EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ

Imi¸

e i nazwisko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Grupa. . . . . .

Zadanie 1.

(1) (1 + i)(1 − 2i) = 3 − 2i

(2) Je´sli z = 1 + 3i, to z ¯

z = 10.

(4)

1

1+4i

=

1

17

−

4

17

i.

Zadanie 2.

(1) z = 1 + i jest pierwiastkiem r´

ownania z

2

− 2z + 2 = 0.

(2) Je´sli z = 2 + i, to |z|

6

= 125.

(4) Je´sli z = −1 − i, to z =

√

2(cos(315

◦

) + i sin(315

◦

)).

Zadanie 3.

(1) Je´sli istnieje liczba b ∈ R, ˙ze dla ka˙zdej liczby a ∈ A, a ≤ 2b, to zbi´

or A ⊂ R jest

ograniczony z g´

ory.

(2) Kres g´

orny zbioru A = {1 −

1

2n

2

: n ∈ N} wynosi

1
2

.

(4) Istnieje najwi¸eksza liczba wymierna, kt´

ora nie przekracza

√

3.

Zadanie 4.

(1) |2x + 1| wyra˙za odleg lo´s´

c liczby x od x − 1.

(2) R´

ownanie |x − 3| + |x − 2| = 7 ma dok ladnie dwa rozwi¸

azania.

(4) max{x, y} + min{x, y} = |y − x|.

Zadanie 5.

(1) 1!1 + 2!2 + . . . + n!n = (n + 1)! − 1 dla ka˙zdej liczby naturalnej n

(2) (1 + x)

3

≥ 1 + 3x + x

3

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x.

(4) Istnieje liczba naturalna n ≥ 10, dla kt´

orej



n

2



>



n

n−2



.

Zadanie 6.

(1) Je´sli a

n

= n2

n

, dla ka˙zdej liczby naturalnej n, to a

n+1

= 2a

n

+ 2

n+1

.

(2) Liczba 2004 jest warto´sci¸

a ci¸

agu (a

n

) zadanego zale˙zno´sciami: a

1

= 1, a

2

= 1 oraz

a

n+1

= a

n

+ 2a

n−1

, dla n ≥ 2.

(4) Ci¸

ag o wyrazie og´

olnym a

n

= 1 +

(n+2)!

n!

jest zbie˙zny.

Zadanie 7.

(1) Granica ci¸

agu a

n

=

2n

2

+1

3n

2

+3

jest r´

owna 2/3.

(2) Je´sli ci¸

ag a

n

jest nierosn¸

acy i ograniczony z g´

ory, to ma granic¸e.

(4)

lim

n→∞

√

n

3

2 + (

√

n)

3

= 1.

Zadanie 8.

(1) Ci¸

ag a

n

=

(−1)

n

2+(−1)

n

jest zbie˙zny.

(2) lim

n→∞

n

√

n + 2 > lim

n→∞

n

√

n

(4) lim

n→∞

n

√

n

2

= 1.

Zadanie 9.

(1) lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

= e.

(2) lim

n→∞

(1 +

2

n

)

n

=

√

e.

(4) Liczba e le˙zy pomi¸edzy 2, 5 a 5.

Zadanie 10.

(1) lim

n→∞

P

n
k=1

1

2

k

= 2.

(2) lim

n→∞

n sin(1/n) = 1.

(4) Je´sli ci¸

ag (a

n

) ma wyrazy dodatnie, to ci¸

ag (b

n

) o wyrazach b

n

=

P

n
k=1

a

k

ma granic¸e

w la´sciw¸

a b¸

ad´

z nie.

Zadanie 11.

(1) Funkcja y = x − [x] jest okresowa.

(2) Funkcja y = sin(2x) + cos(x) jest okresowa.

(4) Ka˙zda funkcja f : R → R jest sum¸

a funkcji parzystej i nieparzystej.

Zadanie 12.

(1) Funkcja y = |x|

3

+ x jest rosn¸

aca.

(2) Je´sli f (x) = e

2x

i g(x) = 1 + ln x, to f ◦ g(x) = x

2

.

(4) Funkcj¸

a odwrotn¸

a do y = (x + 1)

1/5

− 1 jest y = (x + 1)

5

+ 1.

Zadanie 13.

(1) lim

x→3

x−3

x

2

−9

nie istnieje.

(2) lim

x→0

sin x

x

= 1.

(4) Funkcja f (x) = cos |x

2

+ 1| jest ci¸

ag la.

Zadanie 14.

(1) Funkcja f (x) = x

6

− x + 1 nie ma miejsc zerowych w R.

(2) Funkcja cosinus jest przyk ladem funkcji jednostajnie ci¸

ag lej.

(4) Z twierdzenia Weierstrassa wynika, ˙ze ka˙zda funkcja ci¸

ag la na przedziale [0, 1], ma

ograniczony zbi´

or warto´sci.

Zadanie 15.

(1) (sin x)

0

= − cos x.

(2) (ln(2x))

0

=

1
x

.

(4)



e

x

2



0

= 2x

2

e

x

2

.

Zadanie 16.

(1) Wsp´

o lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f (x) = x

2

w punkcie o

odci¸etej x = 4 wynosi 8.

(2) Prosta y = x + 1 jest styczna do wykresu funkcji f (x) = x

2

− x w punkcie o

wsp´

o lrz¸ednych x = 1, y = 0.

(4) (x arctg(x))

0

=

x

x

2

+1

+ arctg(x).

Zadanie 17.

(1) (x cos x)

0

= sin x + x cos x.

(2)



ln x

x



0

=

1−ln x

x

2

.

(4) ((x

2

+ x)

3

)

0

= (2x + 1)

3

.

Zadanie 18.

(1) Je´sli funkcja r´

o˙zniczkowalna f : R → R ma w x

0

minimum, to f

0

(x

0

) = 0.

(2) Funkcja f (x) = x

2

+ sin(x) ma w x

0

= 0 minimum.

(4) Funkcja f (x) = x + cos(x) jest rosn¸

aca.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Przepraszam, ˙ze wystawiam dopiero 23 stycznia, ale si¸e pochorowa lem i nie mia lem

jak tego zrobi´

c. Przes lawski

A