16. Pole magnetyczne, indukcja

Wybór i opracowanie Marek Chmielewski


16.1.

Znaleźć indukcje pola magnetycznego w odległości r od nieskończone długiego

przewodnika walcowego o promieniu przekroju poprzecznego a w którym płynie prąd I.

r

B

i

16.2.

Wyznaczyć indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez prąd o natężeniu i płynący

przez nieskończenie długi przewodnik zgięty pod kątem prostym:

a) W punkcie A leżącym w płaszczyźnie przewodnika odległym od jego końca o odległość h, na

przedłużeniu jednego z ramion przewodnika (rys)

b) W punkcie C odległym o h od osi przewodnika, leżący pod kątem

α

do osi jednego z ramion

przewodnika.

C

A

α

i

16.3.

Jednorodnie naładowana ładunkiem Q cienka tarcza o promieniu R, obraca się z prędkością

kątową

ω

dookoła swojej osi. Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego w jej geometrycznym

środku.

ω

R

B

16.4.

Wyznaczyć wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego solenoidu, w

którym na l jego długości przypada N ciasno ułożonych zwojów w których płynie prąd I.

l

N

I

16.5.

Wyznaczyć wartości gęstości energii pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego

solenoidu o promirniu R, gęstości liniowej zwojów n, przez który płynie prąd i.

16.6.

Dwa zwoje drutu o promieniu R ustawionych tak jak na rysunku odległych o d tak, że ich

osie symetrii się pokrywają. W solenoidach płyną prądy I w tym samych kierunkach. Wyznaczyć
wartość indukcji pola magnetycznego na osi łączącej obydwa zwoje w zależności od odległości
pomiędzy zwojami.

d

R

I

I

R

16.7.

Elektron porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B po linii śrubowej o

promieniu R i skoku h, wyznaczyć wartość prędkości elektronu.

h

R

B

16.8.

W taśmie metalowej o szerokości a i grubości d płynie prąd I. Taśma znajduje się w

jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Obliczyć różnicę potencjałów między punktami A
i C taśmy, jeżeli wiadomo, że w jednostce objętości materiału z jakiego zrobiona jest taśma,
znajduje się n elektronów na jednostkę objętości.

16.9.

Dany jest jednorodny pierścień o promieniu r i oporze R. W dwóch dowolnych punktach A i

B tego pierścienia przyłączono dwa długie przewody, tak by ich kierunki tworzyły przedłużenia
promieni tego pierścienia, zasilane ze źródła o napięciu U. Obliczyć indukcję magnetyczną w
środku pierścienia.

16.10.

Wzdłuż osi cienkościennej rury biegnie prostoliniowy przewód. Prąd I płynący w rurze

wraca przewodem do źródła. Wyznaczyć wielkość indukcji pola magnetycznego jako funkcję
odległości od środka rury.

i

i

U

16.11.

Pręt o długości l i masie m położono na dwóch równoległych szynach nachylonych pod

kątem

α

do poziomu. Szyny znajdują się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B,

skierowanym prostopadle do poziomu. Znaleźć prędkość ruchu pręta w przypadku gdy szyny nie
są połączone oraz w przypadku, gdy szyny są zwarte na jednych końcach oporem R. Przyjąć, że
pręt może ślizgać się bez tarcia oraz że opór pręta i szyn można zaniedbać.

16.12.

Na dwóch równoległych poziomych szynach położono pręt o oporze R, długości l i masie m.

Szyny są połączone ze źródłem napięcia U i znajdują się na całej swojej długości w jednorodnym
polu magnetycznym, indukcji B, skierowanej prostopadle do szyn. Współczynnik tarcia pręta o
szyny wynosi

µ

. Jaka będzie maksymalna prędkość pręta?

16.13.

Dwie równoległe, poziome szyny są połączone kondensatorem o pojemności C. Na szynach

położono pręt o długości l i masie m. Z jakim przyspieszeniem a będzie poruszał się pręt, jeżeli
działa na niego zewnętrzna siła pozioma F oraz jednorodne pole magnetyczne B wszędzie
prostopadłe do pręta i do płaszczyzny ruchu.

16. Rozwiązania

r

i

B

i

r

B

i

dl

B

const

B

Bdl

l

d

B

l

d

B

i

l

d

B

π

µ

µ

π

µ

µ

2

2

0

0

0

0

=

=

=

=

=

⇒

=

∫

∫

r

r

r

r

r

r

16.1.R. Korzystamy z prawa Ampera

r

dl

B

i

16.2.R. a) Korzystamy z prawa Biota-Savarta. Każdy z odcinków przewodu potraktujemy oddzielnie, a
wynik końcowy uzyskamy z superpozycji uzyskanych wyników cząstkowych.

β

π

µ

β

β

π

µ

π

µ

3

2

0

2

0

3

0

sin

4

sin

sin

4

4

h

dl

i

dB

h

r

r

dl

i

dB

r

r

l

d

i

B

d

=

=

=

×

=

r

r

r

B

i

dl

r

β

α

d

h

l

β

β

β

β

d

h

dl

tg

h

l

l

h

tg

2

sin

−

=

=

=

h

i

d

h

i

B

d

h

i

B

d

h

i

dB

π

µ

β

β

π

µ

β

β

π

µ

β

β

π

µ

π

π

4

sin

4

sin

4

sin

4

0

2

0

0

0

2

0

0

∫

∫

=

=

−

=

−

=

Dla drugiej części przewodu punkt A leży dokładnie na jego przedłużeniu a więc wektor dl jest zawsze
równoległy do wektora r.

0

0

4

0

3

0

=

⇒

=

×

=

≡

×

⇒

B

r

r

l

d

i

B

d

r

l

d

r

l

d

r

r

r

r

r

r

r

π

µ

Wynik końcowy jest równy jest zatem:

Jest to dokładnie połowa wartości uzyskanej w

pierwszym zadaniu.

h

i

B

π

µ

4

0

=

b) Analogicznie jak w punkcie a) rozpatrujemy każdą z półprostych osobno i tak ja w punkcie poprzednim
wykorzystamy prawo Biota Savarta.

Dla pierwszej półprostej
h=h’=hsin

α oraz górna

granica całkowania to

α.

W wyniku uzyskujemy:

C

α

i

h'

h

(

)

α

α

π

µ

β

β

α

π

µ

α

cos

1

sin

4

sin

sin

4

0

0

0

1

−

=

=

∫

h

i

d

h

i

B

C

π/2−α

i

h'

h

Dla drugiej półprostej h’=hsin(

π/2-α)=hcosα i

całkujemy od

π/2-α do 0 (zgodnie z

kierunkiem prądu dla pierwszej półprostej). W
wyniki uzyskujemy

(

)

α

α

π

µ

β

β

α

π

µ

α

π

sin

1

cos

4

sin

cos

4

0

0

2

0

1

−

=

=

∫

−

h

i

d

h

i

B

Wynik końcowy to B=B

1

+B

2

16.3.R.

Podzielimy

całą tarcze na pierścienie o promieniu r i grubości dx. Określimy wartość

indukcji pola magnetycznego dB

x

od ładunku przemieszczającego się wraz z pierścieniem.

x

di

dB

x

x

i

dl

x

di

dB

dlx

x

l

d

x

l

d

x

x

l

d

di

dB

d

x

l

x

x

2

2

1

4

1

4

4

)

(

0

2

0

2

0

3

0

µ

π

π

µ

π

µ

π

µ

=

=

=

=

×

⇒

⊥

×

=

∫

r

r

r

r

r

r

ω

x

dx

dl

dBx

xdx

R

Q

dq

π

π

2

2

=

W czasie t = T przez przekrój dx przemieści się ładunek

dt

dq

i

=

T

dq

di

=

czyli przepłynie prąd

xdx

R

Q

xdx

R

Q

di

T

2

2

2

2

2

π

ω

ω

π

π

π

ω

π

=

=

⇒

=

dx

R

Q

x

R

Qxdx

dB

x

2

0

2

0

2

2

π

ω

µ

π

ω

µ

=

=

R

Q

B

dx

R

Q

B

R

π

ω

µ

π

ω

µ

2

2

0

0

2

0

∫

=

⇒

=

16.4.R.

Korzystamy z prawa Ampera

i

l

d

B

l

0

µ

=

∫

r

r

i

A

B

C

D

L

Założenia:

- nieskończona długość solenoidu,
- wewnątrz jednorodne pole magnetyczne B
- na zewnątrz wartość indukcji pola magnetycznego wynosi 0

4

3

2

1

0

∫

∫

∫

∫

∫

=

+

+

+

=

A

D

D

C

C

B

B

A

Ni

l

d

B

l

d

B

l

d

B

l

d

B

l

d

B

µ

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

-

⊥ d

B

∫

=

⇒

B

A

l

d

B

l

0

r

r

r

r

2

-

⇒

=

B 0

∫

=

C

B

l

d

B

0

r

r

r

i

l

N

B

Ni

Bl

µ

µ

=

=

0

3

-

⊥ d

B

∫

=

⇒

D

C

l

d

B

l

0

r

r

r

r

4 -

∫

=

⇒

=

A

D

Bl

l

d

B

const

B

r

r

16.5.R.

W celu wyznaczenia energii posłużymy się indukcyjnością nieskończonego solenoidu.

Korzystając z prawa Faradaya

dt

di

L

U

−

=

Dla

części środkowej długiego solenoidu (

dt

d

U

B

Φ

−

=

gdzie

Φ

B

jest strumieniem pola

magnetycznego ) wypadkowy strumień przechodzi przez N zwojów dlatego

Li

N

dt

di

L

dt

d

N

U

B

B

=

Φ

⇒

−

=

Φ

−

=

2

2

R

nlB

R

NB

N

B

π

π

=

=

Φ

Indukcja pola magnetycznego wewnątrz solenoidu wynosi (patrz poprzednie zadanie)

ni

B

0

µ

=

2

2

0

R

l

n

i

N

L

B

π

µ

=

Φ

=

2

2

0

R

il

n

N

B

π

µ

=

Φ

Lidi

dE

dt

di

Li

dt

dE

P

dt

di

Li

i

U

P

dt

di

L

U

U

B

B

m

m

=

=

=

=

=

⇒

=

=

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

i

n

R

l

i

D

l

n

R

l

E

V

E

e

i

R

l

n

i

L

E

B

B

B

B

µ

π

π

µ

π

π

µ

=

=

=

=

=

=

Łatwo można zauważyć, że dla składowej indukcji pola magnetycznego B wynik podobnej

kalkula

2

2

2

0

0

2

2

2

0

HB

e

H

B

B

i

n

e

B

B

=

=

=

=

µ

µ

µ

Dodatkowo w powietrzu

16.6.R.

Rozpatrzymy pojedynczy zwój.

α

α

π

µ

cos

sin

ˆ

ˆ

4

3

0

B

d

B

d

B

d

dB

y

dB

x

dB

B

d

B

d

B

d

r

r

l

d

i

B

d

yz

x

y

x

yz

x

r

r

r

r

r

r

r

r

r

=

=

+

=

+

=

×

=

2

0

4

r

dl

i

B

d

r

l

d

π

µ

=

⇒

⊥

r

r

r

2

2

2

2

sin

R

x

R

R

x

r

tg

R

x

x

R

tg

+

=

+

=

=

⇒

=

α

α

α

R

dl

r

i

dB

dB

dB

x

yz

α

α

x

∫

+

=

⇒

+

=

l

x

X

dl

R

x

R

i

B

dl

R

x

R

i

dB

2

3

2

2

0

2

3

2

2

0

4

4

π

µ

π

µ

2

3

2

2

0

2

3

2

2

0

2

2

4

R

x

R

R

x

B

x

+

=

+

=

π

π

2

iR

R

i

µ

µ

y

cji daje dokładnie zero. Ze względu na symetrię kołową, dodając wektory, o tej samej długości,

rozmieszczone na okręgu możemy wykazać zerowanie się składowej wypadkowej indukcji pola
magnetycznego B

yz

.

Y

Z

dB

yz1

-dB

yz1

dB

yz2

-dB

yz2

d

R

i

i

R

0

d

X

(

)

2

3

2

2

2

0

2

3

2

2

2

0

2

2

R

d

x

iR

R

x

iR

B

w

x

w

+

−

+

+

=

µ

µ

B

B

=

16.7.R.

lektron

będzie poruszał się po linii śrubowej, gdy jego prędkość będzie skierowana pod kątem

α

V

x

– prędkość stała odpowiedzialna za skok linii śrubowej

la magnetycznego

Pole magnetyczne na składową V

y

działa dokładnie w sposób jaki można opisać za pomocą siły

Działa siła pola magnetycznego F

to siła doś

6.8.R.

a poruszające się ładunki działa siła

E
do B.

V

y

– prędkość prostopadłą do kierunku wektora indukcji po

dośrodkowej

l

r

r

r

r

r

rodkowa czyli

R

F

y

d

=

F

l

– jest

1

N

r

B

V

e

F

B

×

=

[

]

2

2

2

2

2

1

2

1

,

ˆ

ˆ

2

2













+

=













+

=

+

=

=

+

=

=

=

=

=

⇒

=

R

h

m

qBR

R

h

V

V

V

V

V

V

V

y

V

x

V

V

R

hV

V

V

R

T

T

h

V

m

qBR

V

B

qV

R

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

y

π

π

π

π

r

r

r

2

mV

żnicy napięć pomiędzy punktami A i C.

ępnie powoduje powstanie pola elektrycznego, przeciwnie skierowanego do

siły pola magnetycznego

V

V

x

y

B

α

V

B

qV

F

B

V

B

V

q

F

y

l

y

y

l

2

mV

=

⇒

⊥

×

=

r

r

Po woduje ona powstanie ró
To napięcie nast

e

E

F

E

r

r

=

B

Ze wzglę

w

du na analogie z kondensatorem płaskim U=aE

y teraz wyznaczyć prędkość unoszenia elektronów V

łkowity ładunek przepływający przez powierzchnię

a

A

-

V

F

i

B

F

E

d

C

W stanie równowagi wypadkowa

artość siły wynosi 0

B

V

e

E

e

F

F

B

E

r

r

r

×

=

=

+

0

0

VB

eE

F

F

B

E

r

r

=

−

E

eVB

=

⇒

=

aVB

U

=

Należ

W czasie

∆t elektrony pokonają drogę V

∆t, ca

S=ad, wynosi

∆Q=neV∆tad

ned

nead

neVa

t

Q

i

=

iB

aVB

U

i

V

d

AC

=

=

=

⇒

6.9.R.

1

ola magnetycznego w środku okręgu

ie drugie punkt b)

∆

∆

=

Przewody doprowadzające prąd nie powodują
powstania p
(patrz zadan
W pierścieniu popłyną dwa różne prądy, każdy z

ytworzy pole magnetyczne w środku

Napięcie powstające pomiędzy punktami A i C nosi nazwę napięcia Halla

nich w

Biotta-Savarta wyznaczymy wartość indukcji
pola magnetycznego w środku pierścienia

L

R

L

R

U

i

R

U

i

2

1

1

2

1

1

ρ

=

=

=

=

2

2

ρ

S- pole przekroju przewodnika

pierścienia.
Wyznaczymy te prądy i na podstawie prawa

S

S

R

3

0

1

1

4

r

l

d

r

r

l

d

i

B

d

S

L

U

i

π

µ

ρ

⊥

×

=

=

r

r

r

v

r

2

1

0

1

2

1

0

4

4

1

dl

r

L

US

B

r

dl

L

US

L

πρ

µ

πρ

µ

=

∫

U

A

L

1

B

r

L

i

i

1

2

2

2

1

4 r

πρ

0

1

US

B

dB

µ

=

=

⇒

2

0

2

4 r

US

B

πρ

µ

=

Analogiczne obliczenia dla odcinka L

2

pozwalają uzyskać następujący wynik

Wartości indukcji pochodzących od różnych odcinków pierścienia mają tą samą wartość. Ze
względu na różnicę w kierunkach prądów płynących w obu odcinkach pierścienia, wartości indukcji
pola magnetycznego różnią się znakami. Wypadkowa wartość pola magnetycznego wynosi zatem
0, bez względu na miejsca podłączenia przewodów tj. umieszczenia punktów A i B.

16.10.R.

Wykorzystamy prawo Ampera. Pole
magnetyczne pomiędzy pierścieniami
wytwarzać będzie tylko prąd płynący w

B

dl

∫

6.11.R.

l

1

α

mg

F

x

F

l

F

y

R

B

F

lx

l

pierścieniu wewnętrznym

l

d

B

i

l

d

B

l

R<x<R
Dla x=const ; B=const

i

x

B

i

dl

B

µ

π

µ

2

0

0

=

=

∫

r

r

r

r

=

0

µ

x

i

B

π

µ

2

0

=

⇒

Gdy szyny nie są połączone rezystorem R wtedy działa tylko siła grawitacji (F

l

=0) i pręt będzie poruszał

się ruchem jednostajnie przyspieszonym o wartości przyspieszenia a=gsin

α z prędkością początkową

V

0

=0 z pozycji początkowej x

0

=0. Równanie ruchu będzie miało następującą postać:

R

r

X

2

sin

)

(

2

)

(

0

0

g

t

x

x

t

V

a

t

x

α

=

+

+

=

Gdy połączymy szyny rezystorem R w obwodzie, ze względu na prawo indukcji Fara

2

2

t

t

daya, popłynie

prąd i wytworzy się siła oddziaływania pola magnetycznego F

l

działająca przeciwnie do siły

ściągającej pochodzą

z przyspieszeniem

cej od pola grawitacyjnego. Pręt będzie poruszał się

równoważenia się sił ściągającej i sił

ruchem jednostajnym. Osiągnie zatem prędkość mak

jednostajnie zmiennym do chwili z

y Lorenza. W dalszej części

będzie poruszał się

symalną.

α

cos

ilb

F

ilB

F

B

i

B

i

l

F

lx

l

l

=

=

⇒

⊥

×

=

lVB

Blx

dt

d

dt

d

B

−

=

−

=

Φ

−

=

ε

inus oznacza polaryzacje powstającej różnicy potencjałów, w naszym przypadku w celu wyznaczenia

rądu p ynącego przez pręt został on już uwzględniony przy kierunku działania siły pola magnetycznego.

r

r

r

r

r

M
p

ł

ypadkowa wartość siły zsuwające

ącą postać:

które umożliwia pełny

pis ruchu pre

oż

unek znikania siły

ypadkowej j

j działającej na pręt ma następuj

R

R

i

lVB

α

cos

=

=

lVB

U

U

α

W

cos

sin

cos

cos

sin

2

2

2

−

=

−

=

−

=

α

α

α

α

α

B

Vl

mg

lVB

lB

mg

F

F

F

lx

x

cos

=

0

sin

cos

sin

2

2

2

=

−

=

α

α

g

dt

dx

cos

2

2

2

2

2

2

2

+

⇒

−

α

α

B

l

dt

x

d

V

R

B

l

Rm

mg

dt

x

d

m

R

R

ozwiązanie uzyskanego równania różniczkowego jest równaniem ruchu x=x(t)

R
o

ta.

na w sposób prosty wyznaczyć maksymalną szybkość poruszania się pręta. War

est warunkiem poruszania się ze stałą prędkością V

max

.

α

α

2

2

2

sin

cos

Rmg

B

l

V

M
w

α

2

2

2

cos

B

l

R

α

max

max

0

sin

V

16.12.R.

przeciw

ilB

F

i

B

nie skierowane do zewnętrznego.

R

R

lBV

U

ind

=

mg

=

⇒

=

−

W

siła przesuw

Z drugiej strony pojawi się napięcie indukowane

wyniki przepływu prądu pojawi się

ająca pręt w poziomie F

l

B

l

=

⇒

⊥ r

r

Dlatego

F

t

F

l

mg

µ

mg

R

lBV

U

−

−

lB

F

F

F

i

t

l

w

ind

w

lBV

U

U

U

−

−

=

−

=

=

=

Prę

omentu gdy F

w

=0

t przyspiesza do m

max

R

mg

U

V

mg

U

lB

µ

µ

−

=

⇒

=

max

lBV

−

2

2

l

B

Bl

R

16.13.R.

ącej siły F to powstaje siła elektromotoryczna indukcji:

, przyrost powstającego napięcia wynosi

Gdy

pręt porusza się pod wpływem działaj

BlV

ind

=

V

Bl

U

ind

∆

=

∆

el

U

.

Zmiana

napięcia indukowanego umożliwi przepływ prądu przez kondensator.

Pojawi się zatem siła elektrodynamiczna

a

l

CB

ilB

F

2

2

=

=

przeciwnie skierowana do F

Na pręt będzie działać siła wypadkowa o wartości

F

F

F

−

=

el

w

CBla

t

V

CBl

i

t

Q

i

C

Q

U

C

Q

U

=

∆

∆

=

⇒

∆

∆

=

∆

=

∆

⇒

=

2

2

l

CB

m

2

2

F

a

a

l

CB

F

ma

F

w

+

=

⇒

−

=

=