Redukcja wyników

Redukcja wyników

pomiarów geodezyjnych

pomiarów geodezyjnych

na powierzchnię

na powierzchnię

odwzorowawczą

odwzorowawczą

.

.

Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne

Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne

i astronomiczne :

i astronomiczne :
•

długości boków;

•

kątów poziomych i pionowych;

•

długości i szerokości geograficzne czy
azymuty astronomiczne wykonywane są na
fizycznej powierzchni Ziemi.

Obliczenia :

•sieci triangulacyjnych;

•sieci trilateracyjnych;

•poligonizacji precyzyjnej, wykonywane są na
elipsoidzie odniesienia.

Dlatego też należy

wprowadzić redukcje do
wielkości obserwowanych,
aby elementy sieci
wyrównać na elipsoidzie.

Sposoby redukcji obserwacji z

Sposoby redukcji obserwacji z

powierzchni Ziemi do elipsoidy:

powierzchni Ziemi do elipsoidy:

•

metoda rozwijania

– elementy zredukowane z

powierzchni Ziemi na geoidę uważa się za równe

elementom na elipsoidzie – elementy te redukuje się

bezpośrednio na elipsoidę. Kolejność redukcji podana

została przez Helmerta.

•

metoda rzutowania

– w pierwszym etapie redukcji

elementy rzutuje się, po liniach pionu w rzeczywistym

polu siły ciężkości, z fizycznej powierzchni Ziemi na

geoidę, a następnie po normalnych na powierzchnię

elipsoidy odniesienia. Niezbędna jest tu znajomość

odstępów geoidy od elipsoidy, a także rozkład mas w

warstwie między geoidą i powierzchnią Ziemi. Są to

redukcje w systemie Pizzettiego.

Redukcja elementów liniowych sieci na

Redukcja elementów liniowych sieci na

elipsoidę odniesienia:

elipsoidę odniesienia:

Rys. 1.

Objaśnienia do rys.1:

Objaśnienia do rys.1:

•

punkty P i K

- końce bazy (boku) o długości L’;

•

punkty P’ i K’

- rzuty normalne końców bazy na

elipsoidę odniesienia odległe od siebie o długość
linii geodezyjnej ;

•

dl’

i

- element długości obserwowanej;

•

dl

i

- rzut elementu długości obserwowanej na

elipsoidę odniesienia;

•

Hi

- wysokość elementu dl’

i

nad geoidą;

•

N

i

- odstęp geoidy od elipsoidy dla elementu dl’

i;

_

L

Długość rzutu elementu na elipsoidę :



















A

i

i

i

i

R

N

H

dl

dl

1

'

gdzie

R

A

– promień krzywizny przekroju normalnego elipsoidy w

azymucie boku.

Niech średnia wysokość bazy nad poziom geoidy wynosi H

S

, N

S

średni

odstęp geoidy. Można również przyjąć kulisty kształt elipsoidy
odniesienia. Dla długości otrzymamy :











































A

S

S

i

A

S

S

i

R

N

H

L

dl

R

N

H

dl

L

1

'

'

1

'

_

'

_

L

Długość wymaga poprawki ze względu na odchylenia pionu w
punktach końcowych boku. Rzuty pionowe końców bazy na geoidę to
punkty

K

0

i P

0

,a rzuty normalne na elipsoidę to i

'

_

L

__

P

__

K

Składowe względnych odchyleń pionu w azymucie bazy -



AP

oraz



AK

.

Z

rysunku 1 wynikają zależności:

AK

K

AP

P

H

K

K

H

P

P









'

;

'

0

0

Ponieważ wielkości

P

0

P’ i K

0

K’

są bardzo małe, odstępy geoidy w

stosunku do R

A

są bardzo małe, można przyjąć że:

K'

K

K

K

;

P'

P

'

P

P

0

_

0

_

_





Długość zredukowaną oblicza się z wzoru:





AK

K

AP

p

A

S

A

S

H

H

R

N

L

R

H

L

L

L

















'

'

'

_

Gdzie:

• pierwszy składnik to redukcja bazy na geoidę ;
• drugi to redukcja długości z geoidy na elipsoidę;
• trzeci to redukcja ze względu na odchylenia.

Redukcja szerokości i długości

Redukcja szerokości i długości

astronomicznej:

astronomicznej:

Rys. 2 .

Obserwowane wielkości szerokości

’

długości

‘

geograficznych określają kierunek styczny do linii pionu na

powierzchni Ziemi. Elementy wchodzące do obliczenia sieci

podstawowych powinny odnosić się do punktów na powierzchni

geoidy. Astronomiczną szerokość

’

i długość

’

redukujemy więc

do geoidy uwzględniając krzywiznę linii pionu na tym odcinku.

Wyrażenia na kąt zawarty między stycznymi do linii pionu w

punkcie

P

na powierzchni Ziemi i w punkcie

P

0

na geoidzie:

XZ

X

W

g

H







Ponad to z rys.2 .:

x

g

g

H









_

_



Wartość jest wartością przeciętną dla odcinka

PP

0

,

wysokość

H

jest ortometrycznym wzniesieniem punktu

P

ponad geoidę.

_

g

Podobnie rzutując rozważany odcinek linii pionu

PP

0

na

płaszczyznę równoleżnika; otrzymamy analogiczne wyrażenie na
redukcję obserwowanej długości geograficznej do geoidy:

y

g

g

H

y

y











_

_

gdzie

;

'

sec









Dla modelu pola ciężkości właściwego systemowi wysokości
ortometrycznych :





 

H

y

g

H

x

g

H

'

sec

00021

'

'

,

0

00021

'

'

,

0

'

2

sin

000171

'

'

,

0

_

_































W systemie wysokości normalnych wartości redukcji równe są
odpowiednio:





0

'

2

sin

000171

'

'

,

0













N

H

Wzory dotyczące redukcji z geoidy na elipsoidę

odniesienia wynikają z wzorów na względne odchylenia pionu

:









ag

i

i

a

i

ag

i

a

i

ag

L

L

B

B















cos





















Ostatecznie szerokość geodezyjna

B

i długość

L

wyrażą się

jako:

L

L

B

B

























'

'

Redukcja azymutu

Redukcja azymutu

astronomicznego :

astronomicznego :

W myśl zasady rzutowania w procesie redukcji

azymutu wyróżnia się następujące etapy:

1.

określenie skręcenia płaszczyzny południka

astronomicznego i wertykału ze względu na przejście

od kierunku linii pionu w punkcie na powierzchni Ziemi

P do kierunku tej linii w punkcie

P

0

na geoidzie, czyli

uwzględnienie wpływu krzywizny linii pionu na azymut

kierunku

PK

;

2.

uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie

P

0

na

geoidzie;

3.

uwzględnienie wichrowatości normalnych do

elipsoidy odniesienia w

P

0

i K

;

4.

uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie

K

0

na

geoidzie;

5.

redukcja kierunku

P

0

K

0

na elipsoidę odniesienia ze

względu na skręcenie wertykału

P

0

K

0

względem

przekroju normalnego elipsoidy.

Ad.1.

Rys. 3.

Oznaczenia:

•

Z

a

– zenit astronomiczny

dla punktu na powierzchni
Ziemi;

•

Z

0

a

– zenit

astronomiczny dla punktu
na geoidzie;

•

 ‘

– obserwowana

wartość azymutu;

•

koło wielkie Z

a

BH

B

’

–

południk astronomiczny;

•

koło wielkie Z

a

KH

K

’

–

wertykał punktu K;

•



– odchylenie zenitu

astronomicznego punktu
P-Z

a

od zenitu punktu P

0

-

Z

0

a

(spowodowane

krzywizną linii pionu na
odcinku PP

0

;

•



- składowe .

Wpływ skręcenia południka wynosi:

















cos

'

gdzie

;













tg

p

Skręcenie wertykału w rzucie na powierzchnię poziomą w

P

:





'

'

'

cos

'

sin

































gdzie

tgh

H

Z zależności azymutu

’

obserwowanego i azymutu



0

’

odniesionego

do zenitu

Z

0

a

mamy:

H

p 







 '

'

0





Ad.2.

Oznaczenia:

•



P

– względne odchylenie

pionu w punkcie P

0;

• płaszczyzna wertykału
zdefiniowana przez prostą

PP

0

i punkt (cel)

K

–

przecina ona oś elipsoidy w
punkcie

E

P

;

•

K

1

– punkt przebicia

geoidy prostą KE

P

;

•

P

0

K

1

– wertykał o

azymucie



0

’

;

•

K

0

– rzut normalny

punktu K na geoidę przy
czym KK

0

– wichrowate

względem PP

0;

•



0

azymut

astronomiczny kierunku
P

0

K

0

Różnicę (







’) znajduje się jako różnicę kierunków wertykałów

astronomicznych przeprowadzonych przez punkty K

0

i K

1.

Rys. 4.

Pierwszy etap to uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie

P

0

na

kierunek południka

1 wertykału P

0

K

1

.

Normana do elipsoidy w punkcie

P

0

przecina oś elipsoidy w punkcie

N

P

i tworzy kąt równy odchyleniu pionu



P

z

prostą

PP

0

. Prosta KN

P

przebija geoidę w punkcie

K

2

. Kąt

K

1

P

0

K

2

stanowiący

część kąta

K

1

P

0

K

0

, znajdziemy w oparciu o rys. 5 . Szukany kąt to



, czyli

kąt

H

K

g

P

0

H

K

a

. Płaszczyźnie

P

0

N

P

K

pokazanej na rys. 4 odpowiada łuk koła

Z

g

KH

K

a

na rys. 5.

Rys. 5.

Odchylenie pionu

Q

P

rozkładamy na składowe



P

i



P

.

Wpływ odchylenia pionu określa się podobnie jak
poprzednio kąt

(

0

’-’)

:





tgh

P

P

'

cos

'

sin

0

0



















Kąt

h

oznacza wysokość celu ponad horyzontem punktu

P

0

. Wartość kąta



zależy od wysokości punktu

K

ponad

geoidę. Jeżeli

s

oznacza odległość

P

0

K

0

w przybliżeniu

równe

P

0

K

1

to :

s

H

h

tg

K



Natomiast wpływ odchylenia pionu



P

na kierunek

południka w procesie przejścia od płaszczyzny południka
astronomicznego na geoidzie w punkcie P

0

do płaszczyzny

południka geodezyjnego (elipsoidalnego) przedstawia kąt

P

na

rys. 5 . Analogicznie jak w punkcie 1 możemy otrzymać:









tg

tg

A

p

P

P





sin

Zatem redukcja azymutu na geoidzie ze względu na
astronomiczno-geodezyjne odchylenie pionu w

P

0

wyniesie:

'

0

p

G















gdzie



G

jest azymutem liczonym od południka geodezyjnego

na geoidzie do kierunku

P

0

K

2.

Równanie to nosi nazwę

równania Laplac’e.

Ad.
3.

Rys. 6.

Poprowadzona z

punktu

K

(celu)

normalna do elipsoidy
odniesienia przebija
geoidę w punkcie

K

3

.

Punkt

N

K

to punkt

przecięcia się tej
normalnej z osią obrotu
elipsoidy. Miarą
wichrowości normalnych
do elipsoidy
poprowadzonych z
punktu

K

i

P

0

jest

odcinek

N

P

N

K

.

Z geometrii elipsoidy obrotowej z wystarczającą
dokładnością można przyjąć że:









śr

P

K

P

K

P

K

ae

ae

N

N











cos

sin

sin

2

2









gdzie:

a

– równikowa półoś elipsoidy ;

e

2

– mimośród

elipsoidy.

Z kolei, ponieważ odległość jest stosunkowo niewielka w
porównaniu z półosią elipsoidy

:











cos

cos

oraz

cos

2

Śr

P

K

P

K

s

e

N

N

a

s







Z trójkąta płaskiego

N

P

N

K

K

przy założeniu

:

a

K

N

P



P

K

P

K

N

N

a

H

K

K



cos

3

2



Z kolei szukaną wartość kąta



znajdujemy z zależności





sin

3

2

s

K

K



Ostatecznie otrzymamy :







2

sin

cos

2

2

2

K

H

a

e



Ad. 4.

Kąt

K

3

P

0

K

0

to wpływ odchylenia pionu w punkcie

K

0

na

geoidzie. Odcinek

K

3

K

0

wyznaczymy na podstawie

wartości



K

i wysokości

H

K

punktu

K

(celu) ponad geoidą.

Z rys. 6. wynika:

K

0

K

3

=H

K



K

.

Natomiast kąt

K

3

P

0

K

0

otrzymamy ze wzoru:













cos

sin

0

0

3

K

K

K

s

H

K

P

K





Zastąpienie tak w równaniu na



z punktu 3 jak i w

równaniu na kąt

K

3

P

0

K

0

wartości 

0

przez a czy ’ nie

spowoduje większych błędów ze względu małe wartości
poprawek. Łatwo zauważyć, że gdy cel K leży na poziomie
morza to zarówno

, 

jak i kąt

K

3

P

0

K

0

są równe zeru.

Reasumując dotychczasowe rozważania na temat

redukcji azymutu stwierdzamy, że zmiana azymutu na
geoidzie, czyli kąt

(

0

’-’)

wyniesie:

Sytuacja na tym etapie przedstawia się następująco

:punkt

P

0

(stanowisko) i

K

0

(cel) leżą na geoidzie, a

krawędzią kąta dwuściennego (azymutu) jest normalna do
elipsoidy odniesienia. Płaszczyzną początkową liczenia
azymutu jest południk astronomiczny na geoidzie.

































2

sin

cos

2

cos

sin

'

2

2

0

0

K

P

K

P

K

K

H

a

e

s

H













przy założeniu że tg h=H

K

/s.

Ad. 5.

Rys. 7.

Poprawka azymutu

astronomicznego ze
względu na przejście od
powierzchni geoidy na
powierzchnię elipsoidy
odniesienia wynika jedynie
ze skręcenia wertykału

P

0

K

0

do

P’’K’’

.

Na rys. 7. :

•

P’’

i

K’’

- rzuty punktów

P

0

i

K

0

na powierzchnię

elipsoidy;

•

N

P

- punkt przecięcia

normalnej do elipsoidy w
punkcie

P

0

z osią elipsoidy;

•

K’

jest punktem

przebicia powierzchni
elipsoidy prostą

K

0

N

P

.

•

P

0

K

0

i

P’’K’ -

linie

leżące w płaszczyźnie tego
samego przekroju
normalnego.

Zatem azymut astronomiczny kierunku

P’’K’

wynosi



0

.

Zredukowana wartość azymutu astronomicznego



kierunku

P’’K’’ różni się od azymutu





o kąt

K’P’’K’’

. Jest on

spowodowany wichrowatością normalnych do elipsoidy
odniesienia

P

0

P’’

i

K

0

K’’

. Zatem różnica

(



)

wyniesie:













2

sin

cos

2

''

''

'

2

2

0

N

a

e

K

P

K







gdzie:

N

– odstęp geoidy od elipsoidy w pkt

K

0

.

Całkowita redukcja azymutu
astronomicznego :

























































2

sin

cos

2

cos

sin

cos

sin

'

2

2

N

H

a

e

s

H

tgh

tg

K

P

K

P

K

K





























Redukcja kierunku i kąta poziomego:

Redukcja kierunku i kąta poziomego:

Redukcja kierunku pomierzonego na powierzchni Ziemi
na elipsoidę wynika ze skręcenia płaszczyzny wertykału
w kolejnych etapach rzutowania. Jeżeli

’

oznacza

kierunek obserwowany

PK

,



kierunek zredukowany

P’’K’’

na elipsoidę odniesienia, to redukcja kierunku w

terenie płaskim wyrazi się wzorem:









































2

sin

cos

2

cos

sin

'

2

2

N

H

a

e

s

H

K

P

K

P

K

K















Redukcja kąta zaobserwowanego na stanowisku do
powierzchni elipsoidy odniesienia równa jest różnicy
redukcji odpowiednich kierunków.

Redukcja odległości

Redukcja odległości

zenitalnej:

zenitalnej:

• 90

0

-h

a

- obserwowana odległość zenitalna (astronomiczna);

•

90

0

-h

g

- zredukowana odległość zenitalna (geodezyjna) odniesiona do

elipsoidy;

•

Z

g

Z

a

- względne odchylenie pionu;

•

 ’

- azymut obserwowany na geoidzie (kierunku P

0

K);

• 

- azymut zredukowany ze względu na odchylenie pionu.

Rys. 8.

Wyprowadzany zostanie wzór ujmujący wpływ odchyleń pionu
na pomierzoną odległość zenitalną. Pominięta została tutaj
kwestia przejścia z powierzchni Ziemi na powierzchnię geoidy.
Wartość redukcji z tego tytułu jest nieporównywalnie mała w
porównaniu z błędami pomiaru kąta pionowego.

Z trójkąta sferycznego

KZ

g

Z

a

:



















cos

sin

sin

cos

cos

cos

g

g

a

z

z

z

Ponieważ wartość



jest mała, więc:





























cos

sin

cos

cos

:

zatem

cos

;

sin

g

g

a

z

z

z

Po dokonaniu przekształcenia













g

g

a

g

g

a

g

a

z

z

z

z

z

z

z

z

sin

cos

cos

cos













otrzymamy:

















cos

ag

g

a

z

z

Korzystając z zależności całkowitego odchylenia
pionu



i jego składowych



ag

i



ag

otrzymamy:

PK

ag

PK

ag

g

a

z

z









sin

cos







