1
Zadanie 1 - (wersja A).
Okręt o masie M = 1200 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t
0
= 0 siłę
napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 4·10
5
N zredukowano czterokrotnie. Wiedząc, że opór wody T
jest proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv,. gdzie
m
Ns
4
10
8
⋅
=
μ
) znajdź:
a) prędkość okrętu v
0
przed redukcją siły ciągu ?
b) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t
0
.
c) czas, po którym nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu, licząc od chwili t
0
?
Uwaga:
dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez
podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
a) Przed redukcją mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością
s
m
m
Ns
N
G
v
5
10
8
10
4
4
5
0
=
⋅
⋅
=
=
μ
,
którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc
0
=
dt
dv
.
b)
Oznaczamy F – zredukowana siła ciągu silników (dla t<t
0
siła ciągu – G = 4F). Równanie ruchu:
F
v
F
T
dt
dv
M
+
−
=
+
−
=
μ
, stąd
dt
v
M
M
F
dv
=
−
μ
, i dalej
C
t
v
M
M
F
dv
+
=
−
∫
μ
.
Podstawienie:
v
M
M
F
u
μ
−
=
, skąd
dv
M
du
μ
−
=
, i
du
M
dv
μ
−
=
, więc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
=
−
=
−
∫
∫
v
M
M
F
M
C
t
u
du
M
v
M
M
F
dv
μ
μ
μ
μ
ln
, i dalej
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
=
C
t
M
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, lub
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
A
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t
0
= 0, przy pełnej
mocy silników (G = 4F), prędkość okrętu wynosi
A
M
F
F
G
v
μ
μ
μ
μ
−
=
=
=
4
0
, więc
M
F
A
3
−
=
i w
końcu:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
t
M
G
t
M
F
v
μ
μ
μ
μ
exp
3
1
4
exp
3
1
c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zmniejszenie prędkości okrętu ?
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
+
=
=
2
/
1
2
/
1
0
exp
4
3
4
1
4
exp
3
1
2
1
t
M
F
t
M
F
v
v
μ
μ
μ
μ
, więc
4
1
exp
4
3
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
i dalej
3
1
exp
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
, a w końcu
)
3
ln(
2
/
1
μ
M
t
=
.
Podstawiając dane:
s
m
s
s
kgm
kg
m
Ns
kg
t
)
3
ln(
15
)
3
ln(
15
)
3
ln(
10
8
10
2
.
1
2
4
6
2
/
1
=
⋅
=
⋅
⋅
=
2
Zadanie 1 (wersja B).
Okręt o masie M = 1600 ton porusza się ruchem jednostajnym, prostoliniowym. W chwili t
0
= 0 siłę
napędzającą okręt (siłę ciągu) G = 2·10
5
N zwiększono pięciokrotnie. Wiedząc, że opór wody T jest
proporcjonalny do prędkości okrętu v (T = -μv, gdzie
m
Ns
4
10
8
⋅
=
μ
) znajdź:
d) prędkość okrętu v
0
przed zwiększeniem siły ciągu ?
e) zależność prędkości okrętu od czasu od chwili t
0
.
f) czas, po którym nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu, licząc od chwili t
0
?
Uwaga:
dokonując obliczeń należy liczby niewymierne typu e, π, ln(15), 4/3 itd pozostawić bez
podawania ich wartości w postaci liczby dziesiętnej. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami,
powinno zawierać także rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
a) Przed zwiększeniem mocy silników ruch okrętu odbywał się z prędkością
s
m
m
Ns
N
G
v
5
.
2
10
8
10
2
4
5
0
=
⋅
⋅
=
=
μ
, którą można wydedukować z równania ruchu, kładąc
0
=
dt
dv
.
b) Oznaczamy F – zwiększona siła ciągu silników (dla t<t
0
siła ciągu – G = F/5). Równanie ruchu:
F
v
F
T
dt
dv
M
+
−
=
+
−
=
μ
, stąd
dt
v
M
M
F
dv
=
−
μ
, i dalej
C
t
v
M
M
F
dv
+
=
−
∫
μ
.
Podstawienie:
v
M
M
F
u
μ
−
=
, skąd
dv
M
du
μ
−
=
, i
du
M
dv
μ
−
=
, więc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
=
−
=
−
∫
∫
v
M
M
F
M
C
t
u
du
M
v
M
M
F
dv
μ
μ
μ
μ
ln
, i dalej
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
=
C
t
M
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, lub
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
A
M
F
v
μ
μ
μ
exp
, gdzie A – pewna stała. W chwili początkowej, dla t
0
= 0, przy małej
mocy silników (G = F/5), prędkość okrętu wynosi
A
M
F
F
G
v
μ
μ
μ
μ
−
=
=
=
5
0
, więc
M
F
A
5
4
=
i w
końcu:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
t
M
G
t
M
F
v
μ
μ
μ
μ
exp
5
4
1
5
exp
5
4
1
c) Po jakim czasie nastąpi dwukrotne zwiększenie prędkości okrętu ?
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
−
=
=
2
/
1
2
/
1
0
exp
4
5
5
exp
5
4
1
2
t
M
F
t
M
F
v
v
μ
μ
μ
μ
, więc
3
exp
4
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
i dalej
4
3
exp
2
/
1
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡− t
M
μ
, a w końcu
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
4
ln
2
/
1
μ
M
t
.
Podstawiając dane:
s
m
s
s
kgm
kg
m
Ns
kg
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
3
4
ln
20
3
4
ln
20
3
4
ln
10
8
10
6
.
1
2
4
6
2
/
1
3
Zadanie 2 (wersja A)
Jaką siłę F należy przyłożyć do masy M = 2000 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 5 m/s
2
, jeżeli:
a) siła tarcia działa tylko między masą m = 3 kg i masą M, a współczynnik tarcia kinetycznego
wynosi
1
μ
= 0.3;
b) siła tarcia działa między masą m i masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
1
μ
= 0.3) oraz między podłożem a masą M (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.4).
c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli
uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą M a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:
− masą M a m wynosi
1
f
= 0.6,
− masą M a podłożem -
2
f
= 0.8.
Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s
2
. Pełne rozwiązanie zadania, poza
obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.
M
m
F
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
mg
m
M
a
F
T
F
m
M
a
T
N
am
T
N
F
aM
1
1
1
1
2
2
μ
+
+
=
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
=
+
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
kg
s
m
F
43
)
18
25
(
10
3
3
,
0
2
3
2
5
2
2
2
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
+
=
b)
(
)
(
)
(
)
g
M
m
mg
m
M
a
F
T
T
F
m
M
a
T
N
am
T
T
N
F
aM
+
+
+
+
=
−
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
−
=
+
2
1
1
1
1
1
2
2
2
μ
μ
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
kg
s
m
F
63
)
20
18
25
(
10
)
3
2
(
4
,
0
10
3
3
,
0
2
3
2
5
2
2
2
2
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
+
=
c)
(
)
g
M
m
f
mg
f
F
+
+
=
2
1
2
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
F
76
)
40
36
(
10
)
3
2
(
8
,
0
10
3
6
,
0
2
2
2
2
=
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
4
Zadanie 2 (wersja B)
Jaka siłę F należy przyłożyć do masy m = 250 g w układzie przedstawionym na rysunku, aby
poruszała się ona z przyśpieszeniem a = 3 m/s
2
, jeżeli:
a) siła tarcia działa tylko między masą M = 0.75 kg i masą m, a współczynnik tarcia
kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.1,
b) siła tarcia działa między masą M i masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
2
μ
= 0.2) oraz między podłożem a masą m (współczynnik tarcia kinetycznego wynosi
1
μ
= 0.1) ?
c) Ile wynosi maksymalna wartość siły F, dla której układ pozostaje w spoczynku jeśli
uwzględnimy tarcie pomiędzy masa M i m oraz pomiędzy masą m a podłożem?
Współczynniki tarcia statycznego pomiędzy:
− masą m a M wynosi
2
f
= 0.4,
− masą m a podłożem -
1
f
= 0.2.
Przyjąć wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 m/s
2
. Pełne rozwiązanie zadania, poza
obliczeniami, powinno zawierać także rachunek jednostek.
m
M
F
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
Mg
m
M
a
F
T
F
m
M
a
T
N
aM
T
N
F
am
2
2
2
2
2
2
μ
+
+
=
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
=
+
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
kg
s
m
F
5
.
4
)
5
.
1
3
(
10
75
.
0
1
,
0
2
25
.
0
75
.
0
3
2
2
2
=
+
=
⋅
⋅
⋅
+
+
=
b)
(
)
(
)
(
)
g
M
m
Mg
m
M
a
F
T
T
F
m
M
a
T
N
aM
T
T
N
F
am
+
+
+
+
=
−
−
=
+
⎩
⎨
⎧
−
=
−
−
−
=
+
1
2
1
2
2
1
2
2
2
μ
μ
(
)
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
kg
s
m
F
7
)
1
3
3
(
10
)
75
.
0
25
.
0
(
1
,
0
10
75
.
0
2
,
0
2
25
.
0
75
.
0
3
2
2
2
2
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
+
=
c)
(
)
g
M
m
f
Mg
f
F
+
+
=
1
2
2
N
s
kgm
s
m
kg
s
m
kg
F
8
)
2
6
(
10
)
25
.
0
75
.
0
(
2
,
0
10
75
.
0
4
,
0
2
2
2
2
=
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
5
Zadanie 3 (wersja A)
W trzech rogach trójkąta równobocznego o boku a = 0.6 m znajdują się 3 pająki. W pewnej chwili
zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v
0
= 5 cm/s skierowaną
wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka znaleźć
równanie, czas ruchu i równanie toru.
Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w punkcie przecięcia
wysokości trójkąta. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający trójkąt równoboczny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem
o
30
=
α
względem promienia wodzącego a ich wartość
bezwzględna jest stała.
Składowe prędkości: radialna
2
3
cos
0
0
v
v
v
dt
dr
r
−
=
−
=
=
α
,
kątowa
2
cos
0
0
v
v
v
dt
d
r
=
=
=
α
ϕ
ϕ
.
To są równania ruchu pająka.
Tor
:
3
−
=
=
ϕ
ϕ
rd
dr
dt
d
r
dt
dr
, więc
∫
∫
−
=
ϕ
d
r
dr
3
, i dalej
C
r
+
−
=
ϕ
3
)
ln(
.
Przekształcając:
(
)
ϕ
3
exp
−
= A
r
. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był umieszczony
na osi OX w odległości
3
0
a
r
=
pod kątem 0
0
=
ϕ
. Czyli
3
a
A
=
, i równanie toru ma postać:
(
)
ϕ
3
exp
3
−
=
a
r
.
Czas ruchu
– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:
s
s
m
m
v
a
v
r
t
r
24
/
05
.
0
6
.
0
2
2
0
0
=
=
=
=
.
6
Zadanie 3 (wersja B)
W sześciu rogach sześciokąta foremnego o boku a = 0.75 m znajduje się 6 pająków. W pewnej
chwili zaczynają się one gonić wzajemnie tzn. poruszają się ze stała prędkością v
0
= 2.5 cm/s
skierowaną wzdłuż prostej łączącej danego pająka z poprzedzającym go. Dla dowolnego pająka
znaleźć równanie ruchu, czas ruchu i równanie toru.
Wskazówka. Początek układu współrzędnych najwygodniej jest umieścić w środku okręgu
opisanego na sześciokącie. Pełne rozwiązanie zadania, poza obliczeniami, powinno zawierać także
rachunek jednostek.
Rozwiązanie:
Z symetrii zagadnienia wynika, że kąty między bokami figury, w wierzchołkach której znajdują się
pająki są w czasie ruchy zachowane. W związku z tym układ pająków tworzy zmniejszający się i
obracający sześciokąt foremny. Problem rozwiązujemy w układzie biegunowym. Prędkości
pająków są zawsze ustawione pod kątem
o
60
=
α
względem promienia wodzącego a ich wartość
bezwzględna jest stała.
Składowe prędkości: radialna
2
cos
0
0
v
v
v
dt
dr
r
−
=
−
=
=
α
,
kątowa
2
3
sin
0
0
v
v
v
dt
d
r
=
=
=
α
ϕ
ϕ
.
To są równania ruchu pająka.
Tor
:
3
1
−
=
=
ϕ
ϕ
rd
dr
dt
d
r
dt
dr
, więc
∫
∫
−
=
ϕ
d
r
dr
3
1
, i dalej
C
r
+
−
=
ϕ
3
1
)
ln(
.
Przekształcając:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
ϕ
3
1
exp
A
r
. Zakładamy, że punkcie startu, pierwszy pająk był
umieszczony na osi OX w odległości
a
r
=
0
pod kątem 0
0
=
ϕ
. Czyli
a
A
=
, i równanie toru
ma postać:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
ϕ
3
3
exp
a
r
.
Czas ruchu
– to czas przebycia promienia wodzącego. Przy stałej prędkości radialnej:
s
s
m
m
v
a
v
r
t
r
3
36
/
025
.
0
75
.
0
3
2
3
2
0
0
=
=
=
=
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kol2 zad fiz rozw id 239188 Nieznany
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
HW4 rozw id 207369 Nieznany
Fund zad kol2 GHor id 181430 Nieznany
co rozw id 118235 Nieznany
inform r1 rozw id 288565 Nieznany
a1 inform rozw id 289218 Nieznany (2)
HW7 rozw id 207377 Nieznany
fiz tabele id 336448 Nieznany
GW PROJEKT Przyklad Rozw id 197 Nieznany
5 rozw id 40747 Nieznany (2)
a1 inform rozw id 288563 Nieznany (2)
Fiz wstep id 173360 Nieznany
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
chem fiz 14 11 zad id 111352 Nieznany
więcej podobnych podstron