Chemia I sem. M.Twardowska

Funkcja odwrotna. Funkcje kołowe.

1

Funkcja odwrotna. Funkcje kołowe.

1.

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

a) f (x) = 3x + 2

b) f (x) = (x − 2)

3

c) f (x) =

1 − x

1 + x

d) f (x) =

1

x

e) f (x) = x

3

+ 1

f ) f (x) = x

6

sgn x

g) f (x) = x|x|

h) f (x) = x

3

− 3x

2

+ 3x + 27

i) f (x) = 1 −

√

x − 4

2.

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

a) f (x) = 1 − 3

−x

b) f (x) = 2

2x

− 1

c) f (x) = log

1
2

(3x)

d) f (x) = log

2
3

(x + 1)

e) f (x) =



−x

2

dla

x < 0

2 + x

dla

x > 0

f ) f (x) =



3

x

− 1

dla

x < 0

log

3

(x + 1)

dla

x > 0

3.

Naszkicować wykres funkcji:

a) y = arc cos(x − 2)

b) y = −1 + arc tg(x + 5)

c) y = −2 arc sin |x|

4.

Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji:

a) f (x) = sin x,

x ∈

 π

2

,

3π

2



b) f (x) = cos x,

x ∈ hπ, 2πi

c) f (x) = tg x,

x ∈



−

3π

2

, −

π

2



d) f (x) = ctg x,

x ∈ (π, 2π)

5.

Obliczyć wartość wyrażenia:

a) tg



arc cos

1

2



b) ctg



arc sin

1

3



c) sin



arc sin

3

5

+ arc sin

8

17



d) sin (arc tg 1 + arc tg 2)

6.

Obliczyć:

a) arc ctg



tg

17

10

π



b) arc sin



cos

13

8

π



c) sin



2 arc tg

3

4



d) cos



arc sin

4

5

+ arc sin

12

13



7.

Wykazać, że

a) arc tg 2 + arc tg 3 =

3

4

π

b) cos

 1

2

arc sin x



=

|x|

q

2(1 −

√

1 − x

2

)

8.

Sprawdzić, że

a) arc sin x + arc cos x =

1
2

π

dla

|x| 6 1

b) arc cos(−x) = π − arc cos x

dla

|x| 6 1

c) arc tg x = arc ctg

1
x

dla

x > 0

d) arc tg x = arc ctg

1
x

− π

dla

x < 0

e) arc cos

√

1 − x

2

= − arc sin x

dla

x ∈ h−1, 0i

f ) cos(arc sin x) =

√

1 − x

2

dla

|x| 6 1

9.

Narysować wykresy funkcji:

a) y = arc sin(sin x)

b) y = sin(arc sin x)

c) y = arc cos(cos x)

d) y = cos(arc cos x)

e) y = arc sin(cos x)

f ) y = arc cos(sin x)

g) y = sin(arc cos x)

h) y = cos(arc sin x)

i) y = arc tg(tg x)

j) y = tg(arc tg x)

k) y = ctg(arc tg x)

l) y = arc tg(ctg x)