Maria Malejki
WydziaÃl Matematyki Stosowanej
AGH

Egzamin z Matematyki dla kierunku G´

ornictwo i Geologia

na Wydziale G´

ornictwa i Geoin˙zynierii

Semestr III

(rok akademicki 2010/11)

Zagadnienia obowi¸azuj¸ace do egzaminu:

1. Funkcje wielu zmiennych:

- pochodne cz¸astkowe;
- klasy funkcji C

(1)

, C

(2)

, C

(k)

;

- wz´or Taylora dla funkcji 2-ch zmiennych z przykÃladowymi zastosowaniami;

2. R´

ownania r´

o˙zniczkowe zwyczajne:

- R´ownania r´o˙zniczkowe 1- go rz¸edu - przykÃlady
- R´ownanie o zmiennych rozdzielonych;
- R´ownania liniowe 1-go rz¸edu jednorodne i niejednorodne; metoda uzmienniania staÃlej, metoda przewidy-
wania;
- R´ownania liniowe 2-go rz¸edu (o staÃlych wsp´oÃlczynnikach); metoda uzmienniania staÃlych, metoda przewidy-
wania;

3. CaÃlki wielokrotne:

- obszary normalne w R

2

- caÃlka podw´ojna: definicja, interpretacja geometryczna;
- caÃlka iterowana;
- caÃlka w obszarze normalnym: twierdzenie o zamianie zmiennych, wsp´oÃlrz¸edne biegunowe;
- zastosowania geometryczne

4. CaÃlki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane;

PrzykÃladowe zadania egzaminacyjne.

1. Obliczy´c pochodne cz¸astkowe 1-go rz¸edu dla funkcji:

f (x, y) =

x

2

y − 5y

3

x

2

+ 2y

2

;

f (x, y) = e

x

2

+3y

2

;

f (x, y) =

7x

3

− x

2

y

3

x

2

+ 2y

2

;

f (x, y) = 4xy

x

2

− y

2

x

2

+ y

2

;

f (x, y, z) = x

2

+ 4y

4

+ 3z

2

;

f (x, y, z) = e

xy+zx+yz

;

f (x, y, z) = ln(xy) + ln(

x

z

);

f (x, y, z) = arctg(x − z) − arctg(yz).

2. Obliczy´c pochodne cz¸astkowe 2-go rz¸edu:

f (x, y) = e

x

(x

2

y − 5y

3

);

f (x, y) = arctg(

x
y

);

f (x, y, z) = 2x

2

+ 3y

2

− z

2

− 5xy + yz + 2x

2

− z

2

+ 2x + 5y − 2z + 5;

f (x, y, z) = xe

yz−3z

4

.

3. Obliczy´c pochodn¸a cz¸astkow¸a drugiego rz¸edu

∂

2

f

∂y∂z

dla funkcji

f (x, y, z) = sin(xy) + ye

x

2

+z

2

.

4. Sprawdzı´c czy funkcja y(x) = x(lnx)

2

jest rozwi¸azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego:

y

0

−

y
x

= 2

r

y
x

z warunkiem pocz¸atkowym y(1) = 0.

5. Sprawdzı´c czy funkcja y(x) = xe

x

2

jest rozwi¸azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego : y

0

=

y(2x

2

+1)

x

z warunkiem

pocz¸atkowym y(1) = e.

6. Metod¸a przewidywania wyznaczy´c rozwi¸azanie szczeg´olne liniowego r´ownania r´o˙zniczkowego: y

0

− 5y =

2e

5x

.

7. Rozwi¸aza´c r´ownania r´o˙zniczkowe liniowe 1-go rz¸edu:

y

0

+ 3y = 2e

−3x

;

y

0

+ 3y = sin2x + e

x

;

y

0

−

2

x

y = 2x

5

+ 3x − 1;

y

0

+ 2xy = 2x

3

.

8. Rozwi¸aza´c r´ownania r´o˙zniczkowe drugiego rz¸edu:

y

00

+ 5y

0

+ 4y = 3 sin x;

y

00

+ 2y

0

+ y = sin x;

y

00

+ 2y

0

+ y = 4e

−x

;

y

00

+ 2y

0

+ y = x cos x;

y

00

+ y = xe

3x

;

9. Obliczy´c wszystkie pochodne cz¸astkowe 1-go rz¸edu dla funkcji:

f (x, y) =

3xy

2

+ x

3

2x

2

+ 3y

2

;

g(x, y, z) = xz + e

2y+z

.

10. Rozwi¸aza´c r´ownania r´o˙zniczkowe liniowe 1-go rz¸edu:

y

0

+ 4y = 3 cos 3x;

y

0

−

2

x

y = x

4

− 7x

3

.

11. Rozwi¸aza´c r´ownanie r´o˙zniczkowe drugiego rz¸edu:

y

00

+ 2y

0

− 8y = 5e

x

.

12. Obliczy´c caÃlk¸e:

Z

2

0

Z

1

−1

µ

5 + x

2

1 + y

2

+ 2xy

¶

dydx.

13. Obliczy´c wszystkie pochodne cz¸astkowe 1-go rz¸edu dla funkcji:

f (x, y) =

3x

2

y − 5y

3

x + y

;

g(x, y, z) = xy + 3xe

z

.

14. Rozwi¸aza´c r´ownania r´o˙zniczkowe liniowe 1-go rz¸edu:

y

0

+ y = 2e

x

;

y

0

−

5

x

y = x

5

− 6x

8

.

15. Rozwi¸aza´c r´ownanie r´o˙zniczkowe drugiego rz¸edu:

y

00

+ 4y = 3e

x

.

16. Obliczy´c caÃlk¸e:

Z

π

−π

Z

1

0

µ

sin x

1 + y

2

+ 2xy

¶

dydx.

17. Narysowa´c zbi´or na pÃlaszczyznie OXY, po kt´orym jest liczona nast¸epuj¸aca caÃlka iterowana:

Z

1

0

Z

1

x

f (x, y)dydx.

Zamieni´c poprawnie kolejno´s´c caÃlkowania w tej caÃlce.

18. Narysowa´c zbi´or na pÃlaszczyznie OXY, po kt´orym jest liczona nast¸epuj¸aca caÃlka iterowana:

Z

π/2

0

Z

1

cos x

f (x, y)dydx.

Zamieni´c poprawnie kolejno´s´c caÃlkowania w tej caÃlce.

19. Narysowa´c zbi´or na pÃlaszczyznie OXY, po kt´orym jest liczona nast¸epuj¸aca caÃlka iterowana:

Z

4

0

Z

√

x

−

√

x

f (x, y)dydx.

Zamieni´c poprawnie kolejno´s´c caÃlkowania w tej caÃlce.

20. Dla K = {(x, y) : 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4, x, y ≥ 0} obliczy´c warto´s´c caÃlki podw´ojnej

R R

(x

2

+ y

2

)dxdy

K

.

21. Dla K = {(x, y) : 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ e

2

, y ≥ 0} obliczy´c warto´s´c caÃlki podw´ojnej

R R

ln(x

2

+ y

2

)dxdy

K

.

22. Obliczy´c caÃlk¸e:

R R

x

2

− y

2

dxdy,

D

gdzie D jest zbiorem: D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

23. Obliczy´c caÃlk¸e:

R R

4xy

x

2

−y

2

x

2

+y

2

dxdy,

G

gdzie G jest zbiorem: G = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.

24. Dana jest krzywa l na pÃlaszczyznie :

½

x(t) = t + 2
y(t) = t

2

,

t ∈ [0, 2],

Obliczy´c caÃlki:

a) skierowana :

Z

l

(x + y)dx + ydy;

b) nieskierowana :

Z

l

y

x

√

1 + 4y

dl.

25. Dana jest krzywa l na pÃlaszczyznie :

½

x(t) = t + sin t
y(t) = cos t,

t ∈ [0, π],

Obliczy´c caÃlki:

a) skierowana :

Z

l

(x + y)dx + ydy;

b) nieskierowana :

Z

l

3xy

√

y + 1

dl.