„Bóg jest matematykiem.”

Jan Kepler

TRÓJKĄTY PODOBNE.

Trójkąty mają wiele ciekawych własności i już
od starożytności uważane są za niezwykłe
figury. Trójkąty zasługują na szczególną
uwagę

także

przy

rozpatrywaniu

ich

podobieństwa, wystarczy bowiem sprawdzić
jedną z trzech cech podobieństwa trójkątów,
aby stwierdzić czy dane dwa są do siebie
podobne, czy też nie.

TRÓJKĄTY PODOBNE.

Aby stwierdzić, czy trójkąty są do siebie
podobne wystarczy sprawdzić:

• czy odpowiednie boki są proporcjonalne

• czy dwa kąty w jednym trójkącie mają
takie same miary jak dwa kąty w drugim
trójkącie

• czy oba trójkąty mają chociaż jeden kąt o
takiej samej mierze i czy boki tworzące
ramiona tego kąta są proporcjonalne.
Podpunkty

te

nazywamy

cechami

podobieństwa trójkątów.

CECHA BBB (BOK – BOK –

BOK).

Jeśli długości boków jednego trójkąta są

proporcjonalne do odpowiednich boków

drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

CECHA KK (KĄT- KĄT).

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe

dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te

są podobne.

CECHA BKB (BOK – KĄT –

BOK).

Jeśli kąt w jednym trójkącie jest równy

pewnemu kątowi w drugim trójkącie, a

ponadto długości odpowiednich boków

leżących przy tych kątach są proporcjonalne,

to trójkąty są podobne.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Czy narysowane poniżej trójkąty są podobne?

Korzystamy z cechy bbb, czyli sprawdzamy
stosunek odpowiednich boków (najdłuższy do
najdłuższego, najkrótszy do najkrótszego…):

Te trójkąty są podobne na mocy cechy bbb.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Które z narysowanych poniżej trójkątów są
podobne?

Skorzystamy z cechy kk, w tym celu
obliczymy brakujące miary kątów:
I: 180° - 110° - 50° = 20°
II: 180 – 110° - 20° = 50°
III = 180° - 50° - 30° = 100°
Trójkątami podobnymi są I i II na mocy cechy
kk (mają takie same kąty).

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Czy

narysowane

poniżej

trójkąty

są

podobne?

Skorzystamy z cechy bkb. Łatwo można
zauważyć, że kąt między bokami o długości 3
i 2 w trójkącie II ma miarę 70° więc pierwszy
warunek cechy jest spełniony. Sprawdzamy
stosunek boków:

Trójkąty te są podobne na mocy cechy bkb.

FAKT 1.

Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty prostokątne

są podobne, wystarczy znaleźć kąt ostry w

jednym trójkącie, który ma taką samą miarę

jak kąt ostry w drugim trójkącie.

FAKT 2.

Wysokość trójkąta prostokątnego

opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ten

trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Trójkąty na rysunkach są podobne. Oblicz
pole każdego z nich.

Do obliczenia pól powierzchni tych trójkątów
potrzebujemy wysokości w trójkącie ABC i
brakującej części podstawy w trójkącie DEF.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

Trójkąt prostokątny K jest podobny do
trójkąta N (na podstawie faktu 1), zachodzi
więc proporcja:

6h = 16 |: 6
h =

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

Podobnie trójkąt L jest podobny do trójkąta
N, a zatem:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Po zamienieniu pierwszego licznika na
ułamek niewłaściwy i wymnożeniu „na krzyż”
otrzymujemy równość:

x = 12
Mamy już wszystkie niezbędne do policzenia
pól dane.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Czy trójkąty prostokątne LIS i MIŚ są
podobne? Uzasadnij odpowiedź.

Kąty MIŚ i LIS mają równe miary jako kąty
wierzchołkowe, a więc w oparciu o fakt 1 te
trójkąty są podobne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
2500 lat temu Tales z Miletu zadziwiał
współtowarzyszy tym, że potrafił obliczyć
odległość statku od brzegu. Dziś Jaś zadziwił
kolegów tym, że obliczył szerokość rzeki.
Poniższy rysunek przedstawia jego pomiary.
Jak szeroka jest rzeka?

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Widoczne na rysunku trójkąty są podobne
(tak samo jak te z zadania 2). Jeśli
oznaczymy

szerokość

rzeki

przez

x

dostaniemy proporcje:

Odpowiedź: Rzeka ma szerokość metra.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4.
Cień drzewa ma długość 7,2 m, a cień
człowieka o wzroście 160 cm ma długość
0,96 m. Jaka jest wysokość drzewa?
Naszkicujmy rysunek pomocniczy:

Promienie słońca padają pod tym samym
kątem do podłoża, więc narysowane trójkąty
są

podobne.

Aby

obliczyć

wysokość

układamy i rozwiązujemy proporcje.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.

0,96x = 11,52 |: 0,96
x = 12 (m)
Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 12 m.