AM sem II wykład 2

29.02.2012

5

S

ZEREGI POTĘGOWE

Wersja wstępna

Niech

 

n

a

będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych, zaś

0

x

ustaloną liczbą rzeczywistą.

D

EFINICJA

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie

0

x

nazywamy szereg postaci































n

n

n

n

n

x

x

a

x

x

a

x

x

a

a

x

x

a

)

(

)

(

)

(

)

(

0

2

0

2

0

1

0

0

0

gdzie x jest zmienną rzeczywistą.
Liczby



,

,

,

3

2

1

a

a

a

nazywamy współczynnikami szeregu.

D

EFINICJA

Zbiór tych

R

x



, dla których szereg potęgowy









0

0

)

(

n

n

n

x

x

a

jest zbieżny nazywamy obszarem

(przedziałem) zbieżności szeregu.

Niech Z oznacza zbiór tych liczb rzeczywistych x, dla których szereg potęgowy jest zbieżny.
Zbiór ten nie jest pusty, gdyż

Z

x



0

.

Można wykazać, że zbiór Z jest
- albo zbiorem jednoelementowym

 

0

x

.

- albo przedziałem skończonym o środku w punkcie

0

x

- albo zbiorem

)

,

(





Zauważmy, że można zająć się tylko badaniem szeregu potęgowego o środku

0

0



x

.

Wprowadzając nową zmienną

0

x

x

t





otrzymamy szereg







0

n

n

n

t

a

o środku w punkcie 0.

D

EFINICJA

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego







0

n

n

n

x

a

nazywamy liczbę równą kresowi górnemu

zbioru wartości bezwzględnych wszystkich liczb x, dla których szereg ten jest zbieżny.
Promień zbieżności oznaczmy R (







R

0

).

T

W

:

(

O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI

)

Jeżeli istnieje granica (skończona lub niewłaściwa)

g

a

a

n

n

n









1

lim

g

a

n

n

n







lim

,

to promień zbieżności szeregu







0

n

n

n

x

a

jest równy































0

0

1

0

g

dla

g

dla

g

g

dla

R

AM sem II wykład 2

29.02.2012

6

T

W

:

(

C

AUCHY

’

EGO

-

H

ADAMARDA

)

!!!

1. Jeżeli

0



R

, to szereg









0

0

)

(

n

n

n

x

x

a

jest zbieżny tylko w punkcie

0

x

x



.

2. Jeżeli







R

0

, to szereg









0

0

)

(

n

n

n

x

x

a

jest zbieżny bezwzględnie w przedziale otwartym

)

,

(

0

0

R

x

R

x





, rozbieżny na zbiorze

)

,

(

)

,

(

0

0











R

x

R

x

. Dla

R

x

x





0

oraz

R

x

x





0

szereg może być zbieżny jak i rozbieżny.

3. Jeżeli





R

, to szereg









0

0

)

(

n

n

n

x

x

a

jest zbieżny w przedziale

)

,

(





. (dla każdej liczby

rzeczywistej x).

Z

ADANIE

Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregów

a)











0

1

2

)

1

(

n

n

n

n

x

,

b)







0

!

n

n

n

x





R

,

)

,

(





.Wyciągnij wniosek ile wynosi

!

lim

n

x

n

n





dla

R

x



.

Oznaczmy przez S funkcję będącą sumą szeregu potęgowego











0

0

)

(

)

(

n

n

n

x

x

a

x

S

dla

)

,

(

0

0

R

x

R

x

x







.

F

AKT

: Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą na przedziale

)

,

(

0

0

R

x

R

x





tzn.









































0

0

0

0

0

0

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

n

n

n

n

n

n

c

x

n

n

n

c

x

c

x

x

c

a

x

x

a

x

x

a

x

S

dla

)

,

(

0

0

R

x

R

x

c







inaczej, można przestawić operację przechodzenia do granicy z operacją sumowania.

Dodatkowo jeżeli szereg jest zbieżny w punkcie

R

x

x





0

, to suma S jest ciągła w punkcie

R

x

x





0

prawostronnie tzn.

)

(

)

(

lim

0

)

(

0

R

x

S

x

S

R

x

x











. Analogicznie dla punktu

R

x

x





0

Rozważamy szereg potęgowy







0

n

n

n

x

a

o promieniu zbieżności







R

0

.

T

W

.(

O RÓŻNICZKOWANIU SZEREGU POTĘGOWGO

)

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu







0

n

n

n

x

a

, to

 









































1

1

0

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

na

x

a

x

a

dla

)

,

(

R

R

x





Krótko:
Można przestawić operację obliczania pochodnej z operacją sumowania.

AM sem II wykład 2

29.02.2012

7

Szereg potęgowy







0

n

n

n

x

a

w przypadku

0



R

można różniczkować wyraz po wyrazie, a otrzymany

szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale

)

,

(

R

R



, ma taki sam promień (przedział) zbieżności.

W

NIOSEK

Suma szeregu potęgowego ma wszystkie pochodne na przedziale

)

,

(

R

R



.

ZADANIE

Zastosuj tw. o różniczkowaniu do szeregu







0

n

n

x

.

Wykorzystaj wynik do obliczenia sumy szeregu liczbowego







1

2

n

n

n

.

odp.













1

2

1

)

1

(

1

n

n

x

nx

,

2

2

1









n

n

n

T

W

.(

O CAŁKOWANIU SZEREGU POTĘGOWGO

)

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu







0

n

n

n

x

a

, to





 

















































0

1

0

0

0

0

1

n

n

n

x

n

x

n

n

n

n

n

x

n

a

dt

t

a

dt

t

a

)

,

(

R

R

x





.

Krótko:

Szereg potęgowy







0

n

n

n

x

a

w przypadku

0



R

można całkować od 0 do x wyraz po wyrazie, a

otrzymany szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale

)

,

(

R

R



.

Zastosuj tw. o całkowaniu do szeregu









0

)

1

(

n

n

n

x

, a następnie uzasadnij równość

2

ln

)

1

(

1

1













n

n

n

.

AM sem II wykład 2

29.02.2012

8

D

EFINICJA

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x

0

pochodne dowolnego rzędu , to szereg potęgowy postaci





























0

0

0

)

(

2

0

0

0

0

0

!

)

(

)

)(

(

!

2

1

)

)(

(

)

(

n

n

n

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f



nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie

0

x

. Jeżeli

0

0



x

to szereg ten

nazywawamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

ZADANIE

Wyznaczyć szereg Taylora funkcji

x

x

f

1

)

(



w punkcie

1

0



x

.

T

W

.

(

O ROZWIJANIU FUNKCJI W S ZEREG

T

AYLORA

)

Jeżeli
1. funkcja f ma w otoczeniu U punktu x

0

pochodne dowolnego rzędu ,

2. dla każdego punktu x



U zachodzi równość

0

)

(

lim







x

R

n

n

gdzie

)

(x

R

n

oznacza resztę wzoru

Taylora z n-tą pochodną

n

n

n

x

x

n

c

f

x

R

)

(

!

)

(

)

(

0

)

(





gdzie c jest punktem odcinka o końcach

0

x

,

x

to















0

0

0

)

(

!

)

(

)

(

n

n

n

x

x

n

x

f

x

f

dla każdego x



U.

T

W

.

(

O JEDNOZNACZNOŚ CI ROZWINIECIA W S ZEREG POTĘGOWY

)

Jeżeli funkcja f jest w pewnym otoczeniu U punktu x

0

sumą szeregu potęgowego











1

0

)

(

)

(

n

n

n

x

x

a

x

f

dla

U

x



to

!

)

(

0

)

(

n

x

f

a

n

n



dla



,

2

,

1

,

0



n

...

Krótko
Jeżeli funkcja f jest w pewnym otoczeniu punktu x

0

sumą szeregu potęgowego, to jest to jej szereg

Taylora.

ZADANIE

Pokazać, że









0

!

n

n

x

n

x

e

dla każdego

R

x



.

Jaka jest suma szeregu







0

!

2

n

n

n

?

R

OZWINIĘCIA WYBRANYCH FUNKCJI W SZEREGI

M

ACLAURINA

   

























!

1

2

1

!

7

!

5

!

3

sin

1

2

7

5

3

n

x

x

x

x

x

x

n

n

dla

R

x



   





















!

2

1

!

6

!

4

!

2

1

cos

2

6

4

2

n

x

x

x

x

x

n

n

dla

R

x



AM sem II wykład 2

29.02.2012

9





 

























n

x

x

x

x

x

x

n

n 1

4

3

2

1

4

3

2

1

1

ln

dla

1

1







x

























3

2

6

4

2

3

2

1

4

2

1

2

1

1

1

x

x

x

x

dla

1

x

1





