 10%) płacone są co pół roku. Stopa
dyskonta, równa YTM, wynosi 7% (czyli stopa półroczna wynosi 3,5%).
Wartość tej obligacji wynosi P=107,99.

D = { [ 1 x 5/(1,035) + 2 x 5/(1,035)

2

+ 3 x 5/(1,035)

3

+ 4 x 5/

(1,035)

4

+ 5 x 5/(1,035)

5

+ 6 x 105/(1,035)

6

] / 107,99 } / 2 = 2,68

Porównując wyniki uzyskane w dwóch poprzednich przykładach można
wnioskować, że zwiększenie częstotliwości płacenia odsetek zmniejsza
średni termin wykupu obligacji (przy stałych pozostałych cechach
obligacji).

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 4

Wyznaczanie duration dla obligacji zerokuponowych.

Przykład. Dana jest obligacja zerokuponowa z trzyletnim okresem
wykupu; o wartości nominalnej 100 i YTM = 6%. Wynika z tego, że
wartość tej obligacji wynosi P = 83,96. Po podstawieniu danych do
wzoru na czas trwania obligacji otrzymujemy:

D = [ 3 x 100/(1,06)

3

] / 83,96 = 3

Przykład ten ilustruje twierdzenia, że w przypadku obligacji
zerokuponowych średni termin wykupu jest równy długości okresu do
terminu wykupu. Z kolei w odniesieniu do obligacji z odsetkami średni
termin wykupu jest mniejszy niż długość okresu do terminu wykupu.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 5

Wyznaczanie

duration

gdy

wyznacza

się

go

pomiędzy

płatnościami odsetek.
Przykład. Dana jest obligacja z 2,5-rocznym terminem wykupu, o wartości
nominalnej 100, oprocentowaniu 10%, a odsetki płacone są co roku. Stopa
dochodu w okresie do wykupu YTM = 7%. Wartość tej obligacji wynosi:
P = 10/(1,07)

0,5

+ 10/(1,07)

1,5

+ 110/(1,07)

2,5

= 111,58

Po podstawieniu do wzoru na czas trwania obligacji otrzymujemy:
D = [0,5 x 10/(1,07)

0,5

+ 1,5 x 10/(1,07)

1,5

+ 2,5 x 110/(1,07)

2,5

]/111,58 =

2,25
Średni termin wykupu obligacji wynosi 2,25 roku. Jest to dokładnie o pół
roku mniej niż dla obligacji o tych samych charakterystykach z wyjątkiem
terminu wykupu, który wynosił 3 lata (obligacja ta miała czas trwania
równy 2,75 roku – obliczony w jednym z poprzednich przykładów).
Ilustruje to własność duration, który w okresie między płatnościami
odsetek zmienia się w sposób liniowy, zmniejszając się dokładnie o tyle, ile
czasu upłynęło od ostatniej płatności odsetek. W momencie płatności
odsetek następuje skokowy wzrost wartości duration. Oczywiście zakłada
się stałą wartość YTM.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 6

Liniowa zmiana wartości duration pomiędzy płatnościami odsetek.
Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu, o wartości
nominalnej 100, oprocentowaniu 10%, a odsetki płacone są raz w roku. Stopa
dochodu w okresie do wykupu YTM = 8%. Na poniższej tablicy przedstawione
są wartości oraz średnie terminy wykupu tej obligacji.

Okres do terminu

wykupu

Wartość

Średni termin wykupu

3 lata (po płatności)

2,5 roku

2 lata (przed

płatnością)

2 lata (po płatności)

1,5 roku

1 rok (przed płatnością)

1 rok (po płatności)

0,5 roku

105,15
109,28
113,57
103,57
107,63
111,85
101,85
105,85

2,74
2,24
1,74
1,91
1,41
0,91

1

0,5

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 7

Interpretacja graficzna czasu trwania obligacji.
Ze wzoru na duration wynika, że średni termin wykupu może być
interpretowany jako średni ważony czas do terminu wykupu, przy czym
wagami są wartości bieżące dochodów z tytułu posiadania obligacji. Na
poniższym rysunku duration jest to środek ciężkości wartości bieżącej
dochodów z tytułu posiadania obligacji. Po upływie czasu równego duration
„wykupiona jest połowa obligacji”, jeśli uwzględnimy oprócz wartości
nominalnej również odsetki, a płatności ważymy z uwzględnieniem zmiennej
wartości pieniądza w czasie.

Dla obligacji zerokuponowej środek ciężkości wypada w momencie płatności.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 8

Czas trwania obligacji jako miara ryzyka zmiany ceny.

Duration jest to miara bardzo przydatna dla określania ryzyka zmiany ceny. W
takim przypadku, im niższe oprocentowanie (przy tym samym ustalonym
terminie wykupu), tym większe ryzyko zmiany ceny. Podobnie, im dłuższy
okres do terminu wykupu (przy tym samym oprocentowaniu), tym większe
ryzyko zmiany ceny. Średni termin do wykupu jest miarą ryzyka zmiany ceny,
która pozwala na porównanie obligacji o różnych terminach wykupu i różnym
oprocentowaniu.
Duration pozwala na określenie, jak zmieni się wartość obligacji, gdy zmianie
ulegnie stopa dochodu do wykupu (YTM). Stosuje się tu wzór przybliżony:

(P

1

–P

0

)/ P

0

= -D [(1 + YTM

1

) - (1 + YTM

0

) ] / (1 + YTM

0

)

gdzie: P

1

– wartość obligacji po zmianie stopy dochodu; P

0

- wartość obligacji

przed zmianą stopy dochodu; YTM

1

– stopa dochodu obligacji po zmianie;

YTM

0

– stopa dochodu obligacji przed zmianą.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 9

Czas trwania obligacji jako miara ryzyka zmiany ceny.

Lewa strona powyższego wzoru jest to procentowa zmiana wartości

obligacji. Prawa strona tego wzoru jest to iloczyn (wzięty ze znakiem
minus) średniego terminu wykupu i procentowej zmiany wielkości równej
1 plus stopa dochodu obligacji. W tym sensie duration jest miarą
elastyczności ceny obligacji względem stopy YTM.

Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej

100, oprocentowaniu NR = 10%, przy czym odsetki płacone są co roku.
Jej wartość wynosi 113,62. YTM wynosi 5%, a duration = 2,75 roku.
Załóżmy, że zmienia się stopa dochodu obligacji – wynosi obecnie 6%.

(P

1

–P

0

)/ P

0

= -2,75[(1,06 – 1,05)/1,05] = - 0,0262

Wynika z tego, że cena spadnie o około 2,62%

Średni termin wykupu jest miarą ryzyka zmiany ceny gdyż wskazuje

jak zareaguje wartość obligacji na zmianę stopy dochodu (YTM).
Sugeruje to jeszcze jedną interpretację tego pojęcia: obligacja n-letnia z
odsetkami, mająca czas trwania równy D (oczywiście D<n) jest
równoważna z obligacją zerokuponową, której termin wykupu wynosi D.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 10

Czas trwania obligacji jako przybliżona miara ryzyka zmiany
ceny.

Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej

100, oprocentowaniu NR = 10%, przy czym odsetki płacone są co roku.
Jej wartość wynosi 113,62. YTM wynosi 5%, a duration = 2,75 roku.
Załóżmy, że zmienia się stopa dochodu obligacji – wynosi obecnie 6%.
Spowoduje to zmianę wartości obligacji, która wyniesie 110,69. Wynika z
tego, że spadek wartości obligacji wynosi:

(110,69 – 113,62) / 113,62 = - 0,0258

Widać zatem, że wartość spadnie dokładnie o 2,58%, podczas gdy w

poprzednim przykładzie wzór przybliżony z zastosowaniem duration
wskazał na spadek o 2,62%.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 11

Czas trwania obligacji jako przybliżona miara ryzyka zmiany ceny.
Duration jest tylko oszacowaniem rzeczywistej zmiany wartości. Jest to
przy tym ocena „konserwatywna”, gdyż szacuje z niedomiarem wzrost
wartości, gdy YTM spada i szacuje z nadmiarem spadek wartości, gdy
YTM rośnie. Zjawisko to wynika z wypukłości krzywej ilustrującej
zależność wartości obligacji od YTM.

Średni termin do wykupu można stosować do uporządkowania obligacji
występujących na rynku ze względu na ryzyko zmiany ceny. Im wyższa
wartość duration tym ryzyko jest wyższe.

P

YTM

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

Średni termin wykupu zależy przede wszystkim od trzech czynników. Są to:

1.

Oprocentowanie obligacji; im wyższe tym krótszy czas trwania;

Przykład. Mamy dwie różne obligacje:
A – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 10%
B – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 12%
Stopa YTM = 5%
Wartość obligacji wynosi odpowiednio:
A: P = 10/1,05 + 110/(1,05)

2

= 109,3

B: P = 12/1,05 + 112/(1,05)

2

= 113,0

Czasy trwania obligacji wynoszą odpowiednio:
A: D = [ 1 x 10/1,05 + 2 x 110 / (1,05)

2

] / 109,3 = 1,91

B: D = [ 1 x 12/1,05 + 2 x 112 / (1,05)

2

] / 113,0 = 1,90

Potwierdza to wpływ pierwszego z czynników.

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

2.

Stopa dochodu YTM; im wyższa, tym krótszy czas trwania.

Przykład. Obligacja dwuletnia o wartości nominalnej 100, odsetki
wynoszą 10% płacone są raz do roku. Przeanalizujmy dwie sytuacje:
- stopa zwrotu YTM wynosi 8%:

P = 10/1,08 + 110/(1,08)

2

= 103,6

D = [ 1 x 10/1,08 + 2 x 110 / (1,08)

2

] / 103,6 = 1,91

- stopa zwrotu YTM wynosi 12%:

P = 10/1,12 + 110/(1,12)

2

= 96,6

D = [ 1 x 10/1,12 + 2 x 110 / (1,12)

2

] / 96,6 = 1,82

Potwierdza to wpływ drugiego z czynników.

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

2.

Okres do terminu wykupu; zwykle im dłuższy, tym dłuższy czas
trwania;

Przykład.

Mamy dwie różne obligacje:

A – jednoroczna, wartość nominalna 100, odsetki 10% płacone co roku;
B – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 12% płacone co roku;
Stopa YTM = 5%
Wartość obligacji wynosi odpowiednio:
A: P = 110/1,05 = 104,8
B: P = 10/1,05 + 110/(1,05)

2

= 109,3

Czasy trwania obligacji wynoszą odpowiednio:
A: oczywiście rok
B: D = [ 1 x 10/1,05 + 2 x 110 / (1,05)

2

] / 109,3 = 1,92

Potwierdza to wpływ trzeciego z czynników.

Czas trwania portfela obligacji.

W przypadku rozpatrywania portfela obligacji mówi się o duration
portfela obligacji. Jest on obliczany według poniższego wzoru:

n

D

P

=



w

i

D

i

i =1

gdzie: n – liczba obligacji w portfelu, D

P

– średni termin wykupu

portfela; w

i

–udział i – tej obligacji w portfelu; D

i

– średni termin wykupu i-

tej obligacji.

Duration portfela jest średnią ważoną średnich terminów wykupu

obligacji wchodzących w skład portfela, przy czym wagami są ich udziały
w portfelu.

Przykład. Inwestor posiada portfel złożony z trzech rodzajów

obligacji. Połowę stanowią dwuletnie obligacje zerokuponowe, 20%
obligacje roczne o czasie trwania 0,8 roku, a pozostałe 30% obligacje
trzyletnie o czasie trwania 2,56 roku. Duration portfela wynosi:

D

P

= 0,5 x 2 + 02 x 0,8 + 0,3 x 2,56 = 1,928

Zmodyfikowany czas trwania obligacji
(modyfied duration)

Do pomiaru ryzyka obligacji wykorzystuje się czasami

zmodyfikowany czas trwania (MD) określany wzorem:

MD = D / (1 + YTM)

biorąc jako podstawę powyższy wzór można wyznaczyć zależność:

(P

1

– P

0

) / P

0

= - MD(YTM

1

– YTM

0

)

Oznacza to, że procentowa zmiana ceny obligacji jest równa (w

przybliżeniu) iloczynowi (ze znakiem minus) zmodyfikowanego średniego
terminu wykupu i zmiany stopy dochodu. Wynika z tego, że obligacja,
która ma zmodyfikowany średni termin wykupu dwa razy większy niż
inna obligacja, jest dwukrotnie bardziej ryzykowna.

W przypadku gdy odsetki płacone są cześciej niż raz w roku, wzór

na zmodyfikowany średni termin wykupu przyjmuje postać”

MD = D / (1 + YTM/m)

Wypukłość obligacji (convexity) 1

Wypukłość mająca zastosowanie w analizie obligacji wyraża się
wzorem:

n

C = 0,5 {



[ t (t + 1) C

t

/ (1 + YTM)

t

] } / { P (1 + YTM)

2

}

t =1

Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu. Wartość
nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 5%, odsetki płacone
są raz w roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 10%. Wynika z
tego, że wartość tej obligacji wynosi 87,57. Po podstawieniu do wzoru
otrzymujemy:

C = 0,5 [ 1x2X5/(1,1) + 2x3x5/(1,1)

2

+ 3x4x105/(1,1)

3

] /

[ 87,57x(1,1)

2

] = 4,63

Wypukłość obligacji (convexity) 2

Wypukłość w przypadku gdy odsetki są płatne częściej niż raz w roku
wyraża się wzorem:

nm

C = 0,5 {  [ t (t + 1) C

t

/ (1 + YTM/m)

t

] } / { P (1 + YTM/m)

2

} / m

2

t =1

Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu. Wartość
nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 5%, odsetki płacone
są co pół roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 10%. Wynika
z tego, że wartość tej obligacji wynosi 87,31. Po podstawieniu do wzoru
otrzymujemy:

C = 0,5 { [ 1x2X2,5/(1,05) + 2x3x2,5/(1,05)

2

+ 3x4x2,5/(1,05)

3

+

4x5x2,5/(1,05)

4

+

5x6x2,5/(1,05)

5

+

6x7x102,5/(1,05)

6

]

/

[ 87,31x(1,05)

2

] } / 2

2

= 4,36

Wypukłość obligacji (convexity) 3

Dla obligacji zerokuponowych wzór na wypukłość upraszcza się i wyraża:

C = 0,5n (n +1) / (1+YTM)

2

gdzie: n = liczba lat do terminu wykupu obligacji

Wypukłość obligacji ma znaczenie (podobnie jak czas trwania) przy

określaniu procentowej zmiany wartości obligacji wynikającej ze zmiany
stopy dochodu obligacji. Przedstawia to poniższy wzór:

(P

1

– P

0

) / P

0

= - MD(YTM

1

– YTM

0

) + C(YTM

1

– YTM

0

)

Jak widać jest to wzór ma zmodyfikowany czas trwania wzbogacony o
convexity co daje lepsze przybliżenie procentowej zmiany wartości
obligacji.

Wypukłość obligacji (convexity) 4

Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu. Wartość
nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 5%, odsetki płacone
są raz w roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 10%. Wynika z
tego, że wartość tej obligacji wynosi 87,57. Na podstawie tych informacji
można wyznaczyć czas trwania, zmodyfikowany czas trwania oraz
wypukłość. Wynoszą one:

D = 2,85; MD = 2,59;

C = 4,63.

Załóżmy teraz, że stopa dochodu wzrasta z 10% do 12%. Przy stopie
dochodu równej 12% wartość obligacji wynosi 83,19%. Oznacza to, że
procentowa zmiana wartości wynosi:

(P

1

– P

0

) / P

0

= (83,19 – 87,57) / 87,57 = - 5%

Stosując wzór na zmodyfikowany czas trwania otrzymujemy wartość
przybliżoną:

(P

1

– P

0

) / P

0

= - 2,59 x 2% = - 5,18%

który uzupełniony o wypukłość obligacji przybliża się do rzeczywistej
procentowej zmiany ceny i wynosi:

(P

1

– P

0

) / P

0

= - 2,59 x 2% + 4,63 x (2%)

2

= - 4,99%

Wypukłość obligacji (convexity) 5

Własności wypukłości obligacji:

1.

Im wyższe oprocentowanie obligacji, tym mniejsza wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równej długości okresu do terminu
wykupu);

2.

Im dłuższy okres do terminu wykupu, tym większa wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równym oprocentowaniu);

3.

Im wyższa stopa dochodu w okresie do wykupu, tym mniejsza
wypukłość obligacji;

4.

Im dłuższy średni termin wykupu, tym większa wypukłość, tym wyższe
również tempo wzrostu wypukłości;

5.

Im wyższe oprocentowanie obligacji, tym większa wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równych zmodyfikowanych czasach
trwania).

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 1

Proces uodparniania portfela obligacji polega na takim skomponowaniu jego

składników, aby w określonym terminie można było z niego uzyskać

określoną kwotę pieniędzy niezależnie od zmian stopy procentowej na rynku.

Czas trwania takiego portfela winien być dokładnie równy czasowi płatności.

Składnikami portfela winny być różne typy obligacji, o różnych terminach

wykupu. Jeśli np. do budowy portfela wykorzystano obligacje jednoroczne i

trzyletnie (płatność następuje po dwóch latach), to w przypadku gdy stopy

zwrotu rosną, straty spowodowane sprzedażą obligacji trzyletnich po niższej

cenie przed terminem wykupu, rekompensowane są wyższymi zyskami z

reinwestowania odsetek z tytułu posiadania obligacji jednorocznych. W

przypadku gdy stopy zwrotu spadają, wtedy straty spowodowane

reinwestowaniem odsetek z tytułu posiadania obligacji jednorocznych po

niższej stopie zwrotu, rekompensowane są wyższymi zyskami z tytułu

sprzedaży obligacji trzyletnich po wyższej niż wstępnie zaplanowanej cenie.

Przykład. Załóżmy, że inwestor za dwa lata musi spłacić swój dług

wynoszący 10.000. Ponieważ termin płatności wynosi dwa lata, oznacza to,

że czas trwania płatności wynosi 2 lata. Zadaniem inwestora jest utworzenie

portfela obligacji w taki sposób, aby po dwóch latach otrzymać 10.000.

Metoda uodpornienia polega na utworzeniu takiego portfela, który ma czas

dokładnie taki sam jak termin płatności czyli dwa lata.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 2

Przykład cd. Na rynku dostępne są dwa rodzaje obligacji. Pierwszy rodzaj
to trzyletnia obligacja, o wartości nominalnej 100 i oprocentowaniu 8%
płatnym raz w roku. Obecna cena rynkowa obligacji wynosi 95,026%.
Stopa zwrotu tej obligacji wynosi 10%, a duration 2,78. Drugi rodzaj
obligacji to roczne obligacje, o wartości nominalnej 100 i oprocentowaniu
7%. Obecna cena rynkowa tych obligacji wynosi 97,273%. Stopa zwrotu
tej obligacji wynosi 10%, a duration 1 rok gdyż jest ona równoważna
obligacji zerokuponowej o wartości nominalnej 107.
Inwestor rozważa różne możliwości. Może zainwestować jedynie w
obligacje roczne, przy założeniu, że po roku reinwestuje wpływy
gotówkowe znowu na rok w taką samą obligację. Wiąże się to jednak z
ryzykiem reinwestowania, które może wystąpić jeśli po roku spadną stopy
procentowe, a kapitał oraz odsetki będą miały stopę zwrotu poniżej 10%.
Druga możliwość to zainwestowanie w obligacje trzyletnie i sprzedanie ich
po dwóch latach. Ten sposób postępowania wiąże się z ryzykiem
posiadania. Jeśli bowiem po dwóch latach wzrosną stopy procentowe to
wówczas spadnie cena obligacji co spowoduje spadek planowanego
dochodu.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 3

Przykład cd. Aby zabezpieczyć się przed wahaniami stóp procentowych

należy utworzyć portfel o czasie trwania równym 2 lata. Korzystając ze

wzoru na duration portfela oraz z faktu, że udziały obligacji w portfelu

sumują się do jedności, otrzymujemy następujący układ równań:

w

1

+ w

2

= 1

1w

1

+ 2,78w

2

= 2

gdzie: w

1

– udział obligacji jednorocznej w portfelu; w

2

– udział obligacji

trzyletniej w portfelu.

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy:
w

1

= 0,4382;

w

2

= 0,5618.

W celu uzyskania 10.000 za dwa lata inwestor musi zainwestować sumę

równą wartości bieżącej 10.000 przy zastosowaniu stopy dyskontowej

równej 10%. Suma ta wynosi:

10000 / (1,1)

2

= 8264,46

Wynika z tego, że w celu stworzenia portfela, inwestor powinien

przeznaczyć



0,4382 x 8264,46 = 3621,49 na zakup obligacji jednorocznych i



0,5618 x 8264,46 = 4642,97 na zakup obligacji trzyletnich.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 4

Przykład cd. Ponieważ obecnie ceny wynoszą odpowiednio 97,273 oraz

95,026;inwestor powinien zakupić w przybliżeniu:



3621,49 / 97,273 = 37 obligacji jednorocznych i



4642,97 / 95,026 = 49 obligacji trzyletnich.

Tak skonstruowany portfel jest odporny na zmiany stóp zwrotu. Mogą to

zilustrować dwie sytuacje.
Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku spadają z 10% do 9%. Wtedy przychody

z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,09 = 4315,31

Jest to kapitał plus odsetki otrzymany po pierwszym roku pomnożony przez

ilość obligacji, a następnie reinwestowany na rok po 9% stopie zwrotu.



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,09 + 8 x 49 + (108/1,09) x 49 =

5674,33

Są to odsetki otrzymane po pierwszym roku pomnożone przez liczbę

obligacji i reinwestowane na rok po 9% stopie zwrotu, do którego dodano

wszystkie odsetki otrzymane w roku drugim do których dodano

zdyskontowany przychód z tytułu sprzedaży obligacji na rok przed terminem

wykupu

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4315,31 + 5674,33 = 9989,64

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 5

Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku wzrastają z 10% do 11%. Wtedy

przychody z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,1 = 4394,49



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,11 + 8 x 49 + (108/1,11) x 49 =

5594,69

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4394,49 + 5594,69 = 9989,18

Metoda uodparniania portfela może być uogólniona na przypadek wielu

obligacji. Załóżmy, że inwestor może tworzyć portfel złożony „n” obligacji, o

udziałach w

1

, w

2

, ………w

n

i o duration D

1

, D

2

, ……D

n

. Załóżmy również, że czas

trwania płatności, której musi dokonać inwestor w przyszłości wynosi D

0

. Metoda

uodparniania sprowadza się wówczas do rozwiązania układu dwóch równań.

n



w

i

= 1

i =1

n



w

i

D

i

= D

0

i =1

Układ ten ma z reguły wiele rozwiązań.

Wyboru dokonano z następujących
źródeł:

K. Jajuga; T. Jajuga „Inwestycje” PW,
Warszawa 1996,
F.J. Fabozzi „Rynki obligacji. Analiza i
strategie” WIG-PRESS, Warszawa 2000