Dział III Prognozowanie na podstawie modeli autoregresji.

Autoregresja – regresja w której zmienna zależna jest objaśniana poprzez wartości zmiennej
zależnej z przeszłości (inaczej poprzez opóźnione w czasie wartości zmiennej objaśnianej)
Zapis modelu autoregresji (zapis na tablicy)

Autokorelacja – Zależność wartości bieżących obserwowalnych w czasie t od wartości
wcześniejszych obserwowalnych w czasie t-1 (inaczej jest to zależność wartości bieżących
danej zmiennej od wartości z okresów poprzednich tej samej zmiennej).

Biały szum – nieprognozowany, czysto losowy składnik resztowy modelu. Własności białego
szumu:

1.

2.

,

Dla tych samych momentów wariancja jest stała i skończona w czasie. Brak autokorelacji
składnika losowego.

Rysunek 1. Biały szum

Badanie autokorelacji składnika losowego

1. Test Durbina-Watsona – test służący do badania zjawiska autokorelacji rzędu I składnika

losowego.

H0:



1

=0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest równy 0, co oznacza brak

autokorelacji rzędu I)
H1:



1



0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest różny od 0, co oznacza

występowanie autokorelacji rzędu I)

Do badania autokorelacji rzędu I służy statystyka DW, którą porównuje się z dolną oraz górną granicą
odczytaną z tablic rozkładu testu DW uzależnioną od wielkości próby oraz liczby szacowanych
parametrów w modelu bez wyrazu wolnego.

Jeżeli DW>2, wówczas należy wyprowadzić statystykę DW*=4-DW

DW, DW* > dU (górna granica testu), wówczas występuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej, która wskazuje na brak autokorelacji rzędu I.
DW, DW* ≤ dL (dolna granica testu), wówczas występuje odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść
alternatywnej, co oznacza występowanie autokorelacji rzędu I.
dL< DW, DW* ≤ dU wówczas test DW nie rozstrzyga o istnieniu autokorelacji składnika losowego,
należy zastosować inny test, jest to obszar niekonkluzywny testu.

2. Test Quinoille’a (wartości współczynników autokorelacji cząstkowej dla testu należy szukać w

wartościach funkcji PACF)

H0:





= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje) (



=1,2,…,k)

H1:







0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje) (



=1,2,…,k)

Test ten pozwala badać autokorelację cząstkową rzędów wyższych.
Wartość statystyki testu przyrównuje się do wartości krytycznej równej

, gdzie N jest liczebnością

próby.
Jeżeli

, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej H0 na korzyść alternatywnej.

Stwierdza się występowanie autokorelacji m rzędu składnika losowego.
Jeśli

, wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, zatem brak jest

autokorelacji m rzędu składnika losowego

Przykład badania autokorelacji cząstkowej na podstawie funkcji PACF (zadanie z wejściówki nr 1).







Decyzja

1. Obliczenie wartości krytycznej testu Quinoile’a

wg wzoru

.

2. Stosując metodę od góry do dołu badamy

przekroczenia

wartości

współczynnika

autokorelacji cząstkowej





3. Procedura trwa dopóki nie nastąpi odrzucenie

hipotezy zerowej dla

UWAGA! Ustalony rząd autokorelacji odpowiada

szukanemu rzędowi autoregresji.

1

0.58

2

0.28

3

-0.19

4

0.49

odrzucenie H0, oznacza
występowanie
autokorelacji

rzędu 4

składnika

losowego,

procedura zatrzymuje się.

5

-0.09

brak

podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej

6

0.10

,

brak

podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej

Ocena wartości prognostycznej modelu

Test Ljunga Boxa (Q) – służy do badania autokorelacji rzędów wyższych
H0:



1

= … =



m

= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje)

H1:



1



…





m



0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!

Test Jarque’a – Bery (JB) – służy do badania, czy rozkład składnika losowego jest rozkładem
normalnym.
H0: F(e

i

) = F

N

(e

i

) (rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym)

H1: F(e

i

)



F

N

(e

i

) (składnik losowy ma rozkład inny niż rozkład normalny)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!

Test Chowa (F

CHOWA

) – służy do badania zmian strukturalnych w parametrach modelu, weryfikuje

hipoteze o stabilności parametrów modelu.
H0: parametry modelu są stabilne w czasie
H1: parametry modelu są niestabilne w czasie
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!

Test na liniowość zależności (LM

liniowość

).

H0: zależność w modelu jest liniowa
H1: zależność w modelu jest nie liniowa
Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!

Test White’a (LM

hetero

) – test służy do badania jednorodności wariancji (homoskedastyczności

wariancji)
H0:



k

= 0 (wariancja jest homoskedastyczna)

H1:



k



0 (wariancja jest heteroscedastyczna)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!

Interpretacja współczynnika determinacji R

2

– wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu w

całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest miarą dopasowania modelu do danych
empirycznych. Powinien przyjmować wartości większe niż 85%.
Przykład. R

2

= 90% - oznacza to, że zmienne objaśniające w modelu wyjaśniają 90% zmienności

zmiennej objaśnianej. Dopasowanie modelu do danych empirycznych z próby jest wysokie i
przekracza granicę 85%.

Interpretacja współczynnika zmienności V

U

– wyraża procentowy udział średniego błędu reszt w

średniej wartości zmiennej objaśnianej. V

U

nie powinien przekraczać wartości 15%.

Przykład. V

U

= 12% oznacza, że udział procentowy błędu resztowego w średniej wartości

zmiennej objaśnianej wynosi 12% i nie przekracza progu 15%

Jak obliczać wartości prognoz – rozpisać przykład na tablicy dla modelu wewnętrznej
struktury.