Równania konstytutywne
(równania materiałowe, związki fizyczne, związki fizykalne)

– definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie
teoretycznych analiz, weryfikowane doświadczalnie.

Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości równania te,
jako jedyne, definiują materiał – opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.

Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia –
tzw. materiały z pamięcią.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 1

Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości

ε

nie może

znaleźć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości

σ

.

Klasa materiałów bez pamięci – materiały sprężyste.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 2

OŚRODEK (MATERIAŁ) SPRĘŻYSTY

Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od
aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii odkształcenia
(materiał sprężysty - bez pamięci)

(

ij

ij

)

f e

σ

=

,

( )

ij

ij

e

g

σ

=

, e

ij

– ogólnie: tensor odkształcenia

f

i - funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół

nieliniowe

g

Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty, małe odkształcenia:

ij

ijkl kl

C

σ

ε

=

ij

σ σ

≡

– tensor naprężeń Cauchy

kl

ε ε

≡

– tensor małych odkształceń

Zapis absolutny:

C

σ

ε

= i (działanie: zwężeniae pełne, brak

analogii w rachunku macierzowym)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 3

– tensor stałych sprężystych - tensor IV walencji,

ogólnie 81 składowych

ijkl

C C

≡

Z symetrii tensorów

σ

i

ε

(

ij

ji

σ

σ

=

,

kl

lk

ε

ε

=

) wynikają

tożsamości

,

pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych

C

ijkl

jikl

jilk

C

C

C

=

=

Związek konstytutywny

ij

ijkl kl

C

σ

ε

=

, obejmujący 36 stałych

sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke’a dla ciał
anizotropowych.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 4

Przykład – efekt anizotropii (poza kursem WM)

Odkształcenie postaciowe – w tensorze odkształceń

ε

niezerowa

jedynie składowa

12

ε

Obecność w tensorze

C niezerowej składowej

powoduje, że

1112

C

11

1112 12

0

C

σ

ε

=

≠

Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym
kierunku własności materiału identyczne)

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 5

Notacja alternatywna

(stany naprężenia i odkształcenia – wektory)

:

1

11

4

23

3

2

22

5

31

13

3

33

6

12

21

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

≡

≡

≡

≡

≡

≡

σ

=

=

=

1

11

4

23

32

2

22

5

31

13

3

33

6

12

21

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

≡

≡

≡

≡

≡

≡

ε

=

=

=

W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie
macierzowej :

0,

,

1,...,6

K

KL L

C

K L

σ

ε

=

≠

=

Macierz

KL

C C

=

zawiera 36 stałych sprężystych.

Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym

Φ

(inaczej energią

właściwą odkształcenia sprężystego), w najprostszej postaci
wyrażona formą kwadratową

1
2

KL K L

C

ε ε

Φ =

Z istnienia tej funkcji wynika

KL

L

C

C

K

=

,

tylko 21 niezależnych stałych.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 6

Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:

Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym
punkcie – ośrodek ortotropowy, macierz stałych sprężystych w
postaci

11

12

13

21

22

23

31

32

33

44

55

66

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

12 niezależnych stałych, warunek

KL

L

C

C

K

=

– 9 stałych

Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np. ) – izotropia
poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.

3

x

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 7

Pełna izotropia
– izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:

ijkl

ij kl

ik

jl

il

jk

C

b

c

λδ δ

δ δ

δ δ

=

+

+

– trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke’a dla ciał izotropowych:

(

)

(

)

2

ij

ijkl kl

ij kl

ik

jl

il

jk

kl

ij kk

ij

ji

ij kk

ij

ij kk

ij

C

b

c

b

b c

c

σ

ε

λδ δ

δ δ

δ δ ε

λδ ε

ε

ε

λδ ε

ε

λδ ε

µε

=

=

+

+

=

+

+

=

+ +

=

+

=

lub

tr

2

I

σ λ ε

µ

=

+

ε

Liniowosprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy –

dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame

λ

i

µ

– postać

( )

f

σ

ε

=

Zależności odwrotne

( )

g

ε

σ

=

Relacja pomocnicza:

tr

tr

σ

ε

↔

:

(

)

3

2

3

2

ii

kk

ii

kk

σ

λε

µε

λ

µ ε

=

+

=

+

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 8

Stąd

1

3

2

kk

ii

ε

σ

λ

µ

=

+

Zatem

1

1

2

2 3

2

ij

ij

ij

kk

λ

ε

σ

δ

µ

µ λ

µ

=

−

+

σ

Zależności między stałymi Lame

λ

i

µ

a stałymi technicznymi

i

E

ν

.

Zapis wskaźnikowy związków konstytutywnych:

(

)

11

11

22

33

12

21

12

1

...

1

...

E

E

ε

σ

ν σ

σ

ν

ε

ε

σ

=

−

+

⎡

⎤

⎣

⎦

+

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 9

Zapis łączony:

1

ij

ij

ij

kk

E

E

ν

ν

ε

σ

δ σ

+

=

−

Zależności

(

)

1

1

2

2 1

E

G

E

ν

µ

µ

ν

+

=

⇒ =

=

+

(

)(

)

1

2 3

2

1

1 2

E

E

λ

ν

ν

λ

µ λ

µ

ν

ν

=

⇒ =

+

+

−

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 10

Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
(podstawa sformułowania ogólnego problemu TS !!!!!)

Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy

ij

σ σ

≡

– 6 składowych

symetryczny tensor małych odkształceń

ij

ε ε

≡

– 6 składowych

wektor przemieszczeń

k

u u

≡

razem 15 składowych

– 3 składowe

Zależności:
równania równowagi

div

0

b

σ ρ

+

=

– 3 równania

związki geometryczne

(

)

1
2

T

u

u

ε

=

∇ + ∇

– 6 równań

prawa konstytutywne

tr

2

I

σ λ ε

µε

=

+

razem 15 równań

– 6 równań

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 04 – str. 11