REDUKCJE POMIARÓW

ASTRONOMICZNYCH

I GEODEZYJNYCH NA

ELIPSOIDĘ ODNIESIENIA

Wstęp

Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne

kątów i długości wykonywane są w
układzie horyzontalnym, zdefiniowanym poprzez
kierunek linii pionu rzeczywistego pola siły ciężkości
w punkcie obserwacji (w tym polu instrumenty
pomiarowe orientuje się poprzez poziomowanie).

Redukcje wielkości geodezyjnych najpierw na

geoidę, wzdłuż rzeczywistej linii pionu, a następnie z
geoidy rzutowanie poprzez normalne na elipsoidę
odniesienia, nazywa się redukcjami w systemie
Pizzettiego.

Wstęp – c.d.

Systemowi Pizzettiego przeciwstawia się

system

Helmerta

(geodezja

klasyczna)

bezpośredniego

rzutowania

normalnego

na

powierzchnię elipsoidy odniesienia.

Koncepcja

Mołodeńskiego (1960) wprowadza nowy system

redukcji w polu normalnym siły ciężkości, znajdujący

się niejako pomiędzy dwoma wymienionymi powyżej

systemami.

1. Redukcja szerokości i długości

astronomicznej

Podstawowym składnikiem redukcji szerokości



’ i długości



’ zaobserwowanych

metodami astronomii geodezyjnej jest redukcja z
fizycznej powierzchni Ziemi na geoidę, wyrażona
ogólnymi wzorami na zmianę kierunku linii pionu
wynikającą z krzywizny linii pionu:

x

g

H

'

2

sin

M

*

f

H

















'

sec

y

g

H















1. Redukcja szerokości i długości

astronomicznej – c.d.1

Podstawowym problemem jest wyznaczenie

przeciętnej wartości przyspieszenia siły ciężkości g
wzdłuż linii pionu.

Robocza postać wzorów na redukcję z fizycznej

powierzchni Ziemi na geoidę (przyjmując za f *
wartość f * = 0.005 302 44 (dla GRS’80),
średni promień Ziemi: R = 6 371 009 m, oraz
przeciętną wartość przyspieszenia normalnego γ =
980 619.9 mgala) przyjmie postać:

H

x

g

H













00021

.

0

'

2

sin

000171

.

0





H

y

g

'

sec

00021

.

0















1. Redukcja szerokości i długości

astronomicznej – c.d.2

1. Redukcja szerokości i długości

astronomicznej – c.d.3

Wzory dotyczące następnego etapu redukcji z

geoidy na elipsoidę odniesienia mają postać:

ag

B









ag

L









gdzie:

ξ

ag

oraz

η

ag

są

astronomiczno-

geodezyjnymi odchyleniami pionu (wyznaczane
metodą interpolacji liniowej lub interpolacji drugiego
stopnia), przy czym:

2

2











Ostatecznie szerokość geodezyjna B i długość L
wyrażą się jako:

B

B











 '

L

L











 '

2. Redukcja azymutów

2. Redukcja azymutów – c.d.1

Oznaczając przez δα’

n

zmianę azymutu

spowodowaną obrotem południka a wynikającą z
krzywizny linii pionu, natomiast δα’

v

zmianę

azymutu spowodowaną obrotem wertykału celu,
oraz zapisując składowe kąta linii pionu w postaci:



x

=



’ -



,



y

= (



’ -



) cos



’

,

można napisać, że:





,

sin

'

tan

'



















x

n





'

'

cos

'

sin

'

z

ctg

y

x

v

















2. Redukcja azymutów – c.d.2

W związku z tym, że kąt krzywizny jest bardzo

mały oraz z’ jest z reguły bliskie 90

O

, wpływ skręcenia

wertykału nie osiąga w podstawowych sieciach
geodezyjnych wartości znaczących. Z tego względu
składnik redukcji związany ze skręceniem wertykału
jest pomijany.

Następny etap redukcji azymutu polega na

uwzględnieniu wpływu odchylenia pionu w punkcie
stanowiska P i w punkcie celu K. Odchylenie pionu
w punkcie P spowoduje zarówno skręcenie
płaszczyzny południka δα’

n

, jak i wertykału celu δα’

v

.

Obydwa wpływy odchyleń pionu na skręcenie
wertykału celu można przedstawić jednym wzorem w
postaci:



























cos

sin

P

K

P

K

K

v

s

H









2. Redukcja azymutów – c.d.3

Na

koniec

należy

uwzględnić

wpływ

wichrowatości normalnych elipsoidy w punktach
stanowiska P i celu K zarówno przy rzutowaniu na
geoidę, jak i elipsoidę odniesienia:











2

sin

cos

2

'

2

2

K

K

w

N

H

a

e





Powyższy wzór jest wzorem przybliżonym

ważnym dla długości boków rzędu kilkudziesięciu
kilometrów.

 

Ostatecznie wzór na redukcję azymutu

w rzeczywistym polu siły ciężkości
otrzymuje się dodając kolejne etapy redukcji:

v

w

A





















'

'

3. Redukcja długości

Klasyczne podejście do redukcji długości S’,

pomierzonej na fizycznej powierzchni Ziemi i
zredukowanej na średnią wysokość obu punktów
końcowych odcinka S’, polega na wyznaczeniu
różnicy

pomiędzy

długością

redukowaną

bezpośrednio na elipsoidę S

0

(rzut normalny)

i długością S otrzymaną w wyniku najpierw
pionowego rzutu na geoidę a następnie normalnego
rzutu z geoidy na elipsoidę odniesienia.

Do pierwszego etapu redukcji wykorzystujemy
średnią wysokość:

)

(

2

1

K

P

K

P

m

N

N

H

H

H









3. Redukcja długości – c.d.1

Rys. Bezpośrednia redukcja długości na
elipsoidę

3. Redukcja długości – c.d.2

Wyliczając średni promień krzywizny elipsoidy

R

A

, bezpośredni rzut ortogonalny S’ na elipsoidę

odniesienia wyrazimy:

















A

m

R

H

S

S

1

'

0

Przyjmuje się założenie, że powierzchnie

geoidy i elipsoidy odniesienia są w
granicach odcinka S nachylone względem siebie tak
nieznacznie, że można uznać:

K

A

K

P

A

P

0

H

H

S

S















gdzie: θ

P-A

i θ

K-A

oznaczają rzuty odchyleń pionu

odpowiednio w punktach P i K na płaszczyznę
przekroju normalnego o azymucie A, w którym leży
odcinek PK.

3. Redukcja długości – c.d.3

Rys. Wpływ odchyleń pionu na redukcję
długości

3. Redukcja długości – c.d.4

Można przyjąć średnią wysokość:





K

P

H

H

H





2

1

a wtedy :





A

K

A

P

0

H

S

S















Ostatecznie oznaczając δS = S – S’, można

zapisać

wzór

na

redukcję

długości

na

powierzchnię

elipsoidy

odniesienia

w

rzeczywistym polu siły ciężkości:













A

A

H

R

H

S

S

K

P

K

P

A

m

cos

sin

'





















