Funkcje

Pojęcie funkcji należy, obok pojęcia liczby, do najważniejszych pojęć matematycznych, od-

grywających dość istotną rolę we współczesnych koncepcjach nauczania początkowego ma-

tematyki. Mówimy tu o funkcjach określonych na dowolnym zbiorze i o wartościach w do-

wolnym zbiorze, a nie tylko o funkcjach, które liczbom przyporządkowują liczby.

Funkcje można definiować różnie; można je traktować jako specjalne przyporządkowania

(operacja przyporządkowania eksponuje stronę psychologiczną pojęcia) bądź jako pewnego

rodzaju relacje (w tym przypadku eksponuje się aspekty mnogościowe pojęcia).

Definicja

Funkcją (odwzorowaniem) ze zbioru A w zbiór B nazywamy przyporządkowanie, w który

każdemu elementowi zbioru A przypisano dokładnie jeden element zbioru B.

Jest niezmiernie wygodne, aby każdy dom znajdujący się przy ulicy Sienkiewicza w Kiel-

cach miał numer ( jak myślisz dlaczego ?). Warto więc myśleć o przyporządkowaniu każdemu

budynkowi dokładnie jednej liczby, czyli rozważać funkcję ze zbioru budynków znajdujących

przy ulicy Sienkiewicza w zbiór liczb.

Należy zwrócić uwagę, że przyporządkowania ze zbioru A w zbiór B zwane funkcjami mu-

szą spełniać dwa warunki: a) każdemu elementowi zbioru A musi być przyporządkowany jakiś

element zbioru B, b) elementowi zbioru A nie można przyporządkować dwóch różnych ele-

mentów zbioru B.

Rysunek przedstawia graf strzałkowy funkcji f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} w zbiór

{a, b, c, d, e}. Zauważmy, że elementom { } przyporządkowano ten sam element - .

Przyporządkować elementowi a zbioru A element b zbioru B, to matematycznie nic innego

jak utworzyć parę (a, b). Zatem przyporządkowanie (funkcja) to nic innego jak zbiór uporząd-

kowanych par, podzbiór A

×

B.

W sytuacji funkcji zdefiniowanej grafem mamy pary: (1, ), (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (6, ), (7, ).

Definicja

Funkcją (odwzorowaniem) ze zbioru A w zbiór B nazywamy relację R określoną na zbio-

rach A i B, jeżeli dla każdego elementu a zbioru A istnieje dokładnie jeden i tylko jeden

element b zbioru B taki, że a R b.

Funkcją ze zbioru A w zbiór B jest zatem każda relacja R spełniająca dwa warunki:

a)

dla każdego elementu a zbioru A istnieje element b zbioru B taki a R b,

b)

dla dowolnego elementu a zbioru A i dowolnych elementów b

1

, b

2

z tego jeśli

a R b

1

i a R b

2

, to a

1

= b

2

.

Obie definicji funkcji są równoważne i posługujemy się nimi zmamienie w wybranych sy-

tuacjach. Gdy chcemy zaakcentować sposób przyporządkowania odwołujemy się do definicji

pierwszej, zaś gdy zamierzamy np. konstruować jej wykres, wówczas wygodniej traktować

funkcję jako zbiór par.

Funkcje oznaczamy najczęściej za pomocą małych liter łacińskich f, g, h . W definicji

mnogościowej pojęcia funkcji użyliśmy litery R (nawiązując do tradycyjnego oznaczania rela-

cji), teraz jednak używamy litery f, do której jesteśmy przyzwyczajeni ze szkoły średniej.

Definicje

Funkcję f ze zbioru A w zbiór B zapisujemy krótko: f : A

→

B. Elementy zbioru A na-

zywamy argumentami funkcji f.

Jeżeli a

∈

A, to (jedyny) element zbioru B przyporządkowany przez funkcję f elemen-

towi a oznaczamy symbolem f(a) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu a.

Równość b = f(a) oznacza, że funkcja f przyporządkowuje elementowi a element b; fakt

ten nieraz zapisujemy w postaci a a b.

Na oznaczenie funkcji f określonej w zbiorze A stosujemy również zapis f : x a f(x), x

∈

A.

Na przykład piszemy x a x

2

lub mówmy funkcja określona wzorem f(x) = x

2

dla x

∈

R, gdy

myślimy o przyporządkowaniu liczbie rzeczywistej jej kwadratu.

Szczególnie często stosowane są dwa sposoby przedstawiania funkcji: za pomocą tabelek

i tym sposobem zajmiemy się tu oraz za pomocą wykresów.

Tabelki przedstawiane są następująco: w górnym wierszu elementy zbioru A (argumen-

ty), w dolnym - odpowiadające im elementy zbioru B (wartości funkcji):

x

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

….

f(x)

b

1

b

2

b

3

b

4

b

5

b

6

…

Powyższa tabelka przedstawia również zbiór par uporządkowanych

(a

1

, b

1

) , (a

2

, b

2

) , (a

3

, b

3

) , ….

Jeżeli zbiór A ma zbyt wiele elementów (w szczególności, jeżeli jest nieskończony) lub

jeżeli nie precyzujemy, ile elementów ma zbiór A, to wypisujemy tylko jego niektóre ele-

menty.

Można również taką tabelkę przedstawiać pionowo pisząc elementy zbioru A (argumen-

ty) po lewej stronie, a odpowiadające im elementy zbioru B po prawej. Tego rodzaju tabelki

funkcyjne wykorzystujemy w toku ćwiczeń doskonalących sprawności rachunkowe. Oto

przykład:

a

a +3

4

7

9

Definicja

Mówimy, że funkcja odwzorowuje zbiór A na zbiór B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy

element zbioru B jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi zbioru A.

Definicja

Funkcję (odwzorowanie) ze zbioru A na zbiór B nazywamy różnowartościową wtedy

i tylko wtedy, gdy różnym elementom zbioru A odpowiadają różne elementy zbioru B.

Definicja

Różnowartościowe odwzorowanie ze zbioru A na zbiór B nazywamy odwzorowaniem wza-

jemnie jednoznacznym A na zbiór B.

Przedstawianie funkcji ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych (tzw. funk-

cji liczbo- liczbowych) za pomocą wykresów na płaszczyźnie wymaga posługiwania się osią

liczbową oraz układem współrzędnych na płaszczyźnie.

Definicja

Osią liczbową nazywamy parę (a, f) utworzoną z prostej a na której wyróżniono pewien

punkt O oraz funkcji f ze zbioru punktów prostej a w zbiór liczb rzeczywistych. Funkcję f

określamy następująco: punktowi O przyporządkowujemy liczbę 0. Na jednej z półprostych

o początku O każdemu punktowi A przyporządkowujemy liczbę dodatnią, która jest odległo-

ś

cią tego punktu od punktu O (przy ustalonej jednostce miary). Na drugiej półprostej każ-

demu punktowi A' symetrycznemu do punktu A względem punktu O przyporządkowujemy

liczbę ujemną, która jest liczbą przeciwną do liczby przyporządkowanej punktowi A.

Liczby przyporządkowane punktom prostej w wyżej opisany sposób nazywamy współ-

rzędnymi tych punktów na danej osi liczbowej.

Odniesienia do nauczania

Już w I klasie szkoły podstawowej można (i powinno się) przygotowywać ucznia do

zrozumienia pojęcia funkcji przez odpowiedni dobór ćwiczeń arytmetycznych (bez używania

słowa funkcja, relacja ani też nieodzownych, zdawałoby się, symboli f, x, y itp.). Szczególnie

wartościowe są zadania związane z konstruowaniem i uzupełnianiem tabelek funkcyjnych two-

rzonych na tle poznawanych działań arytmetycznych (np. a

→

a+2, b

→

15 – b).

W nauce o liczbach w klasach początkowych ważne miejsce zajmuje oś liczbowa. Naj-

pierw na niej dzieci umiejscawiają liczby naturalne. Uświadamiają sobie, że między nimi także

są inne liczby, będące długościami mierzonych przedmiotów (mówią, np. trochę więcej niż 2,

nieco mniej niż 5). Stąd tylko krok do umieszczania na osi ułamków. W klasach wyższych szko-

ły podstawowej odkryją na niej liczby całkowite i wymierne, a w gimnazjum liczby niewymier-

ne. Oś liczbowa jest wygodnym środkiem uprzytomnienia dzieciom, że zbiór liczb jest nie-

zmiernie „bogaty” (jest ich tyle, ile punktów na prostej) a oni poszczególne rodzaje liczb stop-

niowo odkrywają badając ich własności.

Literatura

T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997; s. 61 -

67.

Ćwiczenia

1.

Dane są zbiory A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Przedstaw za pomocą grafu

strzałkowego oraz za pomocą tabelki relacje:

a) {(2, 4), (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 4), (6, 3), (2, 7), (5, 8)},

b) {(2, 4), (1, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 7), (6, 8)},

c) {(2, 4), (1, 4), (3, 4), (4, 3), (5, 4), (6, 3)},

d) {(2, 4), (1, 3), (3, 6), (4, 7), (6, 8)},

e) {(2, 3), (1, 4), (3, 5), (4, ), (5, 7), (6, 8)}.

2.

Rozstrzygnij, która z relacji z ćwiczenia 1 jest:

a) funkcją ze zbioru A w zbiór B,

b) funkcją ze zbioru A na zbiór B,

c) odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru A na zbiór B.

3.

Dane są zbiory A = {a, b, c, d, e}, B = {

, &, ♣,
, }. Określ na cztery różne spo-

soby funkcje ze zbioru A na zbiór B. Wyjaśnij związek tych funkcji z równolicznością

zbiorów A i B.

4.

Uzasadnij, że nie jest funkcją ze zbioru liczb całkowitych w zbiór liczb całkowitych

przyporządkowanie liczbie a liczby b spełniającej warunek:

a) a

2

+ b

2

= 100,

b) a = b

2

,

c) |a + 2| = |b |.

5.

Rozważ przyporządkowania liczbie x

∈

N liczby y

∈

C określone warunkiem:

a) 2x = y, b) x = | y|,

c) y = 4x – 1, d) y = 4.

Rozstrzygnij, które z tych przyporządkowań jest funkcją ze zbioru N w zbiór C.

6.

Określ trzy funkcje ze zbioru D w zbiór D, gdzie D jest zbiorem klocków logicznych Die-

nesa, przy czym jedna z nich powinna być funkcją w podzbiór D, druga funkcją różnowar-

tością, a trzecia stałą.

7.

Określ po dwie funkcje zadane tabelkami funkcyjnymi związane z: a) dodawaniem, b) o-

dejmowaniem, c) mnożeniem, d) dzieleniem.

8.

Funkcję f zadano wzorem f(x) = 3x – 5. Wyznacz:

a) f(3), f(-2), f(a), f(a – 3)

b) taki argument dla którego wartość wynosi: 4, -3, a,

c) f(a + b) – f(a) – f(b).