Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-1

Wykład 10

10. Zasada zachowania pędu II

10.1

Układy o zmiennej masie

Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się ukła-

dami, których masa zmienia się podczas obserwacji.

Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą

prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek po-
niżej).

Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością v

s

względem Ziemi. Prędkość

chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa

v, zatem prędkość spalin względem rakie-

ty v

wzg.

jest dana zależnością

v

wzgl

= v

s

– v

(10.1)

Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dm

s

z pręd-

kością v

0

to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym

t

m

t

m

s

d

d

d

d

−

=

(10.2)

Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu

t

t

t

spalin

rakiety

d

d

d

d

d

d

p

p

P

+

=

t

m

t

m

t

s

s

d

d

d

)

d(

d

d

v

v

+

=

P

t

m

t

m

t

m

t

s

s

d

d

d

d

d

d

d

d

v

v

v

+

+

=

P

(10.3)

Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak
i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu
jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ.

dm

s

m

v

v

s

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-2

Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do po-
staci

t

m

t

m

t

s

wzgl

zew

d

d

d

d

d

d

v

v

+

=

=

p

F

(10.4)

Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ
przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę

siły ciągu

.

Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne F

zew

są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch
odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas F

zew

reprezentuje ciężar

rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się
uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć F

zew

. Np. rakieta Saturn 5 o masie

ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.
Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000
kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem
rakiety jest równa 1500 m/s.

t

M

F

wzgl

d

d

v

=

więc

F = 1500·150 = 2.25·10

5

N

Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skiero-
wana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·10

5

N minus ciężar rakiety (1.5·10

5

N). Po zu-

życiu paliwa wynosi 2.25·10

5

N - 0.5·10

5

N = 1.75·10

5

N.

10.2

Zderzenia

10.2.1 Wstęp

Co rozumiemy poprzez zderzenie?

Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazy-

wamy

siłami impulsowymi

. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o

ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "doty-
kać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (

4

He) z jądrem jakiegoś

pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia możemy podciągnąć również

reakcje

. Proton w trakcie zderzenia z ją-

drem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpa-
dy cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron:

Σ = π

-

+ n.

Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:

•

można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"

•

prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na

podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wie-
my o siłach "podczas" zderzenia.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-3

10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia ale wiemy, że musi

być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu
przypadkach stosując te zasady przewidzieć wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy

sprężystym

, jeżeli

nie to

niesprężystym

.

Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między

atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze
w pewnym stopniu niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniu
jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest

cał-

kowicie niesprężyste

. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-

cisk wbija się w klocek.

Rozpatrzmy teraz zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraźmy

sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki.
Masy kul m

1

i m

2

, prędkości przed zderzeniem v

1

i v

2

a po zderzeniu u

1

i u

2

tak jak na

rysunku poniżej.

Z zasady zachowania pędu otrzymujemy

m

1

v

1

+ m

2

v

2

= m

1

u

1

+ m

2

u

2

(10.5)

Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z defi-
nicją). Otrzymujemy więc

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

u

m

u

m

m

m

+

=

+

v

v

(10.6)

Przepisujemy równanie (10.5) w postaci

m

1

(v

1

- u

1

) = m

2

(u

2

- v

1

)

(10.7)

a równanie (10.6) w postaci

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

v

v

−

=

−

u

m

u

m

(10.8)

m

1

u

1

m

1

v

1

m

2

u

2

m

2

v

2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-4

Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu
v

1

≠

u

1

i v

2

≠

u

2

)

v

1

+ u

1

= v

2

+ u

2

a po uporządkowaniu

v

1

- v

2

= u

2

- u

1

(10.9)

Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się czą-
stek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u

1

i u

2

. Wy-

starczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

v

v









+

+









+

−

=

m

m

m

m

m

m

m

u

(10.10)

oraz

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

v

v









+

−

+









+

=

m

m

m

m

m

m

m

u

(10.11)

Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:

•

m

1

= m

2

wtedy

u

1

= v

2

oraz

u

2

= v

1

czyli cząstki wymieniły się prędkościami.

•

v

2

= 0

wtedy

1

2

1

2

1

1

v









+

−

=

m

m

m

m

u

oraz

1

2

1

1

2

2

v









+

=

m

m

m

u

•

jeżeli jeszcze dodatkowo m

1

= m

2

wtedy

u

1

= 0

oraz

u

2

= v

1

(wymiana prędkości)

•

natomiast gdy m

2

>> m

1

to wtedy:

u

1

≅

– v

1

oraz

u

2

≅

0

Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywają-
cą) np. piłka uderza o ścianę.

•

wreszcie sytuacja odwrotna m

2

<< m

1

.

Wtedy

u

1

≅

v

1

oraz

u

2

≅

2v

1

.

Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-5

tracąc nic z prędkości. Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie np. elektro-
ny to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości. Zatem
trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutro-
nów.

Przy zderzeniach

niesprężystych

energia kinetyczna nie jest zachowana.

Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło
lub energię potencjalną deformacji.

Przykład 1

Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m

1

) w zderzeniu centralnym z jądrem

atomowym (m

2

) będącym w spoczynku?

Początkowa energia kinetyczna:

2

2

1

1

1

v

m

E

k

=

Końcowa energia kinetyczna:

2

2

1

1

2

u

m

E

k

=

Względne zmniejszenie energii kinetycznej:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

v

v

v

u

u

E

E

E

k

k

k

−

=

−

=

−

Ponieważ dla takiego zderzenia:

1

2

1

2

1

1

v









+

−

=

m

m

m

m

u

więc

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

)

(

4

1

m

m

m

m

m

m

m

m

E

E

E

k

k

k

+

=









+

−

−

=

−

•

dla ołowiu m

2

= 206 m

1

więc

%)

2

(

02

.

0

1

2

1

=

−

k

k

k

E

E

E

•

dla węgla m

2

= 12 m

1

więc

%)

28

(

8

2

.

0

1

2

1

=

−

k

k

k

E

E

E

•

dla wodoru m

2

= m

1

więc

%)

100

(

1

1

2

1

=

−

k

k

k

E

E

E

Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-
niaczem (a nie ołów).

Przykład 2

Wahadło balistyczne.
Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M, wi-
szącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v,
wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w
nim pociskiem) wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

10-6

mv = (m + M)u

Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):

(1/2)(m+M)u

2

= (m + M)gh

Po rozwiązaniu tych dwóch równań otrzymujemy:

gh

m

M

m

2

+

=

v

Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć prędkość
pocisku v.

Na zakończenie sprawdźmy jaka część początkowej energii zostaje zachowana w

tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek – po-
cisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymuje-
my

M

m

m

gh

m

M

m

m

gh

M

m

m

u

M

m

+

=











 +

+

=

+

2

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

2

2

2

v

Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek
m/(m+M)

≅

0.025. Oznacza to, że zachowane zostaje tylko 0.25% początkowej energii

kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.

m v

M

h