POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA

w Kielcach

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN

ZAKŁAD MECHATRONIKI

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

INSTRUKCJA

ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1

Temat: Badania symulacyjne podstawowych członów automatyki

(wyznaczanie odpowiedzi na wymuszenie skokowe). Zapoznanie się z

programem Matlab-Simulink. cz.1

Opracował:

dr inż. Paweł Łaski

Kielce 2006

Zasady pracy w Simulinku

Pracę z Simulinkiem można rozpocząć z okna poleceń Matlaba podając komendę:
» simulink
Wykonanie tego polecenia powoduje pojawienie się okna z tytułem simulink, którego
zawartość przedstawia rysunek:

Okno Simulinka

Okno to zawiera następujące biblioteki programowe:

Sources - bloki do generowania różnych sygnałów. Bloki tej biblioteki posiadają tylko
sygnały wyjściowe. Jej zawartość ilustruje rysunek.

Bloki biblioteki Sources

Funkcje realizowane przez poszczególne bloki:

• Clock - podaje czas symulacji i wyprowadza go jako zmienną;

• Signal Generator - generator sygnałowy fali sinusoidalnej, prostokątnej, pół-kształtnej

i przebiegu losowego;

• Sine Wave - generator fali sinusoidalnej;
• From File - odczyt danych z mat-pliku;

• Random Number - generator szumu białego z rozkładem Gaussa;

• Digital Clock - zegar cyfrowy;
• Constant - zadaje wartość stałą niezależną od czasu;

• Step Input - sygnał skoku jednostkowego;

• From Workspace - pobiera dane z przestrzeni roboczych;
• Band-Limited White Noise - generator szumu białego z ograniczonym pasmem;

• Repeating Sequence - generator dowolnego sygnału o zadanym okresie powtarzania;

• Pulse Generator - generator fali prostokątnej;
• Chirp Signal - generator sygnału z liniową rosnącą częstotliwością.

Sinks zawiera bloki przeznaczone do wizualizacji wyników, a także do sterowania
przebiegiem symulacji. Rodzaje bloków występujących w tej bibliotece ilustruje rysunek.

Bloki biblioteki Sinks

Bloki umieszczone w bibliotece Sinks zawierają jedynie wejścia i realizują następujące
funkcje:

• Scope - „oscyloskop";

• Graph - okno graficzne Matlaba do wykresów czasowych;

• Auto-Scale Graph - okno graficzne z automatycznym przesuwaniem skali;
• XY Graph - okno graficzne Matlaba do wykonywania wykresów XY;

• To Workspace - przesyła przebiegi czasowe do przestrzeni roboczej programu Matlab;

• To File - zapamiętuje przebiegi czasowe w mat-pliku;

• Stop Simulation - zatrzymuje symulację;

• Hit Crossing - automatycznie zwiększa dokładność obliczeń w otoczeniu punktów

nieciągłości.

Discrete - biblioteka bloków dyskretnych. Każdy z tych bloków zawiera na wejściu
impulsator oraz ekstrapolator zerowego rzędu (zero-order hołd) na wyjściu. Czas
próbkowania może być określony oddzielnie dla każdego bloku. Podaje się go w polu okna
dialogowego danego bloku. Wartości wyjściowe bloków dyskretnych są aktualizowane tylko
w momentach czasu t

odpowiadających całkowitej wielokrotności czasu

próbkowania T

s

(t=nT). Czas próbkowania T

s

może być wartością skalarną lub wektorową.

Bloki umieszczone w bibliotece Discrete realizują następujące funkcje:

Bloki biblioteki Discrete

• Unit Delay - opóźnienie sygnału wyjściowego (o jeden cykl okresu próbkowania);
• Discrete Zero-Pole - transmitancja dyskretna; dla zdefiniowania tej transmi-tancji

należy podać wartości zer, biegunów i współczynnik wzmocnienia;

• Filter - transmitancja filtru dyskretnego; jest określona wektorami współczynników

licznika i mianownika; współczynniki są podawane według malejących potęg
operatora l/z;

• Discrete Transfer Fen - transmitancja dyskretna opisana przez podanie wektorów

współczynników licznika i mianownika uszeregowanych według malejących potęg
operatora z;

• Discrete State-Space - model układu zapisany w postaci dyskretnego równania stanu i

wyjścia;

• Zero-Order Hołd, First-Order Hołd - ekstrapolatory odpowiednio zerowego i

pierwszego rzędu;

• Discrete-Time Integrator - dyskretny element całkujący;
• Discrete-Time Limited Integrator - element całkujący dyskretny z ograniczeniem

sygnału wyjściowego w zadanym zakresie.

Linear jest biblioteką bloków liniowych, której zawartość przedstawia rysunek:

Bloki biblioteki Linear

Biblioteka ta zawiera bloki:

• Sum - element sumujący; liczbę i rodzaj znaków (+-) określa użytkownik;

• Inner Product - iloczyn skalarny wektorów wejściowych;
• Integrator - element całkujący;

• Derivative - element różniczkujący;

• Gain - element wzmacniający (wyjście = Gain * wejście);
• Matrix Gain - macierzowy element całkujący;

• Slider Gain - wzmacniacz z nastawianiem wzmocnienia za pomocą suwaka;

• Transfer Fcn - transmitancja ciągła; dla określenia jej należy podać wektor

współczynników wielomianów licznika i mianownika; współczynniki są podawane w
kolejności malejących potęg s;

• Zero-Pole - transmitancja ciągła określona przez podanie biegunów, zer oraz

współczynnika wzmocnienia;

• State-Space - równanie stanu i wyjścia modelu ciągłego. Należy podać macierze A, B,

C, D oraz warunki początkowe.

Nonlinear zawiera bibliotekę bloków nieliniowych. Jej zawartość przedstawia rysunek:
W bibliotece tej występują bloki:

• Sign - realizuje zależność y = sign(x);
• Relay - przekaźnik dwupołożeniowy; należy podać: wartość, przy której zachodzi

załączenie i wyłączenie oraz wartość, jaka wystąpi na wyjściu po włączeniu i
wyłączeniu;

• Backlash - strefa histerezy;

• Saturation - element typu nasycenie; powoduje ograniczenie sygnału wyjściowego w

określonym zakresie;

Bloki biblioteki Nonlinear

• Quantizer - przekształca sygnał wejściowy w funkcję schodkową; wymaga podania

wartości przedziału kwantyzacji;

• Dead Zone - element typu strefa nieczułości; należy podać początkową i końcową

wartość strefy nieczułości;

• Coulombic Friction - element typu tarcie kulombowskie; realizuje zależność y =

sign(x) * (Gain * abs(x) + offset); w celu zdefiniowania elementu należy podać dwa
parametry: Gain i offset;

• Rate Limiter - ogranicznik szybkości zmian sygnału; należy podać współczynnik

nachylenia prostej dla dodatnich i ujemnych wartości sygnału wejściowego;

• Product - iloczyn wartości wejściowych; użytkownik musi podać liczbę wejść;

• Abs - wartość bezwzględna sygnału wejściowego (y = I u |);

• Look Up Table - określa funkcję odcinkowo-liniową na podstawie zadanej tablicy

(look up table);

• 2-D Look-Up Table - dwuwymiarowa tablica zależności;

• Relational Operator - operator relacji: <,<=,>=, = = , ~ = ;

• Logical Operator - realizuje operację logiczną na wartościach wejściowych.

Użytkownik podaje nazwę operatora logicznego (AND, OR, NAND, NOR, XOR,
NOT) oraz liczbę wejść;

• Combinatorial Logic - tablica logiki kombinatorycznej (tzw. tablica prawdy, tnie

table);

• Switch - służy do przełączania sygnałów wejściowych. Działanie bloku ilustrują

rysunki:

gdzie Xl, X3 są sygnałami wejściowymi, a X2 jest sygnałem sterującym;

• Fen - blok wyrażenia definiowanego przez użytkownika. Jako nazwę zmiennej

wejściowej należy używać u, np. cos(«[l]*exp(3.2-M[2]));

• S-Function - tzw. funkcja systemowa. Definicją S-funkcji może być schemat graficzny

utworzony w Simulinku, m- lub mex-plik. Nazwę S-funkcji podaje się w oknie
dialogowym (podobnie jak inne parametry);

• MATLAB Fen - blok zwracający funkcję Matlaba. Funkcja może być również

zdefiniowana w m-pliku funkcyjnym, którego nazwę podaje się w oknie dialogowym;

• Reset Integrator - blok całkujący z resetowaniem. Jego działanie polega na tym, że

zachodzi całkowanie sygnału z pierwszego wejścia (gdy na wejściu drugim jest sygnał
zero). Kiedy wejście 2 jest niezerowe, zachodzi przełączenie na wejście trzecie;

• Memory - blok używany do usuwania pętli algebraicznych. Jest wykorzystywany

łącznie z blokiem Clock dla określenia kroku całkowania poprzez spowodowanie
opóźnienia o jeden krok całkowania. W oknie dialogowym należy podać warunek
początkowy;

• Transport Delay - blok realizujący tzw. „czyste" opóźnienie. Należy podać trzy

parametry: początkową wartość odliczania czasu opóźnienia, czas trwania opóźnienia
i wielkość bufora startowego;

• Variable Transport Delay - blok zmiennego opóźnienia transportowego. Definicja

bloku wymaga podania maksymalnej wartości czasu opóźnienia, początkowej
wartości odliczania czasu oraz rozmiaru bufora. Sygnał na drugim wejściu reguluje
wartość czasu opóźnienia;

• Limited Integrator - integrator z ograniczeniem górnej (Upper bound) i dolnej (Lower

bound) granicy całkowania. Wartości te wprowadzane są przez użytkownika,
podobnie jak warunek początkowy. Dostępny jest rozmaskowany schemat tego bloku.

Connections zawiera bibliotekę połączeń. Należą do niej:

• Inport - port wejściowy; służy do wprowadzania zewnętrznych sygnałów wejściowych

do podsystemu;

• Outport - port wyjściowy; służy do wyprowadzania sygnałów wyjściowych

podsystemu do bloków zewnętrznych;

• Mux - dokonuje przekształcenia skalarnych sygnałów wejściowych w sygnał

wektorowy. Użytkownik podaje liczbę wejść;

• Demux - demultiplekser; dokonuje przekształcenia sygnału wektorowego na sygnały

skalarne. Użytkownik podaje liczbę wyjść.

Bloki biblioteki Connections

Extras zawiera dodatkowe biblioteki.
Biblioteka Demos zawiera dodatkowe toolbox-y jako rozszerzenia możliwości pakietu
SIMULINK.

Tworzenie modelu graficznego w Simulinku

Definiowanie nowego modelu w formie schematu blokowego (graficznie) odbywa się

po wywołaniu programu Simulink z okna poleceń Matlaba (MATLAB Command Window),
wyborze z menu File i opcji New. Powoduje to otwarcie nowego okna dla tego modelu, a
następnie umieszczenie w nim ikon bloków zawartych w bibliotekach Simulinka i połączenie
tych bloków liniami reprezentującymi ich wzajemne powiązania.

Konstruowanie modelu odbywa się w tzw. edytorze graficznym Simulinka, do którego
przenoszone są ikony bloków zawartych w bibliotekach standardowych lub własnych. Każdy
blok posiada swój symbol graficzny - ikonę. Przykłady standardowych i własnych ikon
bloków przedstawia rysunek:

Przykłady różnych ikon występujących w Simulinku

Maskowanie bloku umożliwia zmianę ikony bloku (oraz zawartości jego okna dialogowego).
Każdy blok ma unikalną (w danym modelu) nazwę, którą można edytować i zmieniać po
wskazaniu i kliknięciu jej pola kursorem myszy. Nazwa bloku jest umieszczona na zewnątrz
jego symbolu graficznego. Usytuowanie nazwy zależy od orientacji bloku.
Położenie nazwy bloku w zależności od orientacji bloku
Bloki mogą mieć wejścia (>) i wyjścia (>), a każdy blok ma swoje okienko dialogowe, które
otwiera się po wskazaniu ikony bloku kursorem myszy i podwójnym kliknięciu jej lewym
klawiszem. Wybór przycisku Help otwiera okienko pomocy dla danego bloku.

Działania na blokach w Simulinku

Na blokach mogą być wykonywane takie operacje, jak:

• zmiana położenia
• zmiana rozmiaru

• kopiowanie bloku

• usuwanie bloku.

Każda czynność wykonywana na bloku (blokach) powinna być poprzedzona wyborem bloku
(bloków). Wybór ten jest realizowany w następujący sposób:

• wybór jednego bloku lub napisu - wskazanie bloku lub napisu kursorem myszy i

jednokrotne kliknięcie lewym klawiszem;

• wybór fragmentu modelu - ustawić kursor myszy w lewym górnym rogu obszaru, na

którym znajduje się określony fragment modelu, a następnie wcisnąć lewy klawisz
myszy i trzymając go przeciągnąć kursor do dolnego prawego rogu zaznaczonego
fragmentu.

Dwa oddalone od siebie elementy schematu można zaznaczyć też w ten sposób, ale po
wskazaniu każdego z elementów należy kliknąć jednocześnie lewym i prawym klawiszem
myszy;

• wybór wszystkich elementów modelu - należy wykonać polecenie

Edit|Select All w oknie Simulinka.

• Zaznaczony blok lub zestaw bloków może być:

• usunięty przez naciśnięcie klawisza Del (lub przez wybór z menu okna Simulink

Edit|Clear);

• usunięty z jednoczesnym przekopiowaniem do pamięci podręcznej przez wybór Edit |

Cut z menu okna Simulink;

• przekopiowany do pamięci podręcznej poprzez wybór Edit|Copy z menu okna

Simulink. Zawartość pamięci podręcznej może być przekopiowana do okna
graficznego Matlaba w miejsce wskazane kursorem myszy, poprzez wybór Edit |
Paste.

• przesunięty w obrębie okna jednego modelu lub przekopiowany do innego okna; jest

tu wykorzystana tzw. technika ciągnij i upuść, która jak wiadomo polega na tym, że
należy wskazać zaznaczony element kursorem myszy, wcisnąć jej lewy klawisz i
trzymając go przesunąć zaznaczony element w nowe miejsce (w obrębie tego samego
okna). Jeśli przemieszczenie przeprowadza się w obrębie dwóch różnych okien, to
zachodzi kopiowanie zaznaczonego (wybranego) elementu;

• przekopiowany w obrębie jednego okna modelu również przez wykorzystanie techniki

ciągnij i upuść, ale przy dodatkowo wciśniętym klawiszu Ctrl podczas trwania tej
operacji.

W zaznaczonym bloku można zmieniać jego rozmiary przez wskazanie kursorem myszy
wybranego wierzchołka, wciśnięcie lewego klawisza myszy, a następnie zmianę wymiarów.
Zmiana kroju, wielkości i koloru czcionek napisów, koloru tła, symbolu graficznego bloku
(np. z cieniowaniem lub bez) odbywa się po wyborze odpowiedniej opcji z menu Style w
oknie Simulink.

Tworzenie połączeń między blokami

Połączenia między blokami wykonuje się za pomocą myszy. Po wskazaniu początku
połączenia należy wcisnąć i przytrzymać lewy klawisz myszy, a następnie rozpocząć
ciągnięcie linii (przez ruch myszą) do punktu końcowego. W przypadku gdy połączenie jest
już wykonane, ale trzeba wykonać na nim dodatkowe odgałęzienie, należy wcisnąć prawy
klawisz myszy i rozpocząć rysowanie linii. Jednoczesne naciśnięcie prawego i lewego
przycisku myszy prowadzi do utworzenia nowego wierzchołka we wskazanym punkcie.
Przemieszczanie bloków powoduje zachowanie ciągłości połączeń (z wyjątkiem przypadku,
kiedy przesuwanie zachodzi przy jednoczesnym wciśnięciu lewego i prawego klawisza
myszy). Połączenia między blokami można usuwać. W tym celu należy zaznaczyć dane
połączenie przez kliknięcie na nim lewym klawiszem myszy, a następnie usunąć je przez
naciśnięcie klawisza Del lub wybór opcji Clear z menu Edit w oknie Simulink (Edit|CIear).

Cel Ćwiczenia
Wyznaczyć:
1. Odpowiedź skokową.
2. Charakterystykę amplitudowo częstotliwościową.
3. Charakterystykę fazowo częstotliwościową.
4. Charakterystykę amplitudowo fazową (wykres Nyquista).
5. Składowe rzeczywistą i urojoną transmitancji.
6. Logarytmiczną charakterystykę amplitudowo częstotliwościową.
7. Logarytmiczną charakterystykę fazowo częstotliwościową.
8. Logarytmiczną charakterystykę amplitudowo fazową (wykres Blacka)

dla

następujących członów automatyki:

- inercyjnego I-go rzędu,

Wyznaczenie odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe.
Zadanie rozwiązać dla następujących danych: T=0,01[s], k=2,

)

(

1

)

(

t

X

t

x

st

⋅

=

,

1

=

st

X

Transmitancja operatorowa członu inercyjnego I-go rzędu

1

)

(

)

(

)

(

+

⋅

=

=

s

T

k

s

X

s

Y

s

G

Pierwszy sposób: rozwiązanie numeryczne:

(

)

)

(

)

(

s

X

k

s

Y

s

s

T

⋅

=

⋅

+

⋅

)

(t

x

k

y

dt

dy

T

⋅

=

+

⋅

)

(

1

t

x

T

k

y

T

dt

dy

⋅

+

⋅

−

=

Rozwiązując numerycznie powyższe równanie wyznaczamy odpowiedź członu inercyjnego I-
go rzędu na skok jednostkowy.

Schemat blokowy w Matlab-Simulink

Wykresy x(t) i y=f(t)

Drugi sposób: rozwiązanie analityczne:

)

(

1

)

(

)

(

)

(

s

X

s

T

k

s

X

s

G

s

Y

⋅

+

⋅

=

⋅

=

s

x

s

X

t

x

t

x

st

st

1

)

(

)

(

1

)

(

⋅

=

⇒

⋅

=

(

)

1

1

1

)

(

1

)

(

)

(

)

(

+

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

=

s

T

s

x

k

s

x

s

T

k

s

X

s

T

k

s

X

s

G

s

Y

st

st

Po przejściu od transformaty Laplace’a

do postaci czasowej y(t) otrzymujemy zależność

opisującą odpowiedź skokową członu inercyjnego I-go rzędu

)

(s

Y

( )

( )

[ ]

(

)

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

⋅

⋅

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⋅

⋅

⋅

=

=

−

−

−

T

t

st

st

e

x

k

y

s

T

s

x

k

L

s

Y

L

t

y

1

1

0

1

1

Wstawić wykres y=f(t)

Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa A(

ω).

Transmitancja widmowa członu inercyjnego I-go rzędu

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Q

j

P

T

T

k

j

T

k

T

T

k

j

T

k

j

T

j

T

j

T

k

j

T

k

s

G

j

G

j

s

⋅

+

=

+

⋅

⋅

⋅

−

⋅

+

+

⋅

=

−

⋅

−

⋅

⋅

⋅

+

+

−

⋅

−

−

=

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

+

⋅

=

=

=

gdzie:

1

)

(

2

2

+

⋅

=

ω

ω

T

k

P

składowa rzeczywista transmitancji widmowej

1

)

(

2

2

+

⋅

⋅

⋅

−

=

ω

ω

ω

T

T

k

Q

składowa urojona transmitancji widmowej

( )

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⋅

⋅

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

=

+

=

⋅

+

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

k

T

T

k

T

k

Q

P

Q

j

P

j

G

f

A

moduł transmitancji

widmowej

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0

200

400

600

800

1000

ω

A [dB]

2.1

0

A

ω

( )

5000

0

ω

0

1000

2000

3000

4000

5000

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

2.1

Charakterystyka fazowo częstotliwościowa

( )

ω

ϕ

.

Argument transmitancji widmowej

( )

( )

( )

[

]

(

)

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

⋅

−

=

⋅

−

=

=

=

=

T

arc

T

arc

P

Q

arc

j

G

f

tg

)

tg(

)

(

)

(

tg

arg

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,0

0

200

400

600

800

1000

ω

φ[rad]

0

1.6

φ ω

( )

5000

0

ω

0

1000

2000

3000

4000

5000

1.6

1.2

0.8

0.4

0

Charakterystyka amplitudowo fazowa (wykres Nyquista).
Składowa urojona transmitancji widmowej

1

)

(

2

2

+

⋅

⋅

⋅

−

=

ω

ω

ω

T

T

k

Q

Składowa rzeczywista transmitancji widmowej

1

)

(

2

2

+

⋅

=

ω

ω

T

k

P

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

P(

ω)

Q(

ω)

Składowe rzeczywista i urojona transmitancji.

Składowa rzeczywista transmitancji widmowej

1

)

(

2

2

+

⋅

=

ω

ω

T

k

P

Składowa urojona transmitancji widmowej

1

)

(

2

2

+

⋅

⋅

⋅

−

=

ω

ω

ω

T

T

k

Q

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0

1000

2000

3000

4000

5000

ω

Q(

ω)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0

1000

2000

3000

4000

5000

ω

p(

ω)

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa.

( )

( )

( )

1

lg

20

1

1

lg

20

)

(

)

(

lg

20

)

(

)

(

lg

20

)

(

lg

20

)

(

lg

20

lg

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⋅

⋅

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

+

=

=

⋅

+

=

=

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

k

T

T

k

T

k

Q

P

Q

j

P

j

G

A

M

f

Lm

Logarytmiczna charakterystyka fazowo częstotliwościowa.

( )

( )

( )

[

]

(

)

(

ω

ω

ω

)

ω

ω

ω

ω

ϕ

⋅

−

=

⋅

−

=

=

=

=

T

arc

T

arc

P

Q

arc

j

G

f

tg

tg

)

(

)

(

tg

arg

lg

2

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowo fazowa (wykres Blacka).
Logarytmiczna charakterystyka modułu

( )

( )

( )

1

lg

20

1

1

lg

20

)

(

)

(

lg

20

)

(

)

(

lg

20

)

(

lg

20

)

lg(

20

lg

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

⋅

⋅

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⋅

=

+

=

=

⋅

+

=

=

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

k

T

T

k

T

k

Q

P

Q

j

P

j

G

M

f

Lm

Logarytmiczna charakterystyka fazy

( )

( )

( )

(

)

(

ω

ω

ω

)

ω

ω

ω

ω

ϕ

⋅

−

=

⋅

−

=

=

=

=

T

arc

T

arc

P

Q

arc

j

G

f

tg

tg

)

(

(

tg

arg

lg

2