Relatywizm w fizyce

Transformacja

Lorentza

Względność równoczesności

Dodawanie prędkości

Stałość prędkości światła- Doświadczenie

Michelsona-Morley’a

Ruch względny dla prędkości relatywistycznych

Wyznaczanie prędkości światła

Wartość prędkości światła w próżni jest jedną

z podstawowych stałych fizycznych. Możemy
również powiedzieć, że:

a) Światło jest promieniowaniem

elektromagnetycznym i

jego prędkość w próżni jest niezależna od

częstości,

a) Nie można przekazać żadnej informacji czy

sygnału

z prędkością większą niż prędkość światła,
c) Prędkość światła nie zależy od układu

odniesienia i we wszystkich układach
inercjalnych jest taka sama.

Na przestrzeni ostatnich kilkuset lat
prędkość światła zmierzono różnymi
metodami.

3. Metoda Fizeau (koło zębate)

Dobierając szybkość rotacji można było
zapewnić przebieg odbitego od lustra światła
przez kolejną szczelinę.

Fizeau uzyskał wartość c = 315 300 ±500
km/s.

Stałość prędkości światła
Doświadczenie Michelsona-
Morley’a

W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się
światła zakładały istnienie tzw.

eteru

- czyli

ośrodka mającego bardzo szczególne
właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość
i przenikliwość, przenikającego wszystko i
będącego również w próżni.
Przy pomiarach prędkości światła trzeba by
więc uwzględnić fakt, że Ziemia porusza się
względem eteru. Ta prędkość względna
powinna mieć wpływ na pomiary prędkości
światła,
o ile słuszna jest transformacja Galileusza.

Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie
poruszającym się z prędkością

v

względem

eteru, to dla dwóch różnych kierunków tej
prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty na
prędkość światła

v + c

, i

-v+c

.

Z różnicy tych dwóch wartości możemy
wyznaczyć prędkość

v

.

Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało
jako wynik wartość

v = 0

.

Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r.
sformułował swoje

postulaty

dotyczące tzw.

szczególnej teorii względności

.

1. Prawa natury mają tą sama postać we

wszystkich układach

inercjalnych,
1. Prędkość światła jest stała i taka sama we

wszystkich inercjalnych układach
odniesienia, niezależnie od ruchu

źródła i obserwatora.

W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch
Ziemi względem eteru przy pomocy
doświadczenia, które tu przedyskutujemy.
Użył on do tego bardzo czułego instrumentu
optycznego – interferometru.

l

0

l

0

S



S



P

O

Q

Światło ze źródła

Q

zostaje po soczewce posłane

równoległą wiązką na półprzezroczystą płytkę

P

. Na

płytce tej dzieli się i biegnie do luster

S



i

S



.

Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do
lunetki

F

. Tam obserwuje się obraz interferencyjny w

postaci równoległych prążków.

Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym
od różnicy

t

czasu przelotu obydwu promieni

cząstkowych na drodze

PS



P i PS



P.

Przy czym

PS



= PS



= l

0

.

1. Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w

eterze. Wtedy

prędkość światła jest wszędzie równa

c

i

t =

0.

1. Jeżeli interferometr porusza się z prędkością

v

np. w kierunku

PS



, wtedy powinna wystąpić

różnica czasu

t

.

Można to zaobserwować w następujący sposób;
Rozważmy

układ

U

, w którym spoczywa eter i

układ U

’

poruszający się względem eteru w

którym spoczywa interferometr.

l

0

l

0

S



S



P

O

Q

v

U

W układzie

U

prędkość światła

jest

c

, a w

układzie

U

’

c-v () i c+v ()

zgodnie z transformacją
Galileusza. W układzie

U

’

na czas przelotu odcinka

PS



P

otrzymujemy wartość;

0

0

0

2

2

2

l

l

l c

t

c v c v

c

v













P

.

Wyznaczenie prędkości po drodze

PS



P

jest

trochę trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w
układzie

U

, w którym jak pamiętamy prędkość

światła jest

c

.

l

0

S



P

P

vt



v

Widzimy, że;

2

2

2

0

2

(

)

2

l

t

c

vt

l

l











,

lub

2

2

2

0

0

2

2

(

)

(

)

2

2

2

ct

vt

l

l

t

c

v







 







.

Całkowita różnica czasu jest równa;

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

t t t

c

t

l

c

v

c

v

l

t

v

c

v

c

c



  





 



























 



















P

.

Wiadomo, że

v<<c

,

możemy więc obydwa
składniki ostatniego
równania rozwinąć w
szereg. Skorzystamy
z szeregów:

2

2

1

1

1

1

1

3

1

2

8

1

x x

x

x

x

x

  





 







2

2

0

2

2

2

0

2

2

1

(1

) (1

)

2

2 1

2

l

v

v

t

c

c

c

l

v

t

c

c





 















 

Zaniedbując człony począwszy od
kwadratowego, otrzymujemy;

.

Wniosek jest taki, że światło biegnące po
drodze

PS



P

potrzebuje czas dłuższy o

t

, niż

światło biegnące po drodze

PS



P

.

Jeżeli obrócimy interferometr o

90

0

, obydwa

lustra

S



i

S



zamienią się rolami, i jeśli tak

jak założyliśmy ramiona z lustrami miały
jednakową długość, różnica czasów powinna
wynosić

-t

.

Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych
dla dwóch położeń ramion powinna
wynosić;

2

0

2

2

( ) 2

l v

t

t

c c

    



.

Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną
Ziemi w ruchu
dookoła Słońca i założymy średnią wartość tej
prędkości jako
30 km/s, to możemy znaleźć wartość

(t);

2

4

8

2

8

16

0

0

8

0

15

10

10

2 10

( )( )

[ ] 0.67 10

[ ]

3 10

10

( )( ) 0.67 10

v

v

c

c

t s

l m

l m

dla l

m

t s

s



















 











 





.

Tak małą różnicę czasów przelotu

można

zmierzyć przy pomocy interferometru. Dla
porównania okres drgań fali świetlnej wynosi;

7

15

8

5 10

1.67 10

3 10

T

s

c









 







.

Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują
jeszcze mierzalne przesunięcie prążków
interferencyjnych.

x

N
S

O
W

N
S

Linia przerywana
przedstawia przewidywaną
zmianę położenia,
a czerwona otrzymaną w
doświadczeniu. Różnice
były 40 razy mniejsze niż
przewidywane.

Wniosek jest taki,
że
nie ma
względnego
Ruchu Ziemi
względem
eteru. Czyli, że
nie ma
wyróżnionego
układu
współrzędnych.

Transformacja Lorentza

Względność równoczesności

1. Prawa natury mają ta sama postać we

wszystkich układach

inercjalnych,
1. Prędkość światła jest stała i taka sama we

wszystkich inercjalnych układach
odniesienia, niezależnie od ruchu

źródła i obserwatora.

Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina

Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma
wyróżnionego układu współrzędnych, jest
zgodna z drugim postulatem Einsteina.
Rozważmy następujące doświadczenie;
W chwili t = 0 dwa układy U i U

’

pokrywają się

swoimi początkami O = O

’

zachodzi błysk

światła.

Układy te poruszają się z pewną prędkością w
kierunku x

x

v vi



r

r

.

O

O

’

z

’

z

x

’

x

y

’

y

v

W obydwu układach
prędkość światła
wynosi c.
Światło rozchodzi
się kuliście, tak , że
po czasie t pokonuje
drogę ct.
Mamy więc w
układzie U;

2

2

2

2 2

x

y

z

c t







.

Równocześnie w układzie U

’

mamy;

2

2

2

2 2

x

y

z

c t















.

O

O

’

z

x

’

y

v

x

y

’

z

’

P(x,y,z)

P(x

’

,y

’

,z

’

)

Wynika więc z
tego, że
dla chwili t=t

’

czoło fali
promienia
świetlnego
znajdowałoby się
na dwóch
różnych kulach o
różnych środkach
przesuniętych o
odcinek

OO

’

= vt

.

Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą
możemy tylko wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy
stosowania pojęcia czasu uniwersalnego i
zamiast tego przyjmiemy,

że przy przejściu

pomiędzy dwoma poruszającymi się
prostoliniowo układami współrzędnych
następuje nie tylko zależna od czasu zmiana
współrzędnych, ale również zależna od
położenia zmiana czasu.

B

N

A

B

’

R

A

’

B

N

A

B

’

R

A

’

B

N

A

B

’

R

A

’

B

N

A

B

’

R

A

’

1. Błyskawica uderza w

pociąg w punkach

A

’

i

B

’

oraz w szyny w

punktach

A i B.

1. Światło z

A

’

osiąga

ruchomego
obserwatora

R.

1. Światło z

A i B

osiąga

nieruchomego
obserwatora

w punkcie

N

.

4.

Światło z

B

’

osiąga

ruchomego
obserwatora

R

Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina

Widzimy więc, że równoczesność jest względna a
nie absolutna. Zależy ona od ruchu obserwatora.

Dla obserwatora N punkty A i A

’

pokrywają się

w tym samym czasie co punkty B i B

’

. Dla

niego więc długość odcinka torów AB jest
równa długości pociągu A

’

B

’.

Obserwator ruchomy

R

widzi jednak rzeczy

inaczej. Ponieważ widzi on błyskawicę z
przodu pociągu wcześniej niż z tyłu, wydaje
mu się, że

A i A

’

koincydują wcześniej niż

B i

B

’

. Przyjmuje on więc, że długość toru

AB

jest

krótsza od długości pociągu

A

’

B

’

.

Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc
co do oceny długości jak i czasu.

Transformacja Lorentza

Opierając się na postulatach Einsteina
postaramy się znaleźć zależność pomiędzy
wartościami położenia i czasu mierzonymi przez
jednego obserwatora, z odpowiednimi
wartościami mierzonymi przez drugiego
obserwatora znajdującego się w ruchu
względem pierwszego obserwatora.

Jeśli wybierzemy sobie dwa układy
współrzędnych U i U

’

z dwoma obserwatorami,

to z transformacji Galileusza otrzymamy;

x

x

’

U

U

’

v

y

y

’

x

x vt

x x vt

 





 

.

t

’

bierze pod uwagę możliwość różnych

skali czasowych.

Ponieważ może również zmieniać się
długość(odległość) wprowadzamy czynnik
skalujący  ( niezależny od pozycji i czasu), ale

mogący zależeć od prędkości v.

(

)

(

)

x

x vt

x

x vt

















(*).

Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu
równaniach powinno występować to samo , aby

nie wyróżniać żadnego z układów.
Wprowadziliśmy współczynnik  jako

matematyczną możliwość, gdy v  0,   1.

Chcemy znaleźć  opierając się na II postulacie

Einsteina. Jeśli w czasie pokrywania się
początków układów U i U

’

włączymy zegary, to

pokażą one czas t i t

’

.

Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0,
t = 0, oraz
x

’

= 0, t

’

= 0) w początku układów zajdzie błysk

światła, to ze względu na to, że światło rozchodzi
się w każdym z tych układów z prędkością c,
mamy;

x ct
x

ct









.

Wstawiając to do równania (*)
mamy;

(

)

(

)

ct

c v t

ct

c v t















.

Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie
otrzymujemy;

2

2

2

2

(

)

c

c

v







.

Na współczynnik  otrzymujemy wyrażenie;

2

2

1

1

v
c







.

Ze względu na to, że dla v = 0, x

’

= x,

przyjmujemy znak +1.

2

2

1

1

v
c







Transformacja położenia i czasu
przyjmie postać;

2

2

2

2

1

1

x vt

x

v
c

x

vt

x

v
c

y

y

z

z

















 

 

.

,

2

2

2

2

2

2

1

1

v x

t

c

t

v
c

v x

t

c

t

v
c



















Wzory
przedstawiają
transformacje
Lorentza.

Dodawanie prędkości

Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się
w układzie ruchomym przez przez prędkość w
układzie nieruchomym, nie możemy już
stosować transformacji Galileusza, gdyż byłoby
to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe
wyrażenie na dodawanie prędkości
wyprowadzimy w oparciu o transformację
Lorentza.
Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek
położenia i czasu.

2

2

2

2

2

1

1

vdx

dt

dx vdt

c

dx

dt

v

v

c

c



















Dzieląc te równania stronami otrzymamy
szukane zależności.

Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u

’

w

układzie U

’

tak jak na rysunku.

x

x

’

U

U

’

v

y

y

’

u

x

u

’

x’

Wtedy

x

x

dx

dx

u

u

dt

dt













, i mamy;

2

2

/

1

dx

v

dx

dx vdt

dt

dx v

dt dt v c dx

dt c





























.

Czyli ostatecznie,

.

( , , )

( , , )

x

y

z

x

y

z

u

u u u

u

u u u







  



r
r

Gdy

x

v v i

 

r

r

,

.

2

1

x

x

x

u

v

u

v

u

c





 







.

Równocześnie ze względu na zależność
możemy napisać, że;

2

2

2

2

(

/

)

(1

/

)

(

/

)

(1

/

)

y

y

x

z

z

x

u

dy

dy

u

dt

dt v c dx

v c u
u

dz

dz

u

dt

dt v c dx

v c u





















































.

y y

z z









Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem,
otrzymujemy;

2

2

2

1

(1

)

(1

)

x

x

x

y

y

x

z

z

x

u

v

u

v

u

c

u

u

v

u

c

u

u

v

u

c













 























(gdzie maksymalna
wartość u=c, oraz v=c),
otrzymujemy;

1

2

v/c

0

1

u/c

2

2

2

1

/

Einstein

u

c

v c





2

Galileusz

u

v

c

c



Porównując
dodawanie dwóch
jednakowych
prędkości u

’

= v

według Galileusza i
Einsteina

Kontrakcja długości Lorentza -
Fizgeralda

Rozważmy znów układ nieruchomy U i
ruchomy U

’

, i zmierzmy w obydwu tych

układach długość odcinka.

W układzie U mamy x

2

– x

1

wykonujemy pomiar

w chwili t

1

= t

2

, aby móc przyjąć, że x

2

– x

1

oznacza długość.
W układzie U

’

mamy odpowiednio x

’

2

-x

’

1

.

Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy;

2

1

2

1

2

2

2

1

1

x

x

x

x

v

c

v

L

L

c



















.

Dylatacja czasu

Umieśćmy w stałym punkcie

x

’

0

układu

ruchomego

U

’

zegar. Układ ten porusza się z

prędkością

v

w kierunku osi

x

’

.

W układzie nieruchomym

U

umieszczamy dwa

zsynchronizowane zegary umieszczone w
punktach

x

1

i

x

2

.

x

x

’

U

U

’

v

y

y

’

x

’

0

x

1

x

2

Gdy zegar

x’

o

w

U

’

mija zegar

x

1

w

U

, rejestrujemy czasy

t

’

1

w układzie

U

’

i

t

1

w układzie

U

.

Gdy zegar w

U

’

mija zegar

x

2

w

U

, rejestrujemy czasy

t

’

2

w

układzie

U

’

i

t

2

w układzie

U

.

Odpowiednie przedziały
czasowe

Wynoszą w układzie U

’

t

’

= t

’

2

– t

’

1

, a w

układzie

U

t = t

2

– t

1

. Stąd mamy;

2

2

2

2

2

/

1

1

t

v c

x

t

v
c

t

t

v
c





 



 







 



.

Ponieważ w układzie U

’

zegar spoczywa, więc
x

’

= 0, mamy więc

Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w
czasie 2 s, mierzonym na zegarze będącym w spoczynku

względem mionu. Licząc klasycznie- mion w poruszający się z
prędkością c przebywa czasie swego życia drogę
ct=3·10

8

m/s 2·10

-6

s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele

mionów dociera jednak do Ziemi.
Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = 0.9999c
znajdujący się na wysokości 30 km dotrze do powierzchni
Ziemi.

6

6

2

2 10

141 10

1 (0.9999)

s

t

s







 







Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równa
czyli doleci.

8

6

3 10 / 141 10

42

x

m s

s

km



 

 



Dynamika relatywistyczna

Zasada zachowania pędu w szczególnej teorii
względności- Pęd relatywistyczny

Przy podejściu klasycznym zasada zachowania
pędu dla N punktów materialnych w układzie
nieruchomym U ma postać;

1

1

N

N

i

i i

i

i

p

mv

P const







 





r

r

r

.

Wyrażenie to było słuszne dla transformacji
Galileusza we wszystkich układach
inercjalnych. W układzie U’ poruszającym się
z prędkością

v

0

względem układu U, pęd

każdej cząstki
zmienia się o

m

i

v

0

,

a całkowity pęd o

. Przez to

zmienia się jednak tylko wartość stałej, i
prawo zachowania pędu jest również ważne w
układzie

U

’

.

0

1

N

i

i

mv





r

0

1

1

N

N

i i

i

i

i

mv

P

const const v

m











 









r

r

r

.

Jeśli jednak zastosujemy przy przejściu z
układu

U

do

U’

transformację Lorentza, prawo

zachowania pędu w swej dotychczasowej
postaci przestanie działać.

.

.

Pęd zdefiniowany w sposób klasyczny

p=m

0

v

jest zachowany tylko w układzie środka masy.

Okazuje się, że we wszystkich układach
zachowany jest tzw.

pęd relatywistyczny

.

0

2

2

1

rel

m

p

v

v
c





r

r

.

Dla v<<c jest ono identyczne z klasyczną

definicją pędu

p = m

0

v

.

Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu
na

transformację Lorentza, tzn. zachowanie

p

w jednym układzie inercjalnym oznacza

zachowanie we wszystkich innych.

Podstawowym postulatem mechaniki
relatywistycznej jest żądanie zachowanie
relatywistycznego pędu we wszystkich
układach inercjalnych.
Z tego postulatu, oraz z klasycznego równania
ruchu
wynika cała dynamika relatywistyczna.

dp

F

dt



r

r

Przy braku sił zewnętrznych relatywistyczne
prawo zachowania pędu ma postać,

0

2

1

2

1

N

i

i

i

i

m

v

p const

v
c



  





r

r

.

Wyrażenie

0

2

2

1

m

m

v
c





nazywamy

masą

relatywistyczną

.

Równanie

p = m v

jest znów

ważne.

Masa jest więc zależna od
prędkości.

Jeśli jakaś zewnętrzna siła wykonuje na
swobodnej masie pracę, to ta masa
relatywistyczna zmienia się o wielkość
dostarczonej energii dzielonej przez c

2

.

Podobna rzecz jest również ważna dla energii
potencjalnej. Dla
dwóch punktów masowych energia
potencjalna;

1,2

1 2

12

p

mm

E

G

r



.

Dla układu izolowanego zmiana energii
potencjalnej powoduje zmianę energii
kinetycznej, a tym samym masy.

Całkowita masa relatywistyczna jest
zachowana. Musi się więc
zmienić masa spoczynkowa cząstek;

0

2

p

E

m

c







.

.

Z faktu że

2

kin

p

E

E

E

mc

 

 



wynika, że
całkowita

energia relatywistyczna ciała(punktu) o masie
m jest równa;

2

2

0

2

2

2

2

1

1

o

mc

E

E mc

v

v

c

c











.

E

0

jest energią masy spoczynkowej m

0

.

Widzimy więc, że gdy na układ nie działają
żadne siły zewnętrzne,

energia

relatywistyczna, która tak jak energia
klasyczna jest sumą energii kinetycznej i
potencjalnej jest zachowana.

Zależność pomiędzy pędem a
energią dla
ciała o masie spoczynkowej
m

0

W oparciu o wcześniejsze równania
otrzymujemy;

2

0

0

2

2

2

2

2 2 2

2 4 2

2

2

0

0

2

2

2

2

1

/

1

/

mv

mc

p

E

v c

v c

m v c

m c c

p

E

c

v

c

v

















r

r

.

Eliminując z tych równań v

2

otrzymujemy;

2

2 2

2 2

0

(

)

E

p c

mc





.

Podstawiając do tego równania

2

0

kin

E E

mc





, otrzymamy;

2 2

2 2

2

0

0

(

)

kin

E

p c

mc

mc







.

Często używamy również
wyrażenia:

2

E

p mv

v

c





r

r

r

.

Transformacja pędu i energii pomiędzy
dwoma
układami poruszającymi się względem
siebie
prostoliniowo

Energię i pęd możemy wyrazić poprzez masę
spoczynkową cząstki i prędkość. Masa
spoczynkowa jest niezależna od układu
współrzędnych.

Poznaliśmy również wyrażenia na transformację
prędkości.
Przyjmijmy, że układ U

’

porusza się względem

układu

U

z prędkością . Wtedy,

0 x

v v i



r

r

0

0

2

2

2

2

2

2

0

0

2

2

(

)

1

1

x

x

x

y

y

z

z

v E

v p

E

p

E

c

c

c

p

c

v

v

c

c

p

p

p

p







 







 
 

.

Interwał czasoprzestrzenny - czterowektor

Miarą odległości między punktami 1 i 2 jest
interwał, lub przedział przestrzenny
zdefiniowany jako;

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

(

)

(

)

(

)

r

x x

y y

z z













r

W fizyce relatywistycznej nie można
rozpatrywać współrzędnych przestrzennych
niezależnie od czasu. Czas należy traktować
jako czwartą współrzędną, która razem ze
współrzędnymi tworzy czasoprzestrzeń. Aby
zgadzały się wymiary za czwartą współrzędną
używa się

ct

.

Miarą odległości w cztero- wymiarowej
przestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny,

.

2

2

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

[ (

) ] [(

)

(

)

(

) ]

S

c t t

x x

y y

z z

















r

,

w układzie nieruchomym, a w układzie ruchomym;

2

2

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

[ (

) ] [(

)

(

)

(

) ]

S

c t t

x x

y y

z z



 

 





 

















r

Jeśli wykorzystamy transformację Lorentza
do porównania obydwu wielkości, okazuje
się, że .

12

12

S

S



r

r

Okazuje się więc, że interwał
czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem
transformacji Lorentza i jest w każdym
układzie taki sam.

Wiemy:

2

2 2

2 2

0

(

)

E

p c

mc





.

Lewa strona tego równania jest kwadratem
energii spoczynkowej ciała. Wielkość ta musi
być taka sama we wszystkich układach
współrzędnych.

2

2 2

2

2 2

E

p c

E

p c











.

Możemy więc napisać:

2

2

2

2

2 2

0

2

(

)

x

y

z

E

p

p

p

m c

c









.

Wyrażenie to ma postać analogiczną do
interwału czasoprzestrzennego,

2

2 2

2

2

2

(

)

s

c t

x

y

z









.

Możemy więc napisać, że m

0

c jest

bezwzględną wartością czterowektora pędu i
energii. Notacje dla czterowektorów
bywają różne. Przytoczę tutaj jedną z nich.

1

2

3

0

/

x

y

z

dx

p

p

m

dt

dy

p

p

m

dt

dz

p

p

m

dt

p

E c















p



.

Do analogicznego wniosku dochodzimy w
oparciu o transformację pędu,

Składowe pędu i energii transformują się analogicznie jak
współrzędne

x, y, z

i

t

. Czyli tworzą również czterowektor.

Prawo zachowanie pędu i energii można więc ująć razem w
zasadę zachowania czteropędu;

p

const





.