Fizyka s tatystycz na 1

FIZYKA STATYSTYCZNA

Wybrane zagadnienia z rachunku prawdopodobie½stwa

Rozwaómy uk»ad makroskopowy znajdujcy si“ w danym stanie. Za»óómy, óe

pewna charakterystyczna dla uk»adu wielkoу moóe przyjmowaƒ dyskretne

wartoÑci

.

Wzgl“dna cz“stoу

pojawiania si“ wyniku

-

wielkoу

- liczba pomiarów o wyniku

- liczba wszystkich

pomiarów

Prawdopodobie½stwo

pojawienia si“ wyniku

-

wielkoу

Suma prawdopodobie½sw wszystkich moóliwych

wyników pomiaru jest równa jednoÑci.

Ðrednia wyników pomiarów

Fizyka s tatystycz na 2

Przypadek cig»ego widma wartoÑci wyników pomiaru

Uogólnijmy otrzymane wyniki na przypadek, kiedy wielkoу moóe przyjmowaƒ

w sposób cig»y wartoÑci rzeczywiste od 0 do 4.

Histogram

Funkcja rozk»adu

- wysokoу paska,

-

liczba pomiarów, dla których wynik pomiaru jest zawarty w

przedziale od do

.

Pole powierzchni ca»ego histogramu jest równe jednoÑci.

- g“stoу prawdopodobie½stwa,

warunek normalizacji prawdopodo-

bie½stwa

- Ñrednia wartoу

np.

Fizyka s tatystycz na 3

CiÑnienie gazu (obliczenia uproszczone)

W wyniku uderze½ czsteczek elementowi

Ñcianki naczynia w jednostce czasu

przekazywany jest p“d

równy sile dzia»ajcej na

. Stosunek tej si»y do

wartoÑci

jest ciÑnieniem gazu na Ñciank“ naczynia.

Przyjmiemy oznaczenie K dla p“du, óeby si“ nie myli»o z oznaczeniem p dla

ciÑnienia.

- liczba czsteczek w jednostce obj“toÑci

- funkcja rozk»adu modu»u pr“dkoÑci czsteczek

- liczba czsteczek w jednostce obj“toÑci majcych

pr“dkoÑci z przedzia»u

- zmiana p“du czsteczki przy odbiciu

Std ciÑnienie gazu

Przyjmujc, óe masa wszystkich czstek jest taka sama, otrzymujemy

- Ñrednia energia ruchu post“powego czsteczki.

Fizyka s tatystycz na 4

Ðrednia energia ruchu post“powego czsteczek

Z zaleónoÑci tej wynika, óe temperatura bezwzgl“dna jest proporcjonalna do

Ñredniej energii kinetycznej ruchu post“powego czsteczek. (Sprawdza si“ to w

przypadku gazów, natomiast ze wzgl“du na wyst“powanie efektów kwantowych

nie dotyczy to cieczy i cia» sta»ych.)

Fizyka s tatystycz na 5

Zasada ekwipartycji energii

Wynik

wióe si“ z prawem ekwipartycji energii (zasad

równego rozk»adu energii na stopnie swobody czsteczek).

Na kaódy rodzaj ruchu (stopie½ swobody) przypada - Ñrednio - taka sama

energia kinetyczna

.

Liczb stopni swobody uk»adu mechanicznego nazywamy liczb“

niezaleónych wspó»rz“dnych, za pomoc których moóe byƒ opisane

po»oóenie uk»adu.

Punkt materialny ma trzy stopnie swobody (do opisu jego po»oóenia w

przestrzeni potrzebne s trzy wspó»rz“dne)

Bry»a sztywna ma szeу stopni swobody:

-

t r z y p o s t “ powe (t ran slac yjne) ,

zwizane z opisem po»oóenia Ñrodka

masy (

),

-

trzy obrotowe (rotacyjne), zwizane

opisem po»oóenia osi bry»y w

przestrzeni (

).

Uk»ad punktów materialnych, które nie s ze sob sztywno zwizane ma

stopni swobody. Kaóde sztywne wizanie mi“dzy dwoma punktami zmniejsza

liczb“ stopni swobody o jeden.

Uk»ad dwóch punktów materialnych o sta»ej

wzajemnej odleg»oÑci posiada pi“ƒ stopni

swobody. (Wspó»rz“dne

i

nie

s ca»kowicie niezaleóne)

Fizyka s tatystycz na 6

Zasada ekwipartycji energii, cd.

Do opisu po»oóenia uk»adu dwóch punktów

materialnych o sta»ej wzajemnej odleg»oÑci

potrzeba pi“ƒ wspó»rz“dnych, trzy wspó»rz“dne

Ñrodka masy oraz kty i .

Uk»ad dwóch punktów materialnych po»czonych

wizaniem, które nie jest sztywne, ma szeу

stopni swobody

-

trzy translacyjne,

-

dwa rotacyjne,

-

jeden oscylacyjny (drganiowy).

Dla uk»adu

spr“óyÑcie powizanych punktów materialnych (przy

równowagowych po»oóeniach punktów nie leócych na jednej prostej) liczba

oscylacyjnych stopni swobody wynosi

.

Obliczanie Ñredniej energii kinetycznej czsteczki

-

przy obliczaniu iloÑci stopni swobody czsteczki atomy traktuje si“ jak

punkty materialne,

-

oscylacyjnym stopniom swobody przypisuje si“ podwojon energi“

translacyjnego (lub rotacyjnego) stopnia swobody. (Ruchy post“powe lub

obrotowe zwizane s tylko z energi kinetyczn, natomiast ruchy

oscylacyjne z energi kinetyczn i potencjaln, których Ñrednie wartoÑci z

osobna wynosz po

).

- liczba stopni swobody czsteczki.

Fizyka s tatystycz na 7

Energia wewn“trzna i ciep»o w»aÑciwe czsteczek gazu doskona»ego

Czsteczki gazu doskona»ego nie oddzia»ywuj ze sob. Std

,

Fizyka s tatystycz na 8

Rozk»ad Maxwella (rozk»ad pr“dkoÑci czstek)

-

funkcja rozk»adu pr“dkoÑci czsteczek gazu.

(rozk»ad Maxwella)

ma znaczenie prawdopodo-

bie½stwa tego, óe dana czsteczka ma

modu» pr“dkoÑci zawarty w przedziale

Ðrednie pr“dkoÑci czsteczek gazu

Pr“dkoу najbardziej prawdopodobna

,

Fizyka s tatystycz na 9

W»aÑciwoÑci rozk»adu Maxwella

Tlen ( = 32 g/mol, T = 300 K )

Wodór ( = 2 g/mol, T = 300 K )

Fizyka statystyczna 10

Rozk»ad Boltzmanna

Wzór barometryczny

,

- liczba czstek w jednostce obj“toÑci

(koncentracja czstek)

Rozk»ad Boltzmanna.

Rozk»ad Boltzmanna jest to rozk»ad koncentracji czsteczek w dowolnym

potencjalnym polu si», o ile mamy do czynienia ze zbiorem jednakowych czstek

poruszajcych si“ chaotycznym ruchem cieplnym.

Liczba czstek w elemencie obj“toÑci

Prawo Maxwella-Boltzmanna

- liczba czstek w elemencie

przestrzeni

szeÑciowymiarowej.