Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW

1

Statystyka

Współczynnik korelacji rangowej R Spearmana

Celem analizy rangowej jest badanie współzależności zmiennych, które są
niemierzalne, a można je uporządkować według pewnego kryterium, czyli zamienić,
przekształcić w zmienne rangowe.
W korelacji rangowej są używane następujące pojęcia: ranga, rangowanie, obiekty
rangowane, rangujący (sędziowie).
Rangowanie, inaczej nadawanie rang, to procedura, która polega na ustawieniu
obiektów rangowanych w porządku od najmniejszego do największego (lub od
największego do najmniejszego), a następnie przyporządkowanie zajmowanym
pozycjom kolejnych liczb naturalnych.
Obiekty rangowane to osoby, przedmioty, zjawiska podlegające ocenie według
wskazanego, wybranego kryterium, co w konsekwencji prowadzi to ich
uporządkowania.
Rangujący (sędziowie) to osoby indywidualne lub grupy osób, których oceny
obiektów wzięte są pod uwagę.
Podstawą uporządkowania obiektów w rosnącym ciągu (lub malejącym) są np.
otrzymane oceny (według pewnego kryterium), zdobyte punkty (w zawodach), liczby
otrzymanych głosów (w wyborach), itp.
Obiektowi, który zajął najwyższą pozycję nadajemy rangę 1, kolejnemu – 2 itp.
Możemy rozpocząć rangowanie od najniższej pozycji i postępować podobnie,
nadając kolejne rangi pozycjom od najniższej do najwyższej. Wyjątek stanowi
sytuacja, w której dwa lub więcej obiektów otrzymują takie same oceny, zdobywają
takie same liczby głosów, wówczas nadajemy im takie same rangi, tzw. rangi
mieszane. Rangi mieszane są równe wartościom średniej arytmetycznej z
przypadających na nie pozycji.

Warto zapamiętać, że w każdym przypadku suma rang powinna być równa
wartości n*(n+1)/2, czyli sumie n-kolejnych liczb naturalnych.

Przykład 1. Wyniki badania popularności stacji radiowych przez studentów
wydziałów pedagogicznego „P” i historycznego „H” są następujące (liczby wskazań;
każdy mógł wybrać jedną stację). Poranguj stacje radiowe.

Stacje radiowe

Studenci

Pedagogiki

Studenci

Historii

R(P) R(H) di di^2

A 20

17

3,5

2,5

1

1

B 20

15

3,5

1

2,5

6,25

C 12

20

1

4,5

-3,5

12,25

D 15

20

2

4,5

-2,5

6,25

E 30

17

5

2,5

2,5

6,25

F

35 30 6 6 0 0

suma

X X 21 21 X 32

Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW

2

Rangowanie rozpoczęliśmy od najmniejszej liczby wyborów. Wśród studentów „P”
ranga 1 przypadła stacji C, a według studentów „H” – stacji B. Sumy rang w obu
przypadkach wynoszą 21, co jest zgodne z wartością [n*(n+1)/2].
W obu przypadkach mieliśmy do czynienia z rangami mieszanymi. W ocenie
studentów Pedagogiki taką samą popularnością cieszyły się stacje A i B, którym
przypadały w kolejności pozycje 3 i 4. Obie stacje otrzymały takie same rangi 3,5
(średnia z 3 i 4). Studenci Historii taksami ocenili stacje C i D, w konsekwencji
przypadały tym stacjom pozycje 4 i 5. Obu stacjom przypisano rangi 4,5 (średnie z 4 i
5).
Kolejnym etapem analizy jest zbadanie stopnia zgodności w ocenach i do tego służy
współczynnik korelacji rang R Spearmana.

)

1

(

6

1

2

1

2

−

−

=

∑

=

n

n

d

R

n

i

i

gdzie:
di – różnica między rangami
n – liczba obiektów rangowanych.

Własności i interpretacja współczynnika R

• R przyjmuje wartości od -1 do 1.

• Jeśli R zbliża się do +1 mamy do czynienia z całkowitą zgodnością w ocenie

obiektów. Oceny nie zależą od sędziów oceniających. Te same obiekty mają
wysokie oceny w oczach obu osób lub grup, które je oceniają.

• Jeśli R jest bliskie -1, występuje bardzo silna niezgodność. Wyższa lub niższa

pozycja obiektów zależy od tego kto je ocenia. Te obiekty, które są oceniane
dobrze przez jednego sędziego (grupę osób), otrzymują niskie oceny u drugiego
oceniającego.

• Jeśli wartość R jest bliska 0 – mamy do czynienia z sytuacją, w której trudno

ocenić czy jest zgodność, czy jej nie ma.

Rozróżnienie „zgodności” i „zależności”
Jeśli np. oceny mężczyzn i kobiet są w pełni zgodne – to znaczy, że te oceny nie
zależą od płci, czyli nie ma zależności. Dopiero gdy te oceny są różne dla obu płci,
możemy powiedzieć, że zależą one od tego, do jakiej płci należeli badani.

Obliczenie współczynnika R Spearmana w przykładzie 1.

R = 1 - 6*32/6*35 = 1- 192/210 = 1 – 0,91 = 0,09

Interpretacja:
Na podstawie powyższych danych nie można określić stopnia zgodności między
ocenami stacji radiowych przez studentów obu wydziałów.

Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW

3

Do rozwiązania

Ćwiczenie 1.
W Polskim Badaniu Przestępczości (PBP) w latach 2007 i 2009 otrzymano
następujące wyniki dotyczące oceny zagrożenia w swoim miejscu zamieszkania.
PBP przeprowadzono na próbach losowych 17 tys. Polaków.
Proszę porangować zagrożenia, obliczyć R i zinterpretować wyniki.

Zagrożenie

Czego się Pani/Pan najbardziej boi w swoim miejscu

zamieszkania?

Wyniki

PBP’0

9

Wyniki

PBP’0

7

Ranga

PBP’07

Ranga

PBP’09

di

di

2

1 Napadów, rozbojów

20,1

23,9

4 2 2

4

2 Wymuszeń, okupów

4,2

4,3

12 12 0

0

3 Bójek i pobić 18,1

20,4

8 7 1

1

4 Włamań (np. do mieszkań, piwnic lub samochodów)

19,8

22,6

5 4 1

1

5 Kradzieży ( np. kieszonkowych)

12,5

14,7

9 8 1

1

6 Brawurowo jeżdżących kierowców

36,8

35,9

1 1 0

0

7 Agresji ze strony osób pijanych lub narkomanów

20,5

20,7

3 6

-3

9

8 Handlu narkotykami

5,9

6,2

11 10 1

1

9 Niszczenia mienia przez wandali

21,6

21,6

2 5 3

9

10 Zaczepiania przez grupy agresywnej młodzieży 19,7

23,6

6 3 3

9

11

Hałaśliwych, niekulturalnie zachowujących się sąsiadów

6,6

5,8

10 11 1

1

12 Innych zagrożeń 1,1

1,3

13 13 0

0

13 Żadnych, niczego nie obawiam się 18,2

14,0

7 9

-2

4

suma

91 91

40

Ćwiczenie 2.
Poniższa tabela przedstawia wyniki egzaminu z prawa i statystyki 10 studentów
kierunku Ekonomia. Za pomocą współczynnika korelacji rang Spearmana ustal
kierunek i siłę korelacji pomiędzy wynikami obu egzaminów i zinterpretuj wynik.

Student Liczba

punktów z

prawa

Liczba

punktów

ze

statystyki

Ranga

prawo

Ranga

statystyka

Różnica

rang (d

i

)

(d

i

2

)

A 2

81

B 8

60

C 18

81

D 12

30

E 12

57

F 15

72

G 7

81

H 5

98

I 14

65

J 14

47

Suma X

X

Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW

4

• Powtórzenie (analiza korelacji i regresji)

Do czego służy analiza korelacji (współczynnik r Pearsona)?
Jakie są własności r Pearsona?
Do czego służy analiza regresji?
Jak interpretuje się współczynnik kątowy w oszacowanej regresji liniowej?

W analizie korelacji z wykorzystaniem współczynnika r Pearsona chodziło o
zbadanie, czy między dwiema zmiennymi istnienie liniowa zależność – czyli np. czy
wraz ze wzrostem agresywności (zbadanej na jakiejś skali agresji - zmienna X)
poziom samokontroli (znowu opisanej na jakiejś skali samokontroli - zmienna Y)
wzrasta czy maleje, czy też te dwie zmienne nie są ze sobą związane.

Współczynnik korelacji liniowej r Pearsona obliczamy według wzoru:

∑

∑

∑

−

−

−

−

=

2

2

)

(

)

(

)

)(

(

y

y

x

x

y

y

x

x

r

i

i

i

i

Wartość tego współczynnika zależała od tych odległości zaobserwowanych punktów
od teoretycznej linii prostej wyznaczonej przez średnie obu zmiennych – co jest
uwidocznione we wzorze.

Regresja liniowa
Zakładamy liniowy model regresji

Y = aX + b + e

Po oszacowaniu parametrów a i b MNK (metoda najmniejszych kwadratów)
otrzymujemy:

X

a

b

Y

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

Wzory służące do oszacowania a i b:

∑

∑

−

−

−

=

2

)

(

)

)(

(

ˆ

x

x

y

y

x

x

a

i

i

i

x

a

y

b

ˆ

ˆ

−

=