Wiesław WSZOŁEK

Wiesław WSZOŁEK

Podstawy

Podstawy

Automatyki

Automatyki

Wykład 2

Wykład 2

Modelowanie

Modelowanie

matematyczne układów

matematyczne układów

dynamicznych

dynamicznych

Wykład 2

Wykład 2

Modelowanie

Modelowanie

matematyczne układów

matematyczne układów

dynamicznych

dynamicznych

2



Wprowadzenie



Modele układów fizycznych



Transmitancja operatorowa



Modele w przestrzeni stanów



Linearyzacja



Modele układów elektrycznych



Modele układów elektromechanicznych



Modele układów cieplnych i przepływowych

Plan wykładu

Plan wykładu

:

:

3



Modelowanie

Modelowanie

jest

matematycznym opisem

zachowania się elementów automatyki i obiektów
regulacji, niezbędnym do przeprowadzenia analizy
i syntezy ich działania



Tworząc model wykorzystujemy prawa fizyczne

prawa fizyczne

rządzące konkretnym układem (np. prawa
Newtona, prawa Kirchhoffa, równanie bilansu
masy, zasadę zachowania energii, itp.)

Model matematyczny obiektu

4



Do opisu modelu najczęściej wykorzystuje się

równania różniczkowe

równania różniczkowe



Jeden układ może mieć wiele

wiele

różnych modeli

matematycznych, w zależności od potrzeb badającego
i konkretnego zastosowania



Ważne jest zachowanie

kompromisu

pomiędzy

prostotą modelu a dokładnością wyników jego analizy

Model matematyczny obiektu

5

Sprężyna poddana działaniu siły F

s

y

k

F

S





S

F

k

y

1



Modelowanie układów
fizycznych

czyli

F

S

y

k

1

6

Tłumik

hydrauliczny

wprowadzając operator różniczkowania D

dt

dy

c

F

d



cDy

F

d



d

F

cD

1

y 

,...

2

,

1

,





n

dt

d

D

n

n

n

otrzymam

y

czyli

F

d

y

cD

1

7

ky

dt

dy

c

dt

y

d

m

F







2

2





y

k

cD

mD

F







2

F

k

cD

mD

y







2

1

Zespół masa-tłumik-

sprężyna

F

y

k

cD

mD





2

1

8





0

2

2























u

y

k

dt

du

dt

dy

c

dt

y

d

m

ku

cDu

ky

cDy

y

mD









2

u

k

cD

mD

k

cD

y









2

Model zamocowania jednego koła

pojazdu

u

y

k

cD

mD

k

cD







2

9

s

u

Ts

s

K

s

)

1

(

)

(







Model silnika

obcowzbudnego

u

y

)

1

( 

Ts

s

K

(t)

i

U

S

(t)

U

w

=

con
st

R

1

2

1

2

2

1

,

:

gdzie

)

(

)

(

)

(

k

K

k

k

RJ

T

t

KU

dt

t

d

dt

t

d

T

S













10

Rozważmy liniowy, stacjonarny układ zdefiniowany
przez następujące równanie różniczkowe

)

(

...

...

)

(

0

1

0

1

s

X

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

Y

n

n

m

m















x

b

dt

x

d

b

dt

x

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

,...,

,...,



























Transmitancja operatorowa

Dokonując przekształceń Laplace’a otrzymamy

gdzie n  m

11

Symbol graficzny elementu automatyki

)

(

)

(

...

...

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

s

X

s

Y

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m





























Transmitancja operatorowa

Transmitancja

operatorowa

G(s)

Transmitancja

operatorowa

G(s)

jest

zdefiniowana jako stosunek transformaty Laplace’a
sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty Laplace’a
sygnału wejściowego X(s), przy założeniu, że
wszystkie warunki początkowe są zerowe

G(s)

G(s)

G(s)

G(s)

X(t)

Y(t)

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G



)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G



12



Transmitancja układu automatyki jest jego modelem
matematycznym



Transmitancja jest własnością samego układu,
niezależną od wielkości i natury sygnału wejściowego



Transmitancja przedstawia związki pomiędzy sygnałami
wyjściowym i wejściowym, nie dostarcza natomiast
żadnej informacji dotyczącej fizycznej struktury układu



Transmitancje wielu fizycznie różnych układów mogą
być identyczne

Własności transmitancji

13



Jeśli transmitancja układu jest znana, to możemy
określić sygnał wyjściowy dla różnych sygnałów
wejściowych



Raz określona transmitancja daje pełny opis
charakterystyk dynamicznych układu, w odróżnieniu
od jego opisu fizycznego



Postać

transmitancji

operatorowej

stanowi

kryterium klasyfikacji elementów automatyki

Właściwości transmitancji

14

Modelowanie w przestrzeni
stanów



Stan układu dynamicznego

Stan układu dynamicznego

to najmniejszy zbiór

zmiennych

zmiennych

stanu

stanu

takich, że ich znajomość w chwili

t = t

0

,

wraz ze znajomością sygnału wejściowego

u(t)

dla

t 



 t

0

w pełni określa zachowanie układu w każdej chwili

t 



 t

0

,



Wektor stanu

Wektor stanu

określa jednoznacznie stan

x(t)

układu

w każdej chwili

t 



 t

0

, gdy tylko stan przy

t=t

0

jest dany

i określony jest sygnał wejściowy

u(t)

dla

t 



 t

0

,



Przestrzeń stanów

Przestrzeń stanów

to n-wymiarowa przestrzeń, w której

każdy stan może być przedstawiony przez punkt w tej
przestrzeni.

15

Dynamika układu

Dynamika układu

Stan x(t)

Dynamika układu

Dynamika układu

Stan

x(t)

Wejście

u(t
)

Wyjście

y(t
)

Warunki
początkow
e

x(0
)

Dynamika układu

W układach fizycznych zmiennymi stanu

x(t)

są takie

wielkości fizyczne jak: napięcie, prąd, ładunek,
prędkość, pozycja, temperatura, ciśnienie, objętość
itp.

16



Liczba zmiennych stanu, które w pełni określają własności
dynamiczne układu jest równa liczbie elementów, które
są zdolne magazynować energię w układzie (np.
sprężyna, tłumik, pojemność, indukcyjność) lub rzędowi
równania różniczkowego opisującego wspomniany układ,



Stosując metodę zmiennych stanu można przedstawić
równanie różniczkowe n-tego rzędu (opisujące model
układu) jako n równań różniczkowych pierwszego
rzędu

Własności metody zmiennych
stanu

17

Dla układu pierwszego rzędu

Dla układu pierwszego rzędu

Zlinearyzowana postać równania stanów i równania

wyjść

w postaci wektorowo-macierzowej jest następująca

 

 

 

 

 

 















t

t

t

t

t

t

Du

Cx

y

Bu

Ax

x

Równania przestrzeni
stanów

Schemat blokowy liniowego układu sterowania w przestrzeni

stanów

D

D

A

A

B

B

dt

dt

C

C

u(t

u(t

)

)

x(t

x(t

)

)

x(t

x(t

)

)

y(t

y(t

)

)

+

+

+

+

.

18

Dla układu rzędu n

Dla układu rzędu n

 

 

 

 

 

 















t

t

t

t

t

t

u

D

x

C

y

u

B

x

A

x

Równania przestrzeni
stanów

gdzie:

A

–

macierz stanu n×n

B

–

macierz wejścia (sterowania) n×r

C

–

macierz wyjścia (odpowiedzi) m×n

D

–

bezpośrednia macierz transmisji m×r

n – ilość stanów, r – ilość wejść, m – ilość wyjść

x(t)

–

wektor stanu, u(t)

–

wektor wejść, y(t)

–

wektor wyjść

19

Przykład 1.

Układ

wibroizolacji

F(t) – wejście (siła zewnętrzna)
h(t) – wyjście (przemieszczenie masy)

 

 

 

 

t

F

t

kh

t

h

c

t

h

m





 



 

 













1

2

1

x

t

h

x

t

h

x





– zmienne stanu

F(t)

u 

– zmienna wejściowa

Zamiana
zmiennych

– zmienna wyjściowa

h(t)

y 

20



















u

m

x

m

c

x

m

k

x

x

x

1

2

1

2

2

1





Równanie wyjść ma
postać

1

x

y 

 

 

h(t)

m

k

(t)

h

m

c

t

F

m

1

t

h











Zastępujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu
układem dwóch równań pierwszego rzędu

u

m

x

x

m

c

m

k

x

x





























































1

0

1

0

2

1

2

1























2

1

0

1

x

x

y

W postaci wektorowo-macierzowej równania stanów i
wyjść mogą być zapisane jako

Przykład 1.

Układ

wibroizolacji

21

Schemat blokowy układu
wibroizolacji





















m

c

m

k

A

1

0





0

1



C

















m

B

1

0

Przykład 1.

Układ

wibroizolacji

22

Zależność pomiędzy

równaniami stanu

i wyjścia

a

transmitancją

operatorową, dla układu z jednym

wejściem
i jednym wyjściem





BU(s)

A

sI

X(s)

1





















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

DU

s

CX

s

Y

s

BU

s

AX

s

sX





DU(s)

BU(s)

A

sI

C

Y(s)







 1

Przekształcając

Równania stanu 

Transmitancja

 





D

B

A

sI

C

U(s)

Y(s)

s

G









 1

 





D

B

A

sI

C

U(s)

Y(s)

s

G









 1

23

Linearyzacja



Model

matematyczny

układu

jest

zawsze

przybliżeniem rzeczywistego charakteru zjawisk
fizycznych w nim zachodzących,



Równania otrzymane w modelu najczęściej są
równaniami nieliniowymi,



Ze względu na łatwość analizy dąży się do zastąpienia
równań nieliniowych równaniami liniowymi,



Linearyzacja

Linearyzacja

jest procesem tworzenia modelu

liniowego, który aproksymuje model nieliniowy.

24

Charakterystyki statyczne elementów nieliniowych

w y

w e

w y

w e

w y

S tr e f a n ie c z u ło ś c i

N a s y c e n ie

N ie lin io w o ś ć k w a d r a to w a

w e

Linearyzacja

25

Linearyzacja statyczna polega
na:



przeniesieniu układu współrzędnych do punktu pracy,



zastąpieniu sygnałów w opisie matematycznym
odchyleniami tych wartości w punkcie pracy,



zastąpieniu krzywej, reprezentującej zależności y od
x, styczną do niej w punkcie pracy.

26

Niech y = f (x)

0

0

y

y

y

x

x

x













 

 

x

dx

x

df

y

dx

x

df

k

x

k

y

x

x

x

x



















0

0

Linearyzacja
statyczna

27

Przykład 2.

Linearyzacja funkcji y = x

2

y

Y

y

Y

Y

i

i













x

X

Y

Y

i

i

2





 

x

X

x

X

dX

d

x

dX

dY

y

i

i

y

i

x

i

y

i

x

2

)

,

(

)

,

(

2







)

(

, i

i

y

x

dX

dY

x

y



- nachylenie w

punkcie (X

i

,

Y

i

),

Wybieramy punkt pracy (X

i

, Y

i

) i rysujemy styczną do

krzywej w tym punkcie.

28

Linearyzacja dynamiczna

Linearyzacja dynamiczna polega na rozwinięciu
nieliniowych funkcji w szereg Taylora

szereg Taylora

w otoczeniu

punktu pracy.

 

 

0



)

u

,

,

u

,

u

,

y

,

,

y

,

y

(

F

m

n













 





 

0

0

0

0

0

,

,























n

m

u

y

m

u

y

R

u

u

F

u

u

F



 

 

















 





 



























n

u

,

y

n

u

,

y

u

,

y

0

0

m

n

Δy

y

F

y

Δ

y

F

Δy

y

F

u

,

y

F

u

,

u,

,

y

,

y,

F

0

0

0

0

0

0











29

Można przyjąć R

n

= 0 dla niewielkich przyrostów

 

 

 

u

b

u

b

u

b

y

a

y

a

y

a

y

a

m

m

n

n

n

n



































0

1

0

1

1

1

















 





 





 





 

0

Δu

u

F

Δu

u

F

Δy

y

F

y

Δ

y

F

Δy

y

F

m

u

,

y

m

u

,

y

n

u

,

y

n

u

,

y

u

,

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0













































Linearyzacja
dynamiczna

Dla

układu

stacjonarnego

w

punkcie

pracy

odpowiadającym

stanowi

równowagi,

pochodne

cząstkowe występujące w równaniu są stałe

30

Przykład 3.

Wahadło

proste

M

Θ

mgl

Θ

I





sin



2

sin

ml

M

Θ

l

g

Θ







2

ml

M

Θ

l

g

Θ







Zakładając, że dla małych
kątów

sin



l

g





-

częstości drgań

własnych

2

ml

I 

-

moment

bezwładności
względem osi obrotu

M -

przyłożony

moment
zewnętrzny

31

Przykład 4.

Obwód elektryczny

:

rezystor + cewka z rdzeniem

 

const

k

i

k

i

Ψ







,

 

t

u

t

i

R

R

dt

t

dΨ

d







)

(

)

(

)

(

 

  

    

t

u

t

i

R

R

dt

t

di

t

i

k

d







2

     

0

,

,











t

u

dt

t

di

t

i

F

Powyższe równanie nieliniowe zapisujemy w postaci
ogólnej

32

Przyjmujemy punkt pracy ustalonej przy napięciu u

0

i prądzie i

0





d

i

u

R

R

i

F





















0

0

,





0

,

2

0

0

i

k

dt

di

F

i

u



































1

0

0

,





















i

u

u

F













0

0

0

0

0

0

0

,

,

,









































































u

u

F

dt

di

dt

di

F

i

i

F

i

u

i

u

i

u





u

dt

di

i

k

i

R

R

d













0

2

Przyjmując oraz otrzymujemy liniowe
równanie różniczkowe

i

i 



u

u 







u

i

R

R

dt

di

i

k

d









0

2

Po
podstawieniu

33

Modele układów
elektrycznych

Modele układów elektrycznych budujemy przede wszystkim w
oparciu o prawo Ohma i prawa Kirchhoffa.

dt

du

C

i 



Rezystor

i

R

u





dt

di

L

u



Pojemność



Indukcyjno

ść

L

i

C

i

R

i

34

2

1

u

dt

di

L

Ri

u







dt

du

C

i

2



2

2

2

dt

u

d

C

dt

di



2

2

2

2

2

1

u

dt

u

d

LC

dt

du

RC

u







2

2

1

2

1

1

u

LC

u

L

R

u

LC

u











Stosujemy II prawo
Kirchhoffa

Przykład 5.

Obwód elektryczny RLC

35













1

2

2

2

1

x

u

x

u

x





















1

2

2

2

1

1

1

x

LC

x

L

R

u

LC

x

x

x





u

LC

x

x

L

R

LC

x

x





























































1

0

1

1

0

2

1

2

1























2

1

0

1

x

x

y

2

0

0

2

2

0

2

)

(













s

s

k

s

G

Równanie stanu i równanie
wyjścia

Transmitancja operatorowa

L

C

R

LC

k

2

1

,

1

0











Przykład 5.

Obwód elektryczny RLC

36

Modele układów elektromechanicznych

Przykład 6.

Silnik prądu stałego

obcowzbudny,

sterowany od strony wirnika

U - napięcie zasilające (we)
 - położenie kątowe wału silnika

(wy)
J - moment bezwładności
b – współczynnik tarcia lepkiego































i

k

T

k

e

T

b

J

e

U

Ri

dt

di

L

1

2













- równanie dynamiki wału silnika

- równanie spadków napięć w

obwodzie wirnika

- siła elektromotoryczna

- moment mechaniczny silnika

37

transmitancja

Js)

sL)(b

(R

k

k

k

U(s)

(s)

G(s)

1

2

1































i

k

b

J

k

U

Ri

dt

di

L

1

2













- model silnika prądu stałego

Dla , gdzie  - prędkość kątowa wału silnika









u

L

x

x

L

R

L

k

J

k

J

b

x

x

1

0

2

1

2

1

2

1





























































































2

1

0

1

x

x

y

Równanie stanu i wyjścia dla zmiennych stanu

i

x

x





2

1

,



Przykład 6.

Silnik prądu stałego

sterowany od strony wirnika

38

Modelowanie układów cieplnych i
przepływowych

Przepływ ciepła

)

T

T

(

R

q

2

1

1







Energia cieplna przepływająca przez ciało jest
wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i
otoczenia, zgodnie ze wzorem

q - przepływ energii cieplnej
[J/s]
R - opór cieplny [C/Js]

T - temperatura [C]



Dopływ energii cieplnej do ciała wpływa na jego
temperaturę, zgodnie z relacją

q

C

dt

dT





1

C - pojemność cieplna
[J/C]

39

Przykład 7.

Dynamiczny model zjawisk

cieplnych w pokoju

Ci - pojemność cieplna powietrza wewnątrz
pokoju
To - temperatura otoczenia,
Ti - temperatura w pokoju
R1 - opór cieplny ścian pokoju
R2 – łączny opór cieplny sufitu i podłogi
pokoju





i

o

i

i

T

T

R

R

C

dt

dT























2

1

1

1

1

Ciepło właściwe c

v

przy stałej objętości jest

przeliczane na pojemność cieplną C

V

c

m

C





40

Przewodność cieplna k, która jest związana z oporem
cieplnym R, określona jest zależnością

l

A

k

R





1





o

i

v

T

T

c

dt

dm

q









A

- pole

przekroju

poprzecznego
l - długość drogi przepływu
ciepła

dt

dm

- szybkość przepływającej

masy

powietrza

o

temperaturze

T

i

wypływającej na zewnątrz
pokoju o temperaturze T

o

.

Przykład 7. Dynamiczny model zjawisk
cieplnych w pokoju

Sumaryczny przepływ energii opisuje wymianę
ciepła, która może zachodzić pomiędzy masą ciepłą a
zimną. W takim przypadku:

41

Przepływ cieczy nieściśliwych

Równanie bilansu natężenia przepływu płynu
wynika z zasady zachowania masy

wy

we

q

q

dt

dm





gdzie:
m – masa cieczy wewnątrz opisywanego
układu
q

we

– masowe natężenie przepływu na wejściu

układu
q

wy

– masowe natężenie przepływu na wyjściu

układu

42

Przykład 8.

Zbiornik z

wodą

h

q

w e

q

w y

c iś n ie n ie p

1





wy

we

q

q

A

dt

dh







1

gdzie:

A – powierzchnia zbiornika



– gęstość wody

h = m/A



- wysokość słupa

wody

m – masa wody w zbiorniku

43

P

R

F

Q

h

P

1

ciecz

Przykład 9.

Napełnianie zbiornika

cieczą

Objętościowe natężenie przepływu cieczy Q przez opór

hydrauliczny R

F

)

p

p

(

R

Q

F





1

1

dt

dh

A

Q 

p

1

- ciśnienie zasilania

p - ciśnienie w
zbiorniku
R

F

- opór hydrauliczny

Jest ono równe zmianie objętości cieczy w
zbiorniku

A - powierzchnia przekroju
zbiornika

44

dt

dp

g

A

dt

dh

A

p

p

R

F











)

(

1

1

F

C

g

A







- pojemność

hydrauliczn
a

1

p

p

dt

dp

R

C

F

F





Ciśnienie hydrostatyczne cieczy

można wyrazić jako

h

g

p









Równanie opisujące proces napełniania
zbiornika

Przykład 9.

Napełnianie zbiornika

cieczą



- gęstość cieczy

g - przyspieszenie

ziemskie

45

g a z

P

P

1

R

F

Q

m

V

T

Przykład 10.

Napełnianie zbiornika

gazem

Równanie stanu gazu





p

p

R

Q

F

m





1

1

GRT

pV 

dt

dp

RT

V

dt

dG

Q

m





G – masa gazu
T – temperatura gazu
V – objętość gazu
R

F

– stała gazowa

RT

V

C

F



1

p

p

dt

dp

R

C

F

F





Masowe natężenie przepływu

46

Postacie matematycznych

modeli liniowych systemów

dynamicznych

 

 

 

 

 

 

t

u

b

dt

t

u

d

b

dt

t

u

d

b

t

y

a

dt

t

y

d

a

dt

t

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

,...,

,...,





























 

 

 

 

 

 















t

Du

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x



Równanie różniczkowe

Równania stanu i wyjścia

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m





























Transmitancja operatorowa

47

Związki pomiędzy poszczególnymi

postaciami modeli

Równanie

różniczkowe

Równanie

różniczkowe

Transmitancja

operatorowa

Transmitancja

operatorowa

Równania

stanu i wyjścia

Równania

stanu i wyjścia

48

Elementy

wielowymiarowe

określa

macierz

transmitancji, na przykład

 

 

 

 

 

 

 















































s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

nm

n

m

m

1

2

1

12

11

- przy

założeniu,

że

wszystkie

pozostałe

wartości

wejściowe

i

warunki początkowe są
równe zero

 

 

 

s

X

s

Y

s

G

k

i

ik



Transmitancja operatorowa

49

Równania przestrzeni
stanów

układ dynamiczny może być opisany równaniami
różniczkowymi

 





 





 





t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

t

x

r

n

n

n

r

n

r

n

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1































Zakładając, że

u

1

(t),u

2

(t),...,u

r

(t) –

sygnały

wejściowe
y

1

(t),y

2

(t),...,y

m

(t) –

sygnały

wyjściowe
x

1

(t),x

2

(t),...,x

n

(t) –

zmienne

stanu

50

Sygnały wyjściowe

 

 

 

 

















































































































t

u

u

u

x

x

x

f

t

u

u

u

x

x

x

f

t

u

u

u

x

x

x

f

t

,

t

x

t

x

t

x

t

r

n

n

r

n

r

n

n

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1













u

x

f

x

 





 





 





t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

t

;

u

,

,

u

,

u

;

x

,

,

x

,

x

g

t

y

r

n

m

m

r

n

r

n













2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1













Równania przestrzeni
stanów

Definiują

c

51

 

 

 

 

















 

 

 

 

















































































































































t

u

t

u

t

u

t

t

u

u

u

x

x

x

g

t

u

u

u

x

x

x

g

t

u

u

u

x

x

x

g

t

t

y

t

y

t

y

t

r

r

n

m

r

n

r

n

m

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

;

,

,

,

,

,

,

u

u

x

g

y













równania przybierają
postać

oraz

–

równanie

równanie

stanów

stanów

–

równanie

równanie

wyjść

wyjść

 





t

t

,

,u

x

f

x 



 





t

t

,

,u

x

g

y 

Równania przestrzeni
stanów

52

Po linearyzacji wokół wybranego punktu pracy,
równania te można zapisać w postaci

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















































































































































































































































t

u

t

u

t

u

d

d

d

d

t

x

t

x

t

x

c

c

c

c

c

c

c

c

c

t

y

t

y

t

y

t

u

t

u

t

u

b

b

b

b

t

x

t

x

t

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

t

x

t

x

t

x

r

mr

m

r

n

mn

n

m

m

m

m

r

nr

n

r

n

nn

n

n

n

n

n























































2

1

1

1

11

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

2

1

1

1

11

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

Równania przestrzeni
stanów