Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

1

Przykłady statycznej i dynamicznej równowagi rynkowej

I Model liniowy statycznej równowagi rynkowej

a) Opis modelu dla jednego dobra
Niech

oznacza popyt na dobro,

- podaż. Zakładamy, że obie

funkcje są liniowymi funkcjami ceny p:

= a-bp, a>0, b>0

= dp - c; c >0, d >0

Równowaga na rynku powstaje wtedy i tylko wtedy gdy popyt jest
równy podaży. Zatem poszukujemy takiej ceny, przy której realizuje
się ta równość.
a - bp = - c + dp
Rozwiązaniem (ceną równowagi) jest :

p* =

a

a - bp

dp - c

0 p* -cena równowagi p

-c

Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

2

b) Model rynku z n dobrami

W ogólnym przypadku, w modelu liniowym uwzględniającym n
dóbr, zarówno popyt jak i podaż są funkcjami cen rynkowych
wszystkich dóbr. Ogólna równowaga rynkowa dotyczy każdego
dobra z osobna. Zatem w przypadku n=2 model jest opisany
następująco :

dla pierwszego dobra :

=a

0

+a

1

p

1

+a

2

p

2

=b

0

+b

1

p

1

+b

2

p

2

dla drugiego dobra:

=

0

+

1

p

1

+

2

p

2

=

0

+

1

p

1

+

2

p

2

gdzie współczynniki a

0

,a

1

,a

2

,b

0

,b

1

,b

2

odnoszą się do popytu i podaży

,

pierwszego dobra, natomiast

0

,

1

,

2

,

0

,

1

,

2

do

popytu i podaży (

,

drugiego dobra.

Po uporządkowaniu równania równowagi maja postać :
(*) (a

1

–b

1

) p

1

+(a

2

–b

2

)p

2

= – (a

0

– b

0

)

(

1

–

1

) p

1

+(

2

–

2

)p

2

= – (

0

–

0

)

Otrzymaliśmy układ 2 równań z dwiema niewiadomymi: p

1

, p

2

.

Rozwiązaniem układu (*) są ceny równowagi.


Nie jest trudno zauważyć, jaką postać przybiera układ równań na ceny
równowagi w przypadku większej liczby dóbr. Ograniczymy się tym
razem do konkretnego równania na ceny równowago dla n=3.

Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

3

Zadanie. Dla danego modelu rynku z 3 dobrami, równania
równowagi (*) przybierają postać:

-3p

1

+2p

2

+p

3

=-8

p

1

- 4p

2

+2p

3

=-2

p

1

+p

2

-2p

3

=-4

Wyznaczyć ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.
(Dla ułatwienia podajemy odpowiedź :p

1

= 18, p

2

=14, p

3

=18).

Niech

b =

-wektor wyrazów wolnych x=

– wektor niewiadomych

A=[

] i=1,2,…,n; j =1,2,…,n; - macierz współczynników.

Zakładamy, że det (A)

Rozważamy układ równao Cramera: Ax= b

(Twierdzenie Cramera)

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to

dane jest wzorem.

gdzie macierz

powstaje z macierzy współczynników A przez

zastąpienie k-tej kolumny wektorem wyrazów wolnych b.

II Model dynamiczny tzw. model pajęczyny
Rozważmy wersję modelu I. a), w którym podaż

jest

traktowana jako funkcja nie bieżącej ceny ale ceny z poprzedniego
okresu. Dla ułatwienia w modelu tym, ze względu na dodatkowy
indeks czasowy, zmienimy nieco oznaczenia.

Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

4

Model pajęczynowy

Załóżmy, że cena P

t

, popyt D

t

i podaż S

t

pewnego towaru na rynku

w okresach t=1,2,... są związane równaniami
a) S

t

=D

t

,

b) D

t

= a

bP

t

,

c) S

t

=

c + d P

t-1

gdzie a,b,c,d są dodatnimi parametrami.

Funkcjonowanie modelu

Zakładamy, że w każdym momencie, cena rynkowa jest ustalana

na poziomie oczyszczającym rynek (równanie a)), a popyt i podaż
kształtują się na poziomach opisanych równaniami b) i c).
(Zauważmy, że funkcja podaży jest zależy od ceny z opóźnieniem o
jeden okres).).

Podobnie jak w modelu 1 rozwiązanie równowagi znajdujemy
przyjmując
P

t

=

,

~

P D

t

= D

~

, S

t

=

S

~

, t=1,2,....

Równania a)-c) maja teraz postać

D

~

= a

b ,

~

P

S

~

=D

~

,

S

~

=

c+d P

~

Stąd wynika, że a – b P

~

=

c + d P

~ . Istnieje więc dokładnie

jeden stan równowagi przy cenie P

~

=

d

b

c

a





.

Kiedy równowaga jest stabilna ze względu na początkową wartość P

0

?

Kiedy przy zmianach początkowej ceny: P

t

P

~



.

?

Z równań a) – c) postaramy się odszukać wartość P

t

Z a) i b) wynika, że D

t+1

= a-bP

t+1

, S

t+1

=D

t+1

.

Wykorzystując c) mamy:

-c + d P

t

= a - b P

t+1

.

Dla ułatwienia wprowadzając oznaczenie Q

t

= P

t

- P

~

otrzymujemy

c+d Q

t

+d P

~

= a – b Q

t+1

- b P

~

Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne

5

Stąd

Q

t+1

=

b

)

d

b

(

P

~

c

a

Q

b

d

t











.

Wstawiając

P

~

=

d

b

c

a





otrzymujemy

Q

t+1

=

t

Q

b

d



.

Ostatnie równanie jest równaniem wzrostu, w którym c=

b

d



.

Zatem

Q

t

=Q

o

c

t

.

Wracając do poprzednich oznaczeń

Q

t

= P

t

- P

~

otrzymujemy: P

t

- P

~

= (P

0

- P

~

) c

t

,

a więc P

t

= P

~

+ (P

0

- P

~

) c

t

gdzie c=

b

d



.

Wniosek.

 Jeśli d<b to |c|<1 i P

t



P

~ . Jeśli d>b to |c|>1 i |P

t

|





.

(Slajd: Pajęczyna).