26

GRANICE FUNKCJI

1. Okre

ś

lenie granicy funkcji w punkcie x

0

Niech b

ę

dzie dana funkcja

f : A

∋

x

→

y = f (x)

∈

R , A

⊂

R

_____________________________________________

Definicja granicy funkcji (wg Heinego):

Liczb

ę

g nazywamy

granic

ą

funkcji

f : A

→

R

w punkcie

0

x

∈

R, co

zapisujemy

0

lim

x

x

→

f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy

1) dla ka

ż

dego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e x

n

∈

A, x

n

≠

x

0

dla n

∈

N i

∞

→

n

lim

x

n

= x

0

2) spełniony jest warunek

∞

→

n

lim

f (x

n

) = g

(tzn. ci

ą

g warto

ś

ci funkcji f ma granic

ę

g).

_____________________________________________

Uwagi.

1. Punkt x

0

mo

ż

e nale

ż

e

ć

do dziedziny funkcji f albo mo

ż

e nie

nale

ż

e

ć

do jej dziedziny.

2. Wyrazy dowolnego ci

ą

gu (x

n

) musz

ą

nale

ż

e

ć

do dziedziny

funkcji f oraz do

s

ą

siedztwa punktu

x

0

, tzn. do zbioru

(x

0 -

δ

, x

0

)

∪

(x

0

, x

0

+

δ

) , gdzie

δ

>

0

.

3. Zamiast zapisu

0

lim

x

x

→

f (x) = g jest stosowany zapis

f (x)



 →



→

0

x

x

g.

27

Przykład 1.1

We

ź

my pod uwag

ę

funkcj

ę

x

→

y = f (x) =

2

4

2

−

−

x

x

.

Jej dziedzin

ą

jest zbiór liczb A = R \

{

2

}

.

•

Niech x

0

= 2

∉

∉

∉

∉

A.

Dla dowolnego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e x

n

∈

A i x

n

≠

2 i

∞

→

n

lim

x

n

= 2

otrzymujemy

f (x

n

) =

2

4

2

−

−

n

n

x

x

=

2

)

2

)(

2

(

−

+

−

n

n

n

x

x

x

= x

n

+ 2



 →



→

2

n

x

4

A wi

ę

c dla dowolnego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e x

n

∈

A i x

n

≠

2 i

2

lim

=

∞

→

n

n

x

b

ę

dzie

∞

→

n

lim

f (x

n

) = 4

Zatem

2

lim

→

x

f (x) =

4

2

4

lim

2

2

=

−

−

→

x

x

x

.

•

Niech x

0

= -3

∈

∈

∈

∈

A.

Dla dowolnego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e x

n

∈

A i x

n

≠

-3 i

∞

→

n

lim

x

n

= -3

∞

→

n

lim

f (x

n

) = -1

A wi

ę

c

3

lim

−

→

x

f (x) =

.

1

2

4

lim

2

3

−

=

−

−

−

→

x

x

x

28

Niech f : A

∋

x

→

y = f (x)

∈

R , A

⊂

R.

Je

ż

eli

0

lim

x

x

→

f (x) = g, to mog

ą

wyst

ą

pi

ć

przypadki:

1) g

∈

R (g jest liczb

ą

rzeczywist

ą

sko

ń

czon

ą

),

2) g = -

∞

,

3) g = +

∞

.

Je

ż

eli g = -

∞

lub g = +

∞

, to mówimy,

ż

e funkcja f ma w punkcie x

0

granic

ę

niewła

ś

ciw

ą

.

Przykład 1.2

Niech b

ę

dzie dana funkcja x

→

y = f (x) =

2

1

x

.

Dziedzin

ą

tej funkcji jest zbiór A = (-

∞

, 0 )

∪

(0, +

∞

).

•

Niech x

0

= 0.

Bior

ą

c pod uwag

ę

dowolny ci

ą

g (x

n

) taki,

ż

e x

n

∈

A i x

n

≠

0 i

0

lim

=

∞

→

n

n

x

otrzymujemy

∞

→

n

lim

f (x

n

) =

∞

=

=

=

∞

→

0

1

0

*

0

1

1

lim

2

n

n

x

.

Zatem

0

lim

→

x

f (x) =

∞

.

29

2. Granice jednostronne.

_____________________________________________

Definicja.

Liczb

ę

g nazywamy

granic

ą

prawostronn

ą

funkcji f : A

→

R

w punkcie

x

0

(

granic

ą

lewostronn

ą

funkcji f: A

→

R

w punkcie

x

0

), co zapisujemy

+

→

0

lim

x

x

f (x) = g

(

−

→

0

lim

x

x

f (x) =g )

wtedy i tylko wtedy, gdy

1) dla ka

ż

dego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e

x

n

∈

A i x

n

>

x

0

dla n

∈

N (x

n

∈

A i x

n

<

x

0

dla n

∈

N),

0

lim

x

x

n

n

=

∞

→

spełniony jest warunek

2)

∞

→

n

lim

f (x

n

) = g .

_____________________________________________

Przykłady

1)

1

|

|

lim

0

=

+

→

x

x

x

,

1

|

|

lim

0

−

=

−

→

x

x

x

;

2)

+∞

=

−

=

→

1

1

lim

1

x

x

,

−∞

=

−

−

→

1

1

lim

1

x

x

;

3)

−∞

=

+

∏

→

x

x

tg

lim

2

,

+∞

=

−

∏

→

x

x

tg

lim

2

;

4)

+∞

=

=

→

2

0

1

lim

x

x

,

+∞

=

−

→

2

0

1

lim

x

x

.

30

3. Granice funkcji w punktach niewła

ś

ciwych (x

0

= -

∞

lub x

0

= +

∞

)

_____________________________________________

Niech f : A

∋

x

→

y = f (x)

∈

R, gdzie A = (-

∞

, a ) lub A = (-

∞

, a ].

Definicje.

Funkcja

f : A

→

R

ma

w x

0

= -

∞

granic

ę

g

∈

R, co zapisujemy

−∞

→

x

lim

f(x)=g,

(

granic

ę

-

∞

, co zapisujemy

−∞

→

x

lim

f (x) = -

∞

) (

granic

ę

+

∞

, co zapisujemy

−∞

→

x

lim

f (x) = +

∞

) wtedy i tylko wtedy, gdy

dla ka

ż

dego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e x

n

∈

A i

∞

→

n

lim

x

n

= -

∞

spełniony jest

warunek

∞

→

n

lim

f (x

n

) = g (

∞

→

n

lim

f (x

n

) = -

∞

)

(

∞

→

n

lim

f (x

n

) = +

∞

).

_____________________________________________

Przykłady

3.1) x

→

y = f (x) = 3 -

x

1

,

−∞

→

x

lim

(3 -

x

1

) = 3;

3.2) x

→

y = f (x) = 2x +5,

−∞

→

x

lim

(2x + 5) = -

∞

;

3.3) x

→

y = f (x) = x

2

,

−∞

→

x

lim

x

2

= +

∞

.

31

_____________________________________________

Niech f : A

∋

x

→

y = f (x)

∈

R, gdzie A = (a , +

∞

) lub A = [a , +

∞

).

Definicje.

Funkcja

f : A

→

R

ma

w x

0

= +

∞

granic

ę

g

∈

R, co zapisujemy

∞

→

x

lim

f (x)=g,

(

granic

ę

-

∞

, co zapisujemy

∞

→

x

lim

f (x) = -

∞

), (

granic

ę

+

∞

, co zapisujemy

∞

→

x

lim

f (x) = +

∞

))

wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka

ż

dego ci

ą

gu (x

n

) takiego,

ż

e

x

n

∈

A i

∞

→

n

lim

x

n

= +

∞

spełniony jest warunek

∞

→

n

lim

f (x

n

) = g

(

∞

→

n

lim

f (x

n

) = -

∞

)

(

∞

→

n

lim

f (x

n

) = +

∞

).

_____________________________________________

Przykłady

3.4) x

→

y = f (x) =

x

1

,

+∞

→

x

lim

x

1

= 0;

3.5) x

→

y = f (x) = -3x+1,

∞

→

x

lim

( -3x+1) = -

∞

;

3.6) x

→

y = f (x) = x

2

,

∞

→

x

lim

x

2

= +

∞

.

32

4. Twierdzenie o granicach funkcji

Niech b

ę

d

ą

dane funkcje

f : A

∋

x

→

y = f (x)

∈

R, A

⊂

R;

g : B

∋

x

→

y = g (x)

∈

R, B

⊂

R.

Je

ż

eli

Χ

= A

∩

B

≠

∅

, to mo

ż

emy okre

ś

li

ć

(skonstruowa

ć

funkcj

ę

f + g ,

f – g, f

⋅

g , a w zbiorze

Χ

- {x

∈

B ; g (x) = 0} tak

ż

e

.

)

(

)

(

x

g

x

f

Twierdzenia.

Je

ż

eli istniej

ą

0

lim

x

x

→

f (x) = g

1

,

0

lim

x

x

→

g (x) = g

2

, to

4.1.

0

lim

x

x

→

(f (x) + g (x)) = g

1

+g

2

;

4.2.

0

lim

x

x

→

(f (x) - g (x)) = g

1

– g

2

;

4.3.

0

lim

x

x

→

(f (x)

⋅

g (x) = g

1

⋅

g

2

;

4.4.

0

lim

x

x

→

2

1

)

(

)

(

g

g

x

g

x

f

=

, o ile g

2

≠

0 i g (x)

≠

0 w pewnym s

ą

siedztwie

punktu x

0

.

Uwagi.

•

Twierdzenia te s

ą

formułowane dla x

0

∈

R oraz g

1

∈

R i g

2

∈

R.

•

Analogicznie twierdzenia s

ą

prawdziwe w przypadku granic

jednostronnych, oraz gdy x

0

= -

∞

lub x

0

= +

∞

, a tak

ż

e dla g

1

= -

∞

lub g

1

= +

∞

oraz g

2

= -

∞

lub g

2

= +

∞

, o ile tylko liczby g

1

+ g

2

, g

1

–

g

2

, g

1

⋅

g

2

, g

1

: g

2

s

ą

okre

ś

lone w zbiorze R (nie s

ą

symbolami

nieoznaczonymi).

33

Ć

wiczenia

1. Wyznaczy

ć

granice (o ile istniej

ą

)

x

x

x

x

−

+

→

1

2

3

lim

2

3

,

x

x

x

x

−

+

−

→

1

2

3

lim

2

1

,

x

x

x

x

−

+

+

→

1

2

3

lim

2

1

.

2. Wyznaczy

ć

granice

2

1

lim

x

x

−∞

→

,

2

0

1

lim

x

x

−

→

,

2

0

1

lim

x

x

+

→

,

2

1

lim

x

x

+∞

→

.

3. Wyznaczy

ć

granice

4

8

6

lim

2

2

2

−

+

−

→

x

x

x

x

,

4

8

6

lim

2

2

2

−

+

−

−

−

→

x

x

x

x

,

4

8

6

lim

2

2

2

−

+

−

+

−

→

x

x

x

x

,

4

8

6

lim

2

2

−

+

−

−∞

→

x

x

x

x

,

4

8

6

lim

2

2

−

+

−

+∞

→

x

x

x

x

.

4. Wyznaczy

ć

granice

x

x

−∞

→

lim

,

x

x

+∞

→

lim

,

x

x

−

→

0

lim

,

x

x

+

→

0

lim

,

x

x

1

lim

−∞

→

,

x

x

1

lim

+∞

→

,

x

x

1

lim

0

−

→

,

x

x

1

lim

0

+

→

.

5. Wyznaczy

ć

granice

−∞

→

x

lim

(x –1),

+∞

→

x

lim

(x – 1),

−

→

0

lim

x

(x – 1),

+

→

0

lim

x

(x –1),

1

1

lim

−

−∞

→

x

x

,

1

1

lim

−

+∞

→

x

x

,

1

1

lim

0

−

−

→

x

x

,

1

1

lim

0

−

+

→

x

x

.