C 01

1

2010

ILOCZYNY WEKTORÓW

cos ( , )

a b ab

a b

� =

r

r

r

r

S

 Iloczyn skalarny dwu
wektorów:

(

) (

)

x x

y y

z z

x x

y y

z z

x x

y y

z z

a b

a i

a i

a i

b i

b i

bi

a b a b a b

� =

+

+

�

+

+

=

+

+

r

r

r

r

r

r

r

r

• W kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych:

 Iloczyn skalarny dwu wektorów w układzie
współrzędnych
cylindrycznych ρ, φ, z:

(

) (

)

z z

z z

a b

a i

a i

a i

b i

b i

bi

r r

j j

r r

j j

� =

+

+

�

+

+

r

r

r

r

r

r

r

r

i

a b

r

r

z z

a b a b

a b

a b

r r

j j

� =

+

+

r

r

 Iloczyn skalarny dwu wektorów w układzie
współrzędnych
sferycznych r, θ, φ :

(

) (

)

r r

r r

a b

a i

a i

a i

bi

b i

b i

q q

j j

q q

j j

� =

+

+

�

+

+

r

r

r

r

r

r

r

r

i

a b

r

r

r r

a b a b a b

a b

q q

j

j

� =

+

+

r

r

C 01

2

2010

ILOCZYNY WEKTORÓW (2)

|

|

sin ( , )

a b ab

a b

� =

r

r

r

r

S

 Iloczyn wektorowy jest wektorem,
którego:

1. moduł wynosi

a b

�

r

r

2. kierunek jest prostopadły do płaszczyzny

rozpiętej na wektorach

i

a b

r

r

3. zwrot taki, że trójka uporządkowana ma taką

orientację jak przestrzeń, w której definiujemy iloczyn
wektorowy

, ,

a b a b

�

r

r

r

r

 Podstawowe własności iloczynu
wektorowego

• Podstawowe związki

(

)

a b

b a

� =-

�

r

r

r

r

0

a a

� =

r

r r

(

)

(

) 0

a a b

b a b

=

״ =

״

r

r

r

r r

r

(

)

(

)

ma b m a b

� =

�

r

r

r

r

(

)

a b c

a b a c

� + = � + �

r

r

r

r

r

r r

[(

) ]

(

)(

)

(

)

(

)

m n a b

m n a b

m a b

n a b

+

� =

+

� =

� +

�

r

r

r

r

r

r

r

r

C 01

3

2010

ILOCZYNY WEKTORÓW (3)

• Związki wyrażone przez wektory
bazy

1 2 3

, ,

i i i

r r r

1 1

2 2

3 3

a a i a i

a i

=

+

+

r

r

r

r

1 1

2 2

3 3

b bi b i

bi

=

+

+

r

r

r

r

2

3

3

1

1

2

1

2

3

1

2

3

i i

i i i i

a b

a

a

a

b

b

b

�

�

�

� =

r r r r r r

r

r

• Związki w kartezjańskich współrzędnych
prostokątnych

0

x

x

y

y

z

z

i

i

i

i

i i

� = � = � =

r

r r

r r

r r

x

y

z

i

i

i

� =

r r

r

z

x

y

i i

i

� =

r r

r

y

z

x

i

i

i

� =

r r

r

?

a b

� =

r

r

C 01

4

2010

ILOCZYNY WEKTORÓW (4)

x x

y y

z z

a a i

a i

a i

=

+

+

r

r

r

r

x x

y y

z z

b b i

b i

b i

=

+

+

r

r

r

r

x

y

z

y

z

x

y

z

x

x

y

z

x

y

z

y

z

x

y

z

x

x

y

z

i

i

i

a

a

a

a

a

a

a b a

a

a

i

i

i

b

b

b

b

b

b

b

b

b

� =

=

+

+

=

r

r

r

r

r

r

r

r

(

)

(

)

(

)

y z

z y

x

z x

x z

y

x y

y x

z

a b a b i

a b a b i

a b

a b i

=

-

+

-

+

-

r

r

r

• Wybrane, podstawowe tożsamości
algebraiczne

(

)

(

)

(

)

A B C

B C A

C A B

״ =

״ =

״

r

r

r r

r r

r

r

r

(

) (

)

(

)

A B C

C A B

A B C

� � = �

-

�

r

r

r r

r

r

r

r

r

C 01

5

2010

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH

x

y

z

i

q

r

r

i

r

r

j

i

j

r

q


Współrzędne
sferyczne
(r, θ, φ):

P

x

y

z

i

r

r

i

r

r

i

j

r

z

i

r

r

r

r

j

i

j

r

z

P


Współrzędne

cylindryczne
(ρ, φ, z):

 Współrzędne
prostokątne
(x, y, z):

x

y

z

y

i

r

x

i

r

z

i

r

r

r

y

z

P

x

x

y

z

r xi

yi

zi

=

+

+

r

r

r

r

cos

x r

j

=

sin

y r

j

=

z z

=

sin cos

x r

q

j

=

sin sin

y r

q

j

=

cos

z r

q

=

C 01

6

2010

TRANSFORMACJA WEKTORÓW

A

A i

r

r

= �

r r

• Obliczyć należy następujące iloczyny:

• Iloczyn skalarny wektora przez wersor to składowa tego wektora
w kierunku wersora.

• Powyższa cecha iloczynu skalarnego wektorów
pozwala

na

transformację

wektora

z

jednego

układu

współrzędnych

do

drugiego.

 Transformacja wektora
z współrzędnych prostokątnych do współrzędnych
cylindrycznych:

z z

A A i

A i

A i

r r

j j

=

+

+

r

r

r

r

x x

y y

z z

A A i

A i

A i

=

+

+

r

r

r

r

A

r

A

A i

j

j

= �

r r

C 01

7

2010

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (2)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

y

y

z z

A

A i

A i

A i

Ai

i

A i i

A i i

A i i

r

r

r

r

r

r

= � =

+

+

� =

� +

� +

�

r r

r

r

r r

r r

r r

r r

?

x

i i

r

� =

r r

?

z

i i

r

� =

r r

?

y

i i

r

� =

r r

i

r

r

i

j

r

j

x

y

j

1

1

?

?

x

y

i

i

i

r

=

+

r

r

r

C 01

8

2010

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (3)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

y

y

z z

A

A i

A i

A i

Ai i

A i i

A i i

A i i

r

r

r

r

r

r

= � =

+

+

� =

� +

� +

�

r r

r

r

r r

r r

r r

r r

(cos

sin

) cos

x

x

x

y

i i

i

i

i

r

j

j

j

� = �

+

=

r r

r

r

r

0

z

i i

r

� =

r r

(cos

sin

) sin

y

y

x

y

i i

i

i

i

r

j

j

j

� = �

+

=

r r

r

r

r

cos

sin

x

y

A

A

A

r

j

j

=

+

i

r

r

i

j

r

j

x

y

cos

x

i

j

r

sin

y

i

j

r

j

1

1

C 01

9

2010

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (4)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

y

y

z z

A

A i

A i

A i

A i

i

A i i

A i i

A i i

j

j

j

j

j

j

= � =

+

+

� =

� +

� +

�

r r

r

r

r r

r r

r r

r r

?

x

i i

j

� =

r r

?

z

i i

j

� =

r r

?

y

i i

j

� =

r r

?

?

x

y

i

i

i

j

=

+

r

r

r

i

r

r

i

j

r

j

x

y

cos

x

i

j

r

sin

y

i

j

r

j

1

1

C 01

10

2010

TRANSFORMACJA WEKTORÓW (5)

(

)

(

)

(

)

(

)

x x

y y

z z

x x

y

y

z z

A

A i

A i

A i

A i

i

A i i

A i i

A i i

j

j

j

j

j

j

= � =

+

+

� =

� +

� +

�

r r

r

r

r r

r r

r r

r r

( sin

cos

)

sin

x

x

x

y

i i

i

i

i

j

j

j

j

� = �-

+

=-

r r

r

r

r

0

z

i i

j

� =

r r

( sin

cos

) sin

y

y

x

y

i i

i

i

i

j

j

j

j

� = �-

+

=

r r

r

r

r

( sin )

cos

x

y

A

A

A

j

j

j

=

-

+

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

x

y

z

z

A

A

A

A

A

A

r

j

j

j

j

j

� � �

�� �

� � �

�� �

= -

� � �

�� �

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

i

r

r

i

j

r

j

x

y

cos

x

i

j

r

sin

y

i

j

r

j

sin

x

i

j

-

r

cos

y

i

j

r

1

1

C 01

11

2010

ANALIZA WEKTORÓW

1

1

1

1

2

3

2

2

2

3

3

3

( , , )

0

( , , )

u

u

u

x

y

z

u u u

u

u

u

J

x y z

x

y

z

u

u

u

x

y

z

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1

1

( , , ),

u

u x y z

=

 Operacje różniczkowe wektorowe we współrzędnych
krzywoliniowych

• W przestrzeni trójwymiarowej oprócz układu
współrzędnych
prostokątnych wprowadzamy układ krzywoliniowy za
pomocą
związków klasy C

1

2

2

( , , ),

u

u x y z

=

3

3

( , , )

u

u x y z

=

przy czym powyższy układ jest lokalnie odwracalny

1

2

3

( , , ),

x x u u u

=

1

2

3

( , , ),

y y u u u

=

1

2

3

( , , )

z z u u u

=

co wynika z założenia, że

C 01

12

2010

ANALIZA WEKTORÓW

1

1

1

,

,

,

x

y

z

u

u

u

� � �

�

�

�

�

� � �

�

�

• Wektory styczne do linii współrzędnych układu
krzywoliniowego
są następujące:

o długościach (zwanych współczynnikami
Lamégo):

2

2

2

,

,

,

x

y

z

u

u

u

� � �

�

�

�

�

� � �

�

�

3

3

3

,

,

x

y

z

u

u

u

� � �

�

�

�

�

� � �

�

�

2

2

2

1

1

1

1

x

y

z

h

u

u

u

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

2

2

2

2

2

2

2

x

y

z

h

u

u

u

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

2

2

2

3

3

3

3

x

y

z

h

u

u

u

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

C 01

13

2010

ANALIZA WEKTORÓW

• Zakładamy, że układ krzywoliniowy jest układem
ortogonalnym
o wektorach jednostkowych (wersorach) wektorów
stycznych

do

linii współrzędnych:

1 2 3

, ,

i i i

r r r

• Elementy skierowane we współrzędnych krzywoliniowych

d ,d

l s

r r

1

1 1

2

2 2

3

3 3

d

d

d

d

l

h ui

h u i

h u i

=

+

+

r

r

r

r

2 3

2

3 1

1 3

1

3 2

1 2

1

2 3

d

d d

d d

d d

s h h u u i

hh u u i

hh u u i

=

+

+

r

r

r

r

• Element objętości we współrzędnych krzywoliniowych

1 2 3

1

2

3

d

d d d

v hh h u u u

=

• Równanie linii sił pola

3

3

1

1

2

2

1

2

3

d

d

d

h u

h u

h u

A

A

A

=

=

gdzie

1 1

2 2

3 3

A Ai

A i

Ai

=

+

+

r

r

r

r

- pole wektorowe

C 01

14

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wyznaczanie składowych wektora w układzie
współrzędnych
prostokątnych gdy znamy współrzędne wektora w
układzie
współrzędnych krzywoliniowych

1

1

1

2

2

3

3

2

1

1

2

2

3

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

y

z

x

x

x

A

A

h u

h u

h u

y

y

y

A

A

h u

h u

h u

z

z

z

A

A

h u

h u

h u

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

=

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

� �

� � �

�

�

�

�

�

�

C 01

15

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wyznaczanie składowych wektora w układzie
współrzędnych
krzywoliniowych gdy znamy współrzędne wektora w
układzie
współrzędnych prostokątnych

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

y

z

x

y

z

A

A

h u

h u

h u

x

y

z

A

A

h u

h u

h u

x

y

z

A

A

h u

h u

h u

�

�

�

�

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�

=

� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�� �

� �

� �

� �

�

�

�

�

�

�

�

C 01

16

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z prostokątnych
(x, y, z)
do cylindrycznych (ρ, φ, z):

cos

sin

x

y

z z

r

j

r

j

=

=

=

2

2

2

2

2

cos

sin

1

x

y

z

h

r

j

j

r

r

r

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

=

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

2

2

2

2

2

2

2

sin

cos

x

y

z

h

j

r

j

r

j

r

j

j

j

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

=

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

2

2

2

1

z

x

y

z

h

z

z

z

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

� � � � � �

� � � � � �

�

�

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

x

y

z

i

r

r

i

r

r

i

j

r

z

i

r

r

r

r

j

i

j

r

z

P

C 01

17

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych prostokątnych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
cylindrycznych

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

z

y

z

z

z

z

x

x

x A

A

h

h

h z

y

y

y

A

A

h

h

h z

z

z

z

A

A

h

h

h z

r

r

j

j

r

j

r

j

r

j

r

j

r

j

�

�

�

�

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� � �

�

�

�

� � �

=

=

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

z

A

A

A

r

j

j

j

j

j

-

�

�� �

�

�� �

�

�� �

�

�� �

�

�� �

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

y

z

z

z

z

z

x

y

z

A

A

h

h

h

x

y

z

A

A

h

h

h

x

y

z

A

A

h z

h z

h z

r

r

r

r

j

j

j

j

r

r

r

j

j

j

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �=

=

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

x

y

z

A

A

A

j

j

j

j

�

�� �

�

�� �

-

�

�� �

�

�� �

�

�� �

• Wektor we współrzędnych cylindrycznych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
prostokątnych

C 01

18

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z prostokątnych
(x, y, z)
do sferycznych (r, θ, φ):

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

q

j

q

j

q

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

sin cos

sin sin

cos

1

r

x

y

z

h

r

r

r

q

j

q

j

q

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

+

=

� � � � � �

� � � � � �

�

�

�

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos cos

cos sin

sin

x

y

z

h

r

r

r

r

q

q

j

q

j

q

q

q

q

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

+

=

� � � � � �

� � � � � �

�

�

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin sin

sin cos

sin

x

y

z

h

r

r

r

j

q

j

q

j

q

j

j

j

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

=

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

x

y

z

i

q

r

r

i

r

r

j

i

j

r

q

P

C 01

19

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych prostokątnych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
sferycznych

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

r

r

y

r

z

r

x

x

x

A

A

h r h

h

y

y

y

A

A

h r h

h

z

z

z

A

A

h r h

h

q

j

q

q

j

j

q

j

q

j

q

j

q

j

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

=

=

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

sin cos

cos cos

sin

sin sin

cos cos

cos

cos

sin

0

r

A

A

A

q

j

q

j

q

j

j

q

j

q

j

j

q

q

-

� �

�

�

� �

�

�

� �

�

�

� �

-

�

�

�

�� �

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

r

r

r

r

y

z

x

y

z

A

A

h r

h r

h r

x

y

z

A

A

h

h

h

x

y

z

A

A

h

h

h

q

q

q

q

j

j

j

j

q

q

q

j

j

j

�

�

�

�

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�

=

=

� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�� �

� �

� �

� �

�

�

�

�

�

�

�

• Wektor we współrzędnych sferycznych wyrażony przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
prostokątnych

sin cos

sin sin

cos

cos cos

cos sin

sin

sin

cos

0

x

y

z

A

A

A

q

j

q

j

q

q

j

q

j

q

j

j

�

�� �

�

�� �

-

�

�� �

-

�

�� �

�

�� �

C 01

20

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

 Transformacja współrzędnych z cylindrycznych (ρ,
φ, z) do
sferycznych (r, θ, φ):

sin

cos

r

z r

r

q

j

j

q

=

=

=

2

2

2

2

2

sin

cos

1

r

z

h

r

r

r

r

j

q

q

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

=

� � � � � �

� � � � � �

�

�

�

2

2

2

2

2

2

2

cos

sin

z

h

r

r

r

q

r

j

q

q

q

q

q

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

+

=

� � � � � �

� � � � � �

�

�

�

•

Współczynnikami

Lamégo:

2

2

2

1

z

h

j

r

j

j

j

j

�

�

�

� � � � � �

=

+

+

=

� � � � � �

�

�

�

� � � � � �

C 01

21

2010

TRANSFORMACJE WEKTORÓW

• Wektor we współrzędnych cylindrycznych wyrażony
przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
sferycznych

1

1

1

1

1

1

1

1

1

r

r

r

z

r

A

A

h r h

h

A

A

h r h

h

z

z

z

A

A

h r h

h

r

q

j

j

q

q

j

j

q

j

r

r

r

q

j

j

j

j

q

j

q

j

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �=

=

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

� �

� �

�

�

� �

� �

�

�

�

�

�

sin

cos

0

0

0

1

cos

sin

0

r

A

A

A

q

j

q

q

q

q

� �

�

�

� �

�

�

� �

�

�

� �

-

�

�

�

�� �

• Wektor we współrzędnych sferycznych wyrażony przez
współrzędne wektora w układzie współrzędnych
cylindrycznych

sin

0 cos

cos

0

sin

0

1

0

z

A

A

A

r

j

q

q

q

q

�

�� �

�

�� �

-

�

�� �

�

�� �

�

�� �

1

1

1

1

1

1

1

1

1

r

z

z

z

z

r

A

A

h

h

h

r

A

A

h

h

h

r

A

A

h z h z h z

r

r

r

r

q

j

j

j

j

j

q

j

r

r

r

q

j

j

j

j

q

j

�

�

�

�

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� � �

�

�

�

� � �

=

=

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� � �

�

�

�

� � �

� � �

�� �

� �

�

�

�

�

�