www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

OPRAWKOWY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

25

SIERPNIA

2009

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(5

PKT

.)

Dla jakich m

∈

R

równanie x

2

−

mx

+

m

+

3

=

0 ma dwa ró ˙zne rozwi ˛azania, których suma

odwrotno´sci jest mniejsza od 1?

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(5

PKT

.)

Wyznacz taki punkt A na prostej 2x

+

y

−

1

=

0, by suma kwadratów jego odległo´sci od osi

układu była najmniejsza.

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(4

PKT

.)

Dany jest wykres funkcji logarytmicznej f .

+1

+2

+5

x

-2

-1

+1

+2

y

a) Wyznacz wzór funkcji f .

b) Narysuj wykres funkcji g

(

x

) = |

f

(

x

) −

2

|

.

c) Odczytaj z rysunku zbiór argumentów, dla których warto´sci funkcji g s ˛a nie mniejsze

od warto´sci funkcji f .

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(3

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze je´sli α, β s ˛a k ˛atami ostrymi trójk ˛ata prostok ˛atnego, to tg α

+

tg β

>

2.

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(4

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z w zbiorze

(−

2π, π

)

równanie

(

sin x

−

cos x

)

2

=

1.

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

Ci ˛ag

(

a

n

)

jest arytmetyczny oraz a

1

=

x

i a

2

=

4x

−

1. Wiedz ˛ac, ˙ze a

1

+

a

2

+

a

3

+

a

4

+

a

5

=

25

oblicz x oraz sum˛e a

11

+

a

12

+

a

13

+ · · · +

a

25

.

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(4

PKT

.)

Trapez równoramienny ABCD jest opisany na okr˛egu o promieniu r. Przek ˛atna trapezu
tworzy z dłu ˙zsz ˛a podstaw ˛a k ˛at α. Wyznacz obwód tego trapezu.

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(4

PKT

.)

Na przyprostok ˛atnych AB i AC trójk ˛ata prostok ˛atnego równoramiennego ABC zaznaczono
odpowiednio punkty K i L tak, ˙ze

|

AK

|

|

KB

|

=

|

CL

|

|

LA

|

=

1

2

. Odcinki BL i CK przecinaj ˛a si˛e w punkcie

M

. Oblicz

|

MB

|

|

MK

|

.

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(4

PKT

.)

Ile punktów wspólnych ma prosta MN z okr˛egiem x

2

+

y

2

−

2x

−

6y

=

0 je´sli M

= (

2009, 4012

)

oraz N

= (−

50,

−

106

)

.

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(3

PKT

.)

Dane s ˛a punkty A

= (

6

√

3, 2

)

, B

= (−

√

3, 23

)

, C

= (−

√

10, 26

)

. Opisz za pomoc ˛a nierów-

no´sci półpłaszczyzn˛e o kraw˛edzi AB, do której nale ˙zy punkt C.

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(5

PKT

.)

Podstaw ˛a ostrosłupa ABCDS jest prostok ˛at ABCD o bokach długo´sci

|

AB

| =

7 i

|

BC

| =

14.

Kraw˛ed´z CS jest prostopadła do podstawy. Najdłu ˙zsza kraw˛ed´z boczna tworzy z podstaw ˛a
k ˛at 50

◦

. Wykonaj rysunek pomocniczy tego ostrosłupa oraz oblicz jego obj˛eto´s´c.

13

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

12

(4

PKT

.)

Do kina wybrało si˛e 7 osób, w´sród nich Basia i Janek. Wszyscy usiedli w jednym rz˛edzie, w
którym jest dokładnie 7 wolnych miejsc. Oblicz, na ile sposobów wymienione osoby mog ˛a
zaj ˛a´c miejsca tak, by Basia i Janek siedzieli obok siebie. Oblicz te ˙z prawdopodobie ´nstwo
tego, ˙ze przy losowym zajmowaniu miejsc Basia i Janek nie siedz ˛a obok siebie.

14