04 Dynamika

56

D Y N A M I K A

DYNAMIKA

: badanie ruchu ciał materialnych oraz związków

pomiędzy siłami i ruchem, korzystając z pojęć kinematyki.

SIŁA – pojęcie pierwotne

SIŁA – wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania
na siebie co najmniej dwóch ciał. Oddziaływania te przeja-
wiają się przez wyprowadzenie ciała ze stanu spoczynku
lub zmianę parametrów ruchu ciała już poruszającego się.

PRAWA NEWTONA (1687)

I prawo Newtona (prawo bezwładności)

II prawo Newtona (prawo zmienności ruchu)

III prawo Newtona (prawo akcji i reakcji)

Prawa Newtona są słuszne przy założeniu istnienia NIERU-
CHOMEGO UKŁADU ODNIESIENIA, związanego z ABSO-

LUTNĄ PRZESTRZENIĄ oraz czasu niezależnego od układu

odniesienia - CZASU ABSOLUTNEGO.

Układ Galileusza, układ bezwładnościowy (inercyjny)

W ZAGADNIENIACH TECHNICZNYCH

UKŁADEM ODNIESIENIA JEST ZIEMIA

(w pewnych przypadkach –

SŁOŃCE).

04 Dynamika

57

DYNAMICZNE RÓWNANIE RUCHU

PUNKTU MATERIALNEGO

m a

P









SKALARNIE:

ma = P

MASA [kg]

PRZYSPIESZENIE [m/s

2

]

SIŁA: P = m  a =

kg

m

s

2

= 1 NEWTON (niuton)

ZASADA NIEZALEZNOŚCI DZIAŁANIA SIŁ

Przyspieszenie punktu materialnego na który działają siły

 



P P

P

n

1

2

,

,....,

, równe jest sumie geometrycznej przyspieszeń, któ-

re miał ten punkt, gdyby każda z tych sił działała na niego

osobno.

MASA

(stały współczynnik pro-

porcjonalności)

PRZYSPIESZENIE PUNKTU

wywołane oddziaływaniem siły P

SIŁA DZIAŁAJĄCA NA

PUNKT MATERIALNY

04 Dynamika

58

ZAGADNIENIE (ZADANIE) PROSTE

Znane skutki – nieznane przyczyny

Rozwiązywanie zagadnień prostych:

Dane: równania ruchu

x

x t

y

y t

z

z t







( ),

( ),

( )

Szukane

: siły

P

m x

P

m y

P

m z

x

y

z



















Wypadkowa wartość siły:

P

P

P

P

x

y

z







2

2

2

Cosinusy kierunkowe wypadkowej:

cos( , )

, cos( , )

, cos( , )







P x

P

P

P y

P

P

P z

P

P

x

y

z







ZAGADNIENIE (ZADANIE) ODWROTNE

Znane przyczyny – nieznane skutki

Rozwiązywanie zagadnień odwrotnych:

Dane

: siły





P

P t

 ( ), współrzędne położenia (x, y, z), prędkość





 

P

P t x x

 ( , ,  )

Szukane: równania ruchu

x

x t

y

y t

z

z t







( ),

( ),

( )

m x

P

m y

P

m z

P

x

y

z









 






METODY NUMERYCZNE

ZAŁOŻENIE: P = const







x t y t z t

( ), ( ), ( )



P

OBIEKT

(punkt, ciało)

04 Dynamika

59

RUCH SWOBODNY

Ruch swobodny

nie jest ograniczony działaniem więzów.

P

a

m









RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:

II prawo Newtona:

P

a

m

P

a

m

P

a

m

x

x





















Zależności z kinematyki:

x

v

a

x

v

x

x

x















Dynamika:

)

x

,

x

,

t

(

P

P





)

x

,

x

,

t

(

P

x

m





 



x = x(t, C

1

, C

2

)

Warunki początkowe:

0

0

t

0

0

t

v

)

x

(

,

x

)

x

(











RUCH KRZYWOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO.

RZUT UKO

ŚNY W PRÓŻNI

Równania dynamiczne ruchu dla osi X i Y:

P

x

= 0

0

x

m



 



1

x

C

x

v



 

2

1

C

t

C

x





P

y

= –G = –mg

mg

y

m





 



3

y

C

gt

y

v







 

4

3

2

C

t

C

2

gt

y









Warunki początkowe:













cos

v

)

v

(

0

)

x

(

0

0

t

x

0

t













sin

v

)

v

(

0

)

y

(

0

0

t

y

0

t

04 Dynamika

60

Stałe całkowania:

C

v

C

1

0

2

0







cos

C

v

C

3

0

4

0







sin 

v

v

x

v

t

x











0

0

cos

(

cos )





v

v

gt

y

v

t

gt

y











 

0

0

2

2

sin

(

sin )





Równanie toru:

2

2

2
0

x

cos

v

2

g

tg

x

y













Analiza ruchu:



45

dla

g

v

a

2

sin

g

v

a

a

x

0

y

2
0

max

2
0

















90

dla

g

2

v

h

sin

g

2

v

h

h

y

a

2

1

x

2
0

max

2

2
0















(rzut pionowy w górę)

RUCH NIESWOBODNY

Ruch swobodny ograniczony działaniem więzów i ich reakcji.

R

P

a

m













RUCH PROSTOLINIOWY PUNKTU MATERIALNEGO:

Równanie dynamiczne ruchu dla osi X:

T

sin

G

x

m







 



Równanie dynamiczne ruchu dla osi Y:









cos

G

N

y

m 



0



y





















cos

G

N

T

,

cos

G

N

Przyspieszenie ciała w ruchu nieswobodnym:

)

cos

(sin

g

a

)

cos

(sin

G

a

m





























.

04 Dynamika

61

SIŁA BEZWŁADNOŚCI

m a

P

P

m a

 





 











0

Siłę





m a



, równą co do wartości iloczynowi masy

i przy

spieszenia punktu materialnego, skierowaną

przeciwnie

do przyspieszenia, nazywa się

siłą bezwładności lub siłą d’Alemberta.

ZASADA D’ALEMBERTA

Podczas ruchu punktu materialnego w każdej chwili

wszystkie siły rzeczywiste działające na punkt materialny

oraz jego siła bezwładności pozostają w równowadze.

Działanie siły d’Alemberta

Dzięki zasadzie d’Alemberta równaniom różniczkowym

ruchu punktu materialnego nadana zostaje postać

rów

nań równowagi (równań statyki)

Fikcyjna siła

SIŁA

BEZWŁADNOŚCI

Wypadkowa sił

czynnych działają-

cych na punkt

04 Dynamika

62

ZASTOSOWANIE ZASADY D’ALEMBERTA

Przykład:

Przez gładki krążek przerzucono lekki, doskonale wiotki sznur, do
którego

jednego końca przymocowano ciało 1 o masie m

1

, a drugi

koniec przymocowano do ciała 2 o masie m

2

leżącego na chropowa-

tej poziomej płaszczyźnie o współczynniku tarcia . Wyznaczyć siłę
napięcia S w linie oraz wartość przyspieszenia a, z jakim poruszać
się będą oba ciała.

Równania dynamiczne ruchu:

m a

m g

S

m a

S

T

1

1

2















T

N

N

m g

T

m g















,

2

2

a

g m

m

m

m

S

m m g

m

m













(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

1





Równania statyki z zastosowa-

niem siły d’Alemberta:





















0

P

a

m

S

0

)

y

(

P

0

)

x

(

P

)

1

(

1























Q

N

0

)

y

(

P

0

a

m

T

S

0

)

x

(

P

)

2

(

2

g

m

P

g

m

Q

Q

P

)

1

(

Q

P

S

Q

P

Q

P

g

a

1

2























04 Dynamika

63

DYNAMIKA

UKŁADU CIAŁ SZTYWNYCH

Układy punktów materialnych

Dla układu punktów materialnych w jednorodnym

polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze

środkiem ciężkości.

SIŁY ZEWNĘTRZNE I WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE CIAŁ

SIŁY ZEWNĘTRZNE CZYNNE I BIERNE

Siły zewnętrzne czynne – wywołują ruch.
Siły zewnętrzne bierne (reakcje więzów) – przeciwdziałają ru-

chowi.

Układ (zbiór) ciał sztywnych – układ mechaniczny

SIŁY WEWNĘTRZNE W UKŁADZIE MECHANICZNYM – siły

oddzi

aływania między elementami układu (siły zewnętrzne dla

danego elementu).

ZASADA RUCHU ŚRODKA MASY

Środek masy ciała (układu ciał) porusza się jak punkt o

masie równej masie całego układu, do którego przyło-

żono wszystkie siły zewnętrzne działające na ciało

(układ ciał).

04 Dynamika

64

PĘD I POPĘD

Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

v = v

0

+ at.

Na podstawie II prawa Newtona:

mv - mv

0

= Ft.

PĘD CIAŁA (ilość ruchu): iloczyn masy i prędkości mv.

POPĘD CIAŁA (impuls): iloczyn siły i czasu jej działania Ft.

TWIERDZENIE O PĘDZIE I POPĘDZIE:

Przyrost pędu ciała równa się

popędowi udzielonemu temu ciału.

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:

Jeżeli w układzie dwóch ciał działają tylko siły wewnętrzne,

wówczas suma pędów tych ciał pozostaje zawsze stała.

Siły wewnętrzne – siły wewnątrz układu (pomija się siły pocho-

dzące od ciał nie należących do układu).

Pęd ciała 1: p

1

= m

1

v

1

Pęd ciała 2: p

2

= m

2

v

2

Siły wywołujące zmianę pędu: F

1

, F

2

III prawo Newtona: F

1

+ F

2

= 0

Stąd:

m

1

v

1

+ m

2

v

2

= const.

04 Dynamika

65

PRACA SIŁY

Pracą siły stałej co do wartości i kierunku na prostolinio-
wym przesunięciu punktu przyłożenia tej siły nazywa się

iloczyn war

tości bezwzględnej przesunięcia i miary rzutu tej

siły na kierunek tego przesunięcia.

L

P s





 

L

P

s

P s



 

 

( cos )

cos





Gdy  = 0 

L = P s [N  m]

[ ]

L

kg m

s

m

kg m

s

N m

J

















1

1

1

1

1

2

2

2

L

P s

P

s

P s

P s

x

x

y

y

z

z



 











 

L

P s

P

s

P s

P

s

P

s

i

i

i n

n



 









  

 

   









 





   





1

1

2

Prac wypadkowej sił przyłożonych do danego punktu

jest równa sumie prac poszczególnych sił.

PRACA SIŁY W RUCHU OBROTOWYM

Praca siły w ruchu obrotowym równa jest iloczynowi momentu

siły względem osi obrotu i kąta, o jakie obróci się ciało:

L

M

L



 

M

L

–

moment siły względem osi obrotu

04 Dynamika

66

PRACA SIŁ CIĘŻKOŚCI

Jednorodne pole sił ciężkości (w obszarze o rozmiarach

małych w porównaniu z promieniem Ziemi R = 6 371 km).

Praca wzdłuż łuku A

1

A

2

:

)

dz

P

dy

P

dx

P

(

L

z

y

A

A

x

2

1









Praca wykonana przez siłę ciężkości m  g działającą na punkt

materialny o masie m,

przy przejściu punktu z A

1

do A

2

.

Założenie:

P

P

P

m g

x

y

z





 



0

Praca siły

P



na skończonym odcinku łuku A

1

A

2

:

L

P dx P dy

P dz

m g

dz

m g

z

z

x

A A

y

z

A A







 





 







(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

L

m g h



 

Praca L nie zależy od kształtu toru po którym poruszał

się punkt materialny.

Pra

ca L w jednorodnym polu sił ciężkości (grawitacyj-

nych) nazywa się energią potencjalną.

L

V

V

mg z

z

mgh











1

2

1

2

(

)

04 Dynamika

67

MOC SIŁY

Moc –

praca wykonana przez siłę w ciągu jednostki czasu

N

dL

dt

P

ds

dt

P v















 

N

P v

P v







 

 

cos

gdy  





0

N

P v

[ ]

N

J

s

W





1

1

1

WAT

Przykład: Obliczyć pracę wykonana w t = 5 min przez
koło pasowe o r = 1,8 m wykonujące n = 120 obr/min.
Siły naciągu w pasach wynoszą: S

1

= 3600 N, S

2

=

7200 N. Obliczyć moc wykonywaną przez koło pasowe.

L

M

M

S

r

M

N m





















0

0

1

2

0

7200

3600 1 8

6480



(S

)

(

) ,

PRACA:

droga w czasie t = 5 min:









 



 

2

2

120 5

3769 9

n t

rad

,

L

M













0

7

6480 3769 9

2 443 10



,

,

MOC = PRACA/CZAS

t = 5  60 = 300 s

N

L

t

W

kW













2 443 10

300

8 143 10

81 43

7

4

,

,

,

Inaczej:

N

M

M

n

W





















0

0

4

2

60

6480 2

120

60

8 143 10







,

dL

P ds









ds

dt

v







04 Dynamika

68

SPRAWNOŚĆ

L – praca (energia) dostarczona do ur

ządzenia (maszyny)

L

u

–

praca użyteczna

L

s

– straty pracy (energii), tarcie, opory

L = L

u

+ L

s

Sprawnością maszyny nazywa się stosunek:

%

L

L

,

L

L

u

u

100











.

Maszyna idealna:  = 1.

Sprawność maszyny złożonej:  = 

1

 

2

 

3

 …. 

n

.

Definicja

sprawności oparta o moc:

%

N

N

,

N

N

u

u

100











Moc użyteczna maszyny: N

u

= N.

ENERGIA KINETYCZNA

Z prawa pędu i popędu, dla v

0

= 0:

Ft = mv - m 0.

Droga przebyta przez ciało w czasie t

równa się iloczynowi średniej prędkości v

śr

i czasu:

.

t

v

t

v

v

t

v

s

śr













2

1

2

0

Praca wykonana na rozpędzenie ciała i nadanie prędkości v:

2

2

1

2

1

2

v

m

v

v

m

t

v

t

v

m

s

F

L























.

W ruchu postępowym ciało o masie m i prędkości v posiada

energię kinetyczną E

k

, równą nagromadzonej pracy:

2

2

1

mv

E

k



.

04 Dynamika

69

ENERGIA KINETYCZNA

Energia kinetyczna i – tego punktu materialnego:

E

m

v

i

i

i





2

2

.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych:

E

E

m

v

i

i

i

i

i











2

2

.

Energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym:

E

m v

S





2

2

m –

masa ciała, v

S

–

prędkość środka masy ciała

Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym:

E

J

L



 

2

2

J

L

–

moment bezwładności ciała względem osi obrotu

 – prędkość kątowa ciała

Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu ogól-

nym:

E

m v

J

S

L









2

2

2

2



.

v

S

–

prędkość środka masy

J

L

–

moment bezwładności ciała względem osi chwilowego

obrotu, przechodzącej przez środek masy,

 – chwilowa prędkość kątowa wokół osi chwilowego obrotu.

04 Dynamika

70

TWIERDZENIE

O RÓWNOWAŻNOŚCI

PRACY I ENERGII KINETYCZNEJ

Przyrost energii kinetyczn

ej ciała sztywnego w skończonym

przedziale czasu

jest równy sumie prac, które wykonały w

tym samym cza

sie wszystkie siły zewnętrzne działające na

to ciało.

E

E

L

1

2

1 2







E

2

– energia kinetyczna w chwili t

2

,

E

1

– energia kinetyczna w chwili t

1

,

t

2

> t

1

ENERGIA MECHANICZNA

:

suma energii kinetycznej i potencjalnej E + V.

W czasie ruchu punktu materialnego w zachowawczym polu sił

energia mechaniczna pozostaje wielkością stałą.

Pole zachowawcze (potencjalne) –

pole sił, w którym praca

za

leży od położenia początkowego i końcowego, nie zależy od

postaci toru punktu (patrz: praca sił ciężkości).

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ

Podczas ruchu punktu materialnego w zachowawczym

polu

sił, jego energia mechaniczna jest wielkością stałą.

1

1

2

2

2

1

2

1

V

E

V

E

V

V

E

E













SIŁY ZACHOWAWCZE I NIEZACHOWAWCZE

SIŁY ZACHOWAWCZE (POTENCJALNE) – praca wykonana

przez te siły nad punktem materialnym poruszającym się po

dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru (siły ciężkości).

04 Dynamika

71

SIŁY NIEZACHOWAWCZE – praca wykonana przez te siły nad

punktem materialnym poruszającym się po dowolnej drodze

zamkniętej nie jest równa zeru (opór powietrza, siły tarcia).

04 Dynamika

72

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momenty bezwładności charakteryzują rozkład w prze-

strzeni masy danego układu punktów materialnych lub

bryły.

Na skutek nierównomiernego rozkładu masy, przy tej

samej masie

występują różne rodzaje ruchu.

x

xdV

m

y

ydV

m

z

zdV

m

c

V

c

V

c

V

























xdV

xdV

xdV

V

V

V

,

,







momenty statyczne

m

dm

dV

V

V











 – gęstość ciała

Momenty bezwładności charakteryzują rozkład w prze-

strzeni masy ciała materialnego.

Bryła

jednorodna

RUCH

POSTĘPOWY

Bryła

niejednorodna

RUCH

PŁASKI

(postępowy +

obrotowy)

04 Dynamika

73

DEFINICJA:





J

h dm

h dV

x

y dV

Z

V

V

V















2

2

2

2









J

y

z dV

X

V









2

2





J

z

x dV

Y

V









2

2

J

z dV

y dV

J

z dV

x dV

J

x dV

y dV

X

V

V

Y

V

V

Z

V

V

















































2

2

2

2

2

2

x dm

x dV

y dm

y dV

z dm

z dV

V

V

V

V

V

V

2

2

2

2

2

2

























,

,

,

– mom

enty bezwładności względem płaszczyzn układu współ-

rzędnych.

Wymiar momentu bezwładności: 1kg  m.

Moment bezwładności względem osi równy jest sumie momen-

tów względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych

płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.

BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI:









J

r dm

x

y

z dV

J

J

J

X

Y

Z

V

V

0

2

2

2

2

1

2





















Myślowo wydzielony

element

ciała