PRÓBKOWANIE

SYGNAŁU

2

Próbkowanie równomierne

• Definicja: Proces reprezentowania sygnału

o czasie ciągłym za pomocą ciągu próbek
pobieranych w dyskretnych chwilach czasu.

• W praktyce próbkowanie przeprowadza się

poprzez podanie sygnału ciągłego na
wejście przetwornika analogowo-cyfrowego
(A/C), którego sygnał wyjściowy jest
ciągiem wartości cyfrowych.

3

• Aliasing: Niejednoznaczność postaci sygnału w dziedzinie

częstotliwości
W dziedzinie częstotliwości istnieje niejednoznaczność

związana z próbkami sygnału o czasie dyskretnym, która nie

istnieje w świecie sygnałów ciągłych.

• Przykładowo dla danego ciągu próbek:

X(0) = 0; X(1) = 0,866; X(2) = 0,866; X(3) = 0; X(4) = -0,866; X(5) = -0,866;

X(6) = 0

Daje się wykreślić nieskończenie wiele przebiegów

sinusoidalnych.

Sprowadza się to do stwierdzenia, iż same wartości próbek nie

określają jednoznacznie częstotliwości próbkowanego sygnału.

Próbkowanie równomierne

4

Próbkowanie równomierne

Rys. 1

(a) Wykres ciągu wartości o czasie dyskretnym,

(b) Wykres dwóch różnych sinusoid, które przechodzą przez punkty tego

ciągu.

5

Próbkowanie równomierne

•

Analiza matematyczna tej niejednoznaczności pozwala

nam skutecznie poradzić sobie z nią.

Próbkując z częstotliwością f

p

próbek / s

(tj. w równomiernych odstępach czasu t

p

) ciągły w

czasie
sygnał sinusoidalny
otrzymujemy wartości:

0. próbka:
1. próbka:
2. próbka:

…

…

n-ta próbka:

)

2

sin(

)

(

0

t

f

t

x





)

0

2

sin(

)

(

0

p

t

f

t

x





)

1

2

sin(

)

(

0

p

t

f

t

x





)

2

2

sin(

)

(

0

p

t

f

t

x





)

2

sin(

)

(

0

p

nt

f

t

x





6

Próbkowanie równomierne



2

)

2

sin(

)

sin(

m











)

)

(

2

sin(

)

2

2

sin(

)

2

sin(

)

(

0

0

0

p

p

p

p

nt

nt

m

f

m

nt

f

nt

f

n

x



















)

)

(

2

sin(

)

(

0

p

p

nt

t

k

f

n

x







)

)

(

2

sin(

)

2

sin(

)

(

0

0

p

p

p

nt

kf

f

nt

f

n

x











• Wartości funkcji sinus powtarzają się co

radianów
( ), gdzie m to dowolna
liczba całkowita, możemy zapisać:

Przyjmując m jako wielokrotność n, tj. m = kn
możemy zapisać:

• Porównując zależności na x(n) dostajemy:

7

Próbkowanie równomierne

• Wynika z tego, że czynniki f

0

oraz f

0

+ kf

p

są równe.

Oznacza to że ciąg próbek x(n) reprezentuje

zarówno przebieg sinusoidalny o częstotliwości f

0

Hz

jak i przebiegi o innych częstotliwościach, tj. f

0

+ kf

p

.

• Innymi słowy:

Podczas próbkowania z szybkością f

p

próbek/s,

jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą, nie

jesteśmy w stanie rozróżnić spróbkowanych

wartości przebiegu sinusoidalnego o

częstotliwości f

0

Hz oraz przebiegu

sinusoidalnego o częstotliwości f

0

+ kf

p

Hz.

8

Próbkowanie równomierne

)

)

(

2

sin(

)

2

sin(

)

(

0

0

p

p

p

nt

kf

f

nt

f

n

x











Rys. Efekt niejednoznaczności częstotliwości, próbkowanie z szybkością 6 kHz przebiegu o częstotliwości 7 kHz.

• W celu zilustrowania zależności

rozważmy próbkowanie sygnał sinusoidalny o częstotliwości 7 kHz

z szybkością 6 kHz. Przedstawione jest to na poniższym rysunku.

9

Próbkowanie równomierne

,

7

0

kHz

f 

,

6kHz

f

p



,

1





k

kHz

kf

f

p

1

)]

6

1

(

7

[

0













• Widać również, że wartości próbek nie zmieniałyby

się, gdybyśmy próbkowali przebieg o częstotliwości 1
kHz. Dla tego przykładu:

• Problemem jest to, że żaden schemat przetwarzania

nie jest w stanie określić, czy wartości próbek
reprezentują przebieg sinusoidalny o częstotliwości 7
kHz, czy 1 kHz.

10

Próbkowanie równomierne

,

4

0

kHz

f 

,

6kHz

f

p



,

1





k

kHz

kf

f

p

2

)]

6

1

(

4

[

0















Rys.2 Efekt niejednoznaczności częstotliwości, próbkowanie z szybkością 6 kHz przebiegu o częstotliwości 4 kHz.

• Kolejny przykład dwuznaczności częstotliwości, który

nazywamy aliasingiem, pokazano dla przebiegu
sinusoidalnego o częstotliwości 4 kHz. Może on być
pomylony z sygnałem o częstotliwości 2 kHz.

11

Próbkowanie równomierne

Hz

f

p

2



2

p

f

• Gdy nasze zainteresowanie ograniczymy pasmem

częstotliwości do zakresu

częstotliwości , nasze dwa powyższe

przykłady nabierają specjalnego znaczenia.

Częstotliwość to bardzo ważna wielkość w

teorii próbkowania I nosi ona w literaturze różne

nazwy, jak krytyczna częstotliwość Nyquista,

połowa częstotliwości Nyquista oraz częstotliwość

zagięcia.

12

Próbkowanie równomierne

Rys.3 Zależności widmowe pokazujące aliasing przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach 7 i 4 kHz.

• Poniższy rysunek stanowi graficzne przedstawienie dwóch

przykładów aliasingu.

Zainteresowani jesteśmy składowymi częstotliwości, które
są przenoszone w przedziale częstotliwości od do
.
Zauważamy, że poziome usytuowanie kropek wskazuje
jakie częstotliwości są ze sobą związane poprzez aliasing.

2

p

f



2

p

f

13

Próbkowanie równomierne

Rys.4 Aliasing przy wielokrotnościach szybkości próbkowania.

• Na poniższym rysunku zobrazowana została ogólna zasada

aliasingu za pomocą wzorca piłozębnego. Widać, z niego, że

wartości szczytowe wzorca są położone przy całkowitych

wielokrotnościach częstotliwości f

p

.

14

Próbkowanie równomierne

•Dla przytoczonego przykładu przebieg ten wygląda następująco:

Rys.5 Aliasing przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości 7 kHz do 1 kHz, 13 i

19 kHz

Możemy więc ponownie stwierdzić, że reprezentacje sygnału ciągłego
w postaci ciągów dyskretnych mają nieuniknione niejednoznaczności w
ich dziedzinach częstotliwości i muszą one być brane pod uwagę we
wszystkich praktycznych algorytmach cyfrowego przetwarzania sygnałów.

15

Próbkowanie sygnałów

dolnopasmowych

• Przeanalizujmy próbkowanie sygnału

rzeczywistego ciągłego, którego widma są równe
zeru powyżej +B Hz oraz poniżej częstotliwości –
B, tj. sygnał ten ma ograniczone pasmo.

16

Próbkowanie sygnałów

dolnopasmowych

2

p

f



B

f

p



2

• Zakładając, że sygnał próbkujemy z częstotliwością f

p

,

możemy ocenić skutki próbkowania, czyli powielenie widma.

Ukazuje to widmo oryginalne wraz z nieskończoną ilością jego

powieleń. Okres powtarzania wynosi f

p

.

Aby odseparować powielenia widma przy częstotliwościach

, w praktyce podczas konwersji A/C stosuje się

częstotliwość próbkowania f

p

większą niż 2B. Związek

mówiący, że

znany jest jako kryterium Nyquista.

17

Próbkowanie sygnałów

dolnopasmowych

B

f

p



 5

,

1

Rys.6 Nakładanie się częstotliwości i aliasing, kiedy szybkość próbkowania jest zbyt mała.

• Przykład:

Dla zobrazowania przyczyn nie spełnienia kryterium
Nyquista przyjmijmy, że . W rezultacie powielenia
widmowe zachodzą na widmo oryginalne w paśmie
podstawowym, powstają błędy aliasingu (rysunek poniżej).

18

Próbkowanie sygnałów

dolnopasmowych

• Informacja widmowa w pasmach od –B do –B/2 i

od B/2 do B została zniekształcona i nie wiemy
naprawdę, jakie będą wartości w tych obszarach
jeśli pojawił się aliasnig.

• W praktyce sygnał ciągły o szerokości pasma B

jest wraz z towarzyszącym mu szumem.

19

Próbkowanie sygnałów

dolnopasmowych

2

p

f



2

p

f

• Próbkowanie tego sygnały z częstotliwością większą niż 2B

zapobiega nakładaniu się na siebie powtórzeń widma

sygnału, lecz nadal pojawia się energia szumu w

interesującym nas paśmie w przedziale od do .

W praktyce rozwiązuje się ten problem stosując analogowy

dolnoprzepustowy filtr antyaliasingowy przed

przetwornikiem A/C, aby stłumić niepożądaną energię

sygnału o częstotliwościach spoza przedziału –B do B.