Egzamin z analizy matematycznej dla ekonomist´

ow, 15 czerwca 2003 r

Ka ˙zde zadanie musi by´

c napisane na oddzielnej kartce

Zaczynamy od podpisania wszystkich kartek w lasnymi danymi

:

Lewy g´

orny r´

og strony:

Prawy g´

orny r´

og strony:

nr indeksu

rok studi´

ow, nr grupy ´cwiczeniowej

Nazwisko i imie

Nazwisko osoby prowadzacej ´cwiczenia

data urodzenia: dd mm rr

Nazwisko wyk ladowcy

Wszystkie obliczenia musza by´

c umieszczone w pracy, w rozumowaniach nale˙zy powo lywa´

c sie na twierdzenia z

wyk ladu lub z ´

cwicze´

n, w przypadku stosowania twierdze´

n, kt´

ore nie wystapi ly na zajeciach, nale˙zy je udowodni´

c.

1.

Obliczy´c lim

n→∞

n

+

5

√

n

5

+ 160n

4

2n + 2

!

n

.

Ciekawostka:

lim

x→0

(1 + x)

a

− 1

x

= a

2.

Obliczy´c f

0

(−1) , je´sli f(x) =

x

(x + 1)(x + 2) · . . . · (x + 1683)

(x + 1684)(x + 1685) · . . . · (x + 1863)

.

3.

Niech f (x) =

3

r

(x

2

− 2)(x

2

− 1)

2

x

2

.

Mamy f

0

(x) =

4
3

(x

4

− x

2

− 1) x

2

− 2

−2/3

x

2

− 1

−1/3

x

−5/3

oraz f

00

(x) =

4
9

x

8

− 8x

6

+ 20x

4

− 25x

2

+ 10

(x

2

−2)

−5/3

(x

2

−1)

−4/3

x

−8/3

. Pierwiastkami wielomianu x

4

−x

2

−1 sa dwie liczby

rzeczywiste: x

1

≈ −1,27 , x

2

≈ 1,27 oraz dwie nierzeczywiste, pierwiastkami wielomianu x

8

−8x

6

+20x

4

−25x

2

+10

– liczby x

3

≈ −2,20 , x

4

≈ −0,82 , x

5

≈ 0,82 , x

6

≈ 2,20 oraz cztery liczby nierzeczywiste. W jakich punktach

funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna (tzn. ma sko´

nczona pochodna I rzedu)? Znale´z´c przedzia ly, na kt´

orych funkcja

f

maleje, na kt´

orych ro´snie, na kt´

orych jest wypuk la, na kt´

orych jest wkles la. Obliczy´c granice funkcji f przy

x

−→ ∞ , przy x −→ −∞ , przy x −→ 0

−

, przy x −→ 0

+

oraz granice f

0

w ko´

ncach przedzia l´

ow, na kt´

orych

funkcja f jest r´

o˙zniczkowalna. Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4.

Obliczy´c

Z

ln π

−∞

e

3x

sin 2x dx .

5.

Obliczy´c lim

x→0

cos(x

√

2) + tg (sin

2

x

) − cos x

2003

x

+ ln(1 − sin x)

· (x + x

2003

)

2

wiedzac, ˙ze

kolejnymi pochodnymi funkcji tangens w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , 2 , 0 , 16 , 0 , 272 , . . . ,

kolejnymi pochodnymi funkcji sinus w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , −1 , 0 , 1 , 0 , −1 , . . .
kolejnymi pochodnymi funkcji ln w punkcie 1 sa liczby: 1 , −1 , 2 , −6 , 24 , −120 , 720 , . . .

6.

Za l´

o˙zmy, ˙ze a, b > 0 . Wykaza´c, ˙ze (2 −

√

3)a

2+

√

3

+ (2 +

√

3)b

2−

√

3

≥ 4

4

√

ab

.

7.

Znale´z´c gradient funkcji f okre´slonej wzorem (2 + tg

2

x

)

sin(2 ln(√

y))

w punkcie (

π

4

, e

π/2

) .

8.

Zdefiniujmy zbiory A i B wzorami A = {(x, y, z):

2x + 3y − 4z = 1 i 2 < x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 3} ,

B

= {(x, y, z):

2x + 3y − 4z = 1 i x

2

+ y

2

+ z

2

= 3} . Znale´z´c podprzestrzenie styczna i prostopad la w punkcie

(1, 1, 1) do zbioru B (podprzestrze´

n w tym przypadku oznacza prosta lub p laszczyzne). Dla ka˙zdego ze zbior´

ow A

i B rozstrzygna´c, czy jest on:

ograniczony, wypuk ly, otwarty, domkniety, zwarty.

9.

Niech A = {(x, y, z):

5x

2

+ 5y

2

− z

2

= 0 i x + 2y + 3z = 20} . Znale´z´c kresy g´orny i dolny funkcji f zdefiniowanej

wzorem f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

na zbiorze A . (W badaniu ograniczono´sci zbioru A moga pom´

oc nier´

owno´sci:

|x + 2y| ≤

√

5

px

2

+ y

2

, 20 ≥ 3|z| − |x + 2y| ).

10.

Niech f (x, y) = 2e

y

− x

3

− 2x

2

+ x

2

+ 6x

5

+ 15x

4

− 10x

3

− 30x

2

. Znale´z´c wszystkie punkty, w kt´

orych gradient

funkcji f jest wektorem zerowym i wyja´sni´c, w kt´

orych z nich funkcja ma lokalne minima, w kt´

orych lokalne

ekstrema, a w kt´

orych lokalnego ekstremum nie ma. Znale´z´c kresy funkcji f na p laszczy´znie. Informacja:

∂f
∂x

(x, y) =

2 − 3x

2

− 4x + 1

2e

y

− x

3

− 2x

2

+ x

+ 30x(x

2

− 1)(x + 2) ,

∂f
∂y

(x, y) = 4e

y

2e

y

− x

3

− 2x

2

+ x

.

Uwaga: w sformu lowaniu przekazanym studentom w trakcie egzaminu w zadaniu trzecim by l b lad, poda lem, ˙ze

wielomian x

4

−x

2

−1 ma cztery pierwiastki rzeczywiste. Ten b lad zosta l zauwa˙zony przez jednego z koleg´ow prowadzacych

´

cwiczenia. Studenci, kt´

orzy sporzadzili wykres zgodny z podanymi danymi beda mie´

c zaliczone punkty, to oczywiste.

Niestety ten wykres nie mo˙ze by´

c w pe lni zgodny z danymi, bo to po prostu nie istnieje funkcja o takim rozk ladzie

pierwiastk´

ow pierwszej i drugiej pochodnej, okre´

slona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych r´

o˙znych od zera. Oznacza

to, ˙ze sporzadzenie wykresu bedzie ni˙zej punktowane ni˙z planowano, wiecej punkt´

ow otrzymaja studenci za cze´

s´

c wstepna,

znalezienie granic, przedzia l´

ow monotoniczno´

sci itd. Studenci, kt´

orzy maja ochote przedyskutowa´

c punktacje moga to

uczyni´

c w ´

srode po 14, 18 czerwca, ile po 14 to nie jest jasne, najpierw zostana wpisane oceny tym, kt´

orzy pragna

jedynie wpisu.