I ZASADA DYNAMIKI NEWTONA – jeżeli na ciało lub układ ciał
nie działa żadna siła lub siły się równoważą to układ ten
porusza się ruchem jednostajnym.II ZASADA DYNAMIKI
NEWTONA- Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się
(czyli wypadkowa sił jest różna od zera), to ciało porusza się
z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły
wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.
Twierdzenie Wariniona- moment wypadkowej sił danego
układu jest równy sumie momentów wypadkowych sił.

ΣM̄i=r̄*F̌

1

+ r̄*F̌

2

+

…

+ r̄*F̌

N

= r̄(F̌

1

+F̌

2

+…+F̌

N

)=r̄*W̄

UKŁAD SIŁ jest w równowadze kiedy wypadkowa jest
wektorem zerowym, czyli kiedy wielobok jest zamknięty.
TWIERDZENIE O TRZECH SIŁACH. TRZY SIŁYsą w równowadze,
jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie i
tworzą wielobok.

M̄= r̄*F̌=

𝑖

𝑗

𝑘

𝑟𝑥

𝑟𝑦

𝑟𝑧

𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

=(Fz

*

r

y

-Fy*r

z

)ī+(Fx

*

r

z

-Fz*r

x

)j+(Fy

*

r

x

-

Fx*r

y

)k

WARUNKI RÓWNOWAGI DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ:

W̄=ā

1

+ā

2

+…+ā

n

=0  {Wx=a

1x

+a

2x

+…+a

nx

=0 ; Wy=… ;Wz=…

};Σā=0 => {Ea

x

=0 Ea

y

=0 Ea

z

=0 }REDUKCJA UKŁADU SIŁ – kiedy

w układzie będą występowad tylko pary sił to można je
zredukowad do momentu głównego.
Mg=M+r+ὦWg=0=>EPix=0

Λ

EPiy=0

Λ

EPiz=0

Mg=0=>EMix=0

Λ

EMiy=0

Λ

EMiz=0KRATOWNICA – płaski ustrój

prętowy złożony z prętów połączonych ze sobą przegubami.
METODA RITTERA-myślowe przecięcie prętów w celu
wyodrębnienia sił wewnętrznych.

ΣFix=0

−𝑅

𝐴𝑋

+ 𝑃 = 0 → 𝑅

𝐴𝑋

= 𝑃

−𝑅

𝐴𝑌

+ 𝑅

𝐵

= 0 → 𝑅

𝐴𝑌

= 𝑅

𝐵

−𝑃𝑎 + 𝑅

𝐵

𝑎 = 0 → 𝑅

𝐵

= 𝑃

= 𝑃

-𝑅

𝐴𝑋

*a+S

1

a=0=>S

1

=R

AX

=P ; -Pa-S

3

a+S

5

*a

2

2

=0 ; -Pa-

S

3

a+R

AY

a=0/:a ; S

3

=R

AY

-P=P-P=0

S

5

= P

2

2

= P

2 2

2

= 2P ; S

4

-R

AY

=0 ; S

4

= R

AY

=P ; S4-Ray=0 ;

S4=Ray=P
TWIERDZENIA PAPPUSA – GULDINA 1)Pole powierzchni
bocznej bryły utworzonej przez obrót krzywej względem
prostej l jest równe iloczynowi długości tej krzywej i drogi jaką
zakreśla jej środek ciężkości. 2)Objętośd bryły utworzonej
przez obrót prostej względem prostej l równa iloczynowi pola
tej powierzchni i drogi jaką zakreśla jej środek ciężkości.
Tarcie ślizgowe

T/N=tgα=μ->T=μN , μ-tarcie ślizgowe
TARCIE TOCZNE

– P=T ; N=G ; G

*

f-P

*

h=0 ; P=G

*

f/h

TARCIE CIĘGIEN

-(S+dS)*cos(dϕ/2)+dT+S*cos(dϕ/2)=0 ; dN-(S+dS)*sin(dϕ/2)-
S*sin(dϕ/2)=0;;
-S*cos(dϕ/2)- dS*cos(dϕ/2) +dT+S*cos(dϕ/2)=0 ; dN-S*sin
dϕ/2-dS* sin(dϕ/2)-S*sin(dϕ/2)=0 ;;
-dS+dT=0=>-dS+μdN=0 ; dN-2S(dϕ/2)=0=>dN-S
dϕ=0=>dN=S dϕ ; μS* dϕ=dS/:S ; dS/S=μdϕ
d(lnS)= μ dϕ ; lnS

2

-lnS

1

= μ (d

2

-d

1

); ln(S

2

/S

1

)= μd=>e^ μd=

S

2

/S

1

=>S

2

=S

1

*e^ μd;

S

2

-S

1

=T=>T=S

1

(e^(μd)-1)

RUCH OBROTOWY

V̄

B

= ὦ

*

r

AB

;V

B

= ὦ*r

AB*

sin π/2 = ὦ

*

r

AB

;p

B

=ɛ

*

V

AB

+ ὦ

*

(ὦ

*

r

AB

) ;p

T

=

ɛ

*

r

AB

;pn= ὦ

*

ὦ

*

r

AB

= ὦ

2

r

AB

;ὦ=dϕ/dt; ɛ=dὦ/dt ; p

B

= p

T

+ pnRUCH

ŚRUBOWY

V̄

f

= ὦ

*

r ; V

A

=[0,Vy,0] ;p

B

=p

Ay

+ ɛ

*

r+ ὦ

*

( ὦ

*

r)

RUCH HARMONICZNY

ω=const.;ϕ=ωt ; X

B

=r*cosϕ= r*cosωt ; y

B

= r*sinϕ= r*sinωt ;

f(t)=

𝐴𝑐𝑜𝑠ωt
𝐴𝑠𝑖𝑛ωt

;

ẋ

B

=-r*ω*sinωt–prędkośd=>x=-R ω

2

cosωt ; ẏ

B

=r*ω*cosωt–

pręd.=>y=-R ω

2

sinωt

V= ẋ

B

2

+ ẏ

B

2

=r*ω – pręd. w ruchu obr. ; ẍ

B

=-rω

2

cosωt ;

ÿ

B

=-rω

2

sinωt ; p= ẍ

B

2

+ ÿ

B

2

=rω

2

–przysp.dośrodkowe przy

ruchu obr.
RUCH KULISTY

V̄=dr̄

M

/dt=ω*r̄

M

; V̄

M

=lim(Δt->0)Δr̄

M

/Δt =lim(Δt->0)Δθr̄

M

/Δt=

ω*r̄

M

𝜔

= 𝜑 + 𝜃 + 𝜓 = 𝜑 𝑒

3

′ + 𝜃 𝑒

1

" + 𝜓 𝑒

3

𝜔

= 𝜔

1

+ 𝜔

2

+ 𝜔

3

= 𝜔𝑒

1

+ 𝜔𝑒

2

+ 𝜔𝑒

3

𝜔

1

𝑒

1

𝑒

1

+ 𝜔

2

𝑒

2

𝑒

1

+ 𝜔

3

𝑒

3

𝑒

1

= 𝜑 𝑒

3

′𝑒

1

+ 𝜃 𝑒

1

"𝑒

1

+ 𝜓 𝑒

3

𝑒

1

;

(𝜓 𝑒

3

𝑒

1

= 0)

𝜔

1

= 𝜑 𝑒

3

′𝑒

1

+ 𝜃 𝑒

1

"𝑒

1

= 𝜑 cos⁡

𝜋
2

− 𝜃 𝑐𝑜𝑠

𝜋
2

− 𝜓

+ 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓
= 𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜓

RUCH KULISTY(OPIS EULERA)-ὦ= f

*

j’ + Ψ

*

j + Θ

*

ew ; Vb=

V

A

+ὦ+r

AB

;

P

B

= ɛ

*

ς

ɛ

+ ὦ

2

*

ς

ὦ

PRECESJA REGULARNA – Precesja przy której prędkośd nutacji
jest równa 0

𝜔 = 𝜔

= 𝜔

3

2

+ 𝜔

3

′

2

+ 2𝜔

3

𝜔

3

′𝑐𝑜𝑠θ ; 𝜔

= 𝜔

3

+ 𝜔

3

′

𝜀 = 𝑑𝜔

/𝑑𝑡 = 𝜔

3

∗ 𝜔

= 𝜔

3

∗ 𝜔

3

+ 𝜔

3

′

= 𝜔

3

∗ 𝜔

3

+ 𝜔

3

∗ 𝜔

3

′

= 𝜔

3

∗ 𝜔

3

′

OPIS RUCHU ZŁOŻONEGO

r̄

B

=r̄

A

+r̄

AB;

V̄

B

=dr̄

B

/dt =d/dt(r̄

A

+r̄

AB

)=dr̄

A

/dt+dr̄

AB

/dt=V̄

A

+dr̄

AB

/dt +

ὦ*r

AB

=V̄

A

+ ὦ * r̄

AB

+

V̄w;p

B

=dV̄

B

/dt=d/dt(V̄

A

+ὦ*r̄

AB

+V̄w)=dV̄

A

/dt+dὦ/dt*r̄

AB

+ὦ*dr̄

AB

/

dt + dV̄w/dt = p

A

+ ɛ *r̄

AB

+ ὦ * (dr̄

AB

/dt + ὦ *r̄

AB

) + dV̄

w

/dt + ὦ *

V̄w = pA + ɛ *r̄

AB

+ ὦ (V̄w + ὦ * r̄AB) + pw + ὦ * V̄w = p

A

+ ɛ *r̄

AB

+ ὦ * ὦ * r̄

AB

+ p

w

+ 2 ὦ * V̄wRÓWNANIE WIĘZÓW

x

B

2

+y

A

2

=L

2

MOMENT DEWIACJIDxz = m*x*z Dyx = m*x*y Dyz= m*y*z

dJo = d

2

*

dm = d

2

*

dV;Jo = ∫ϱ

*

d

2

dV ;Jo=∫ϱ

*

r

A*

dV=∫ϱ(r

C

+r

CA

)

*

(r

C

+r

CA

)dV = ∫ϱ (r

C*

r

C

+ 2r

C*

r

CA

+ r

CA*

r

CA

)dV=r

C*

r

C*

∫ϱdV+2r

C*

∫ϱdV +

∫ϱr

CA*

r

CA*

dV = m * r

C*

r

C

+ 2r

C*

S

0

+Jc

ENERGIA KINETYCZNA BRYŁY SZTYWNEJ

dEk = V̄

A*

V̄

A*

1/2dm ; Ek=1/2∫ϱ V̄

A*

V̄

A*

dV= 1/2 ϱ ∫(V̄c + ὦ

*

r

CA

)(

V̄c + ὦ

*

r

CA

)dV= 1/2 ϱ ∫*V̄c*V̄c+2V̄c*(ὦ

*

r

CA

)+ (ὦ

*

r

CA

)*(ὦ

*

r

CA

)]dV=1/2V̄c*V̄c∫ ϱdV+ ϱ *V̄c ∫ (ὦ

*

r

CA

)dV +1/2 ∫ ϱ(ὦ

*

r

CA

)*(ὦ

*

r

CA

)dV=1/2mV̄c*V̄c+V̄c* ὦ ∫r

CA

ϱdV +1/2 ∫ϱ(ὦ*

r

CA*

sinα)

2

ē

l

ē

l

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2 ∫ ὦ

2

d

2

ē

l

ē

l

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2

ὦ

2

ē

l

ē

l

ϱ ∫d

2

dV=1/2mV̄c*V̄c+1/2J

l

ὦ

2

PĘD dQ = VA

*

dm;Q=∫VA * dm = ∫(VC +ὦ

*

rCA)dm = ∫Vcdm + ὦ

*

∫ rCA

*

dm = Vc

*

mKRĘT r

A

= r

C

+ r

CA

; dK

0

= r

A

* V

A

* dm; K

0

=∫r

A*

V

A*

dm = ∫(r

C

+ r

CA

)

*

V

A*

dm = ∫r

C*

V

A*

dm + ∫r

CA*

V

A*

dm = r

C*

∫V

A

dm + ∫r

CA*

V

A

dm = r

C*

Q + K

C

MOMENT BEZWŁADNOŚCI –

miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem
określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym
trudniej zmienid ruch obrotowy ciała, np. rozkręcid dane ciało
lub zmniejszyd jego prędkośd
kątową. MOMENTEM STATYCZNYM FIGURY
PŁASKIEJ względem dowolnej osi
nazywamy sumę iloczynów powierzchni pól częściowych A

i

i

ich odległości r

i

od tej osi, lub prościej iloczyn pola

powierzchni A tej figury i odległości r

0

środka ciężkości figury

od tej osi.TWIERDZENIE STEINERA -
twierdzenie mechaniki opisujące zależnośd momentu
bezwładności bryły względem danej osi i osi równoległej do
danej przechodzącej przez środek masy bryły.I = Io + md

2

,

gdzie: Io-moment bezwł. Względem osi przechodzącej przez
środek masy, I-moment bezwł, względem osi równoległej do
pierwszej osi, d-odległośd między osiami, m-masa bryły.
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA w fizyce – wielkość
wektorowa

opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu).

RZUT PIONOWY

z(t)=-gt+C->C=Vo ; y(t)=-gt^2/2+Ct+D-

>D=0 ; ẏ(t)=V(t)=Vo-gt ; y(t)=Vot-gt^2/2 ; ẏ(t=to)=0->Vo-
gtc=0->tc=Vo/g ; h=Vo*(Vo/g)-(g/2)*(Vo/g)^2=Vo^2/g-
Vo^2/2g=Vo^2/2g ; Ek= ½

*

m * Vo

2

;Ep=mg

*

h ;½ m

*

Vo

2

=

m

*

g

*

h -> h = Vo

2

/2g

RZUT POZIOMY
ẍ=0 ẋ(t=0)=Voẋ=C->C=Vo ;
x(t=0)=0 x=Ct+D->D=0;
ÿ=-g ẏ(t=0)=0 ẏ=-gt+C’->C’=0;
y(t=0)=h y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=h;

ẋ = Vo

x = Vot

→ 𝑡 =

𝑥

𝑉𝑜

;

ẏ = −gt

y = h −

gt

2

2

→ ℎ −

𝑔

2

∗

𝑥

2

𝑉𝑜

2

; h-

gxk^2/2Vo^2=0 ;

Xk = 2Vo2h/g = 𝑉𝑜 2ℎ/𝑔

RZUT UKOŚNY
ẍ=0 ẋ(t=0)=Vocosα ẋ=C->C=Vocosα ;
x(t=0)=0 x=Ct+D->D=0;
ÿ=-g ẏ(t=0)=Vosinα ẏ=-gt+C’->C’=Vosinα;
y(t=0)=0 y=-gt^2/2+C’t+D’->D’=0
ẋ=Vocosα ; x=Votcosα =t=x/Vocosα ; ẏ=Vosinα-gt ;
y=Votsinα-gt^2/2;y=Vo (x/Vocosα)sinα-g/2 *(x/Vocosα)^2
=Xtgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α) ;Xk*(tgα-(gx^2/2Vo^2cos^2α)=0
;X

k

=2Vo

2

cos

2

α/g

*

sin

α/cosα=Vo

2

/g

*

2sin

αcosα=Vo

2

/g

*

sin2

α;dX

k

/d

α=Vo

2

/g*2cos

2

α=0;cos2α=0 ;2α=π/2 ;α=π/4

Ruchpłaski

VAcosα=VBcosβ
V̄

A

=V̄

B

+ὦ*r̄

BA

ὦ*r̄

BA

=V̄

A/B

V̄

A

*r̄

BA

=V̄

B

*r̄

BA

+( ὦ*r̄

BA

)*r̄

BA

( ὦ*r̄

BA

)*r̄

BA

=0

|V̄

A

|*|r̄

BA

|*cosα=|V̄

B

|*|r̄

BA

|*cosβ

𝑝

𝐴

= 𝑝

𝐵

+ 𝜀 ∗ 𝑟

𝐵𝐴

+ 𝜔

∗ (𝜔

∗ 𝑟

𝐵𝐴

)

𝜀 ∗ 𝑟

𝐵𝐴

+ 𝜔

∗ 𝜔

∗ 𝑟

𝐵𝐴

= 𝑝

𝐴/𝐵

V̄

A

=V̄

A

’=0 ; Vo/Vc=R/2R=>Vo=Vc/2 ; Vc=2Vo

PRACA𝑑𝐿 = 𝐹 ∗ 𝑑𝑟

= 𝐹 ∗ 𝑉 𝑑𝑡 = 𝐹 ∗ 𝑉

𝐶

+ 𝜔 ∗ 𝑟

𝐶𝐴

𝑑𝑡 = 𝐹 ∗

𝑉

𝐶

𝑑𝑡 + 𝐹 𝜔 ∗ 𝑟

𝐶𝐴

𝑑𝑡 = 𝐹 ∗ 𝑉

𝐶

𝑑𝑡 + 𝐹 𝑑𝜑𝑟 = 𝐹 𝑑𝑟

𝐶

+

𝑟

𝐶𝐴

∗ 𝐹 𝑑𝜑 = 𝑑𝐿

′

+ 𝑀

𝐶

𝑑𝜑 = 𝑑𝐿

′

+ 𝑑𝐿" ; dL’-praca w ruchu

postępowym;dL”-praca w ruchu obrotowym
OSCYLATOR HARMONICZNY
V=mgho ; ho=l-lcosϕo=l(1-cosϕo) ; V=mgl(1-cosϕo) ; T=0
; T(ϕ)=1/2m(ẋ^2+ẏ^2)=1/2m(l^2ϕ’^2cos^2ϕ+;^2ϕ’^2sin^2ϕ)
=1/2ml^2ϕ’^2 ; T+V=1/2ml^2ϕ^2+mgl-mglcosϕ=mgl(1-cosϕ) ;
Ml^2ϕ’^2+ϕ’mglsinϕ=0 – równanie ruchu układu
PRAWO D’ALEMBERTA
W przypadku ruchu postępowego

𝑚𝑝 − 𝐹 − 𝑅 = 0 ; 𝐹𝑏

= 𝑚𝑝

1)równanie równowagi sił (P1)
R-F-Fb=0 ; R=F+Fb=mg+mp=m(g+p)

2)(P2) ; R-F+Fb=0 ; R=F-Fb=m(g-p)
Dla dowolnego punktu
𝑚𝑖𝑝 𝑖 − 𝐹𝑖

− 𝑅𝑖

− 𝑊𝑖

= 0

Dla układu ciał

m2>m1
i=2 (2 ciała = 2 układy równowagi)
R-m1g-m1p1=0 ; R-m2g+m2p2=0
y1+πr+y2=const.=l (długośd linki)
y1=y1(t) ; y2=y2(t) ; ẏ1+ ẏ2=0 ; ÿ1+ÿ2=0 ; p1+p2=0 ->
p1=-p2
POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA

F=G*(M*m/r^2) ; Energia potencjalna ; V=mgy ;

𝜕𝑉

𝜕𝑦

= 𝑚𝑔 = −𝐹 – siła działająca na dane ciało

𝐹 = −𝑔𝑟𝑎𝑑. 𝑉 (gradient potencjału)
SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI

k=dFs/dx – stała sprężystości ; dL(𝐹 )=Fdx ; dL(𝐹 𝑠)=-Fsdx ;
dL=F(x)dx=kxdx ; L=∫kzdz=k(z^2/2)|

0

X

=kx^2/2 – praca

wykonana przy rozciąganiu