1.

PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

Wszystkie rozgrzane ciała emitują promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj
różne długości fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcj
długości fali. W danej temperaturze różne ciała maj
światła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie mo
widmo promieniowania rozgrzanych ciał.
Można wprowadzić jednak pewien model, który pozwala wyprowadzi
własności promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazw
Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padaj
zakresach długości fali. Mówiąc inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

Ciało doskonale czarne nie odbija światła, mo
otwór prowadzący do zamkniętej wnęki. Ś
praktycznie całkowicie pochłonięte. Innym przykładem ciał, które w dobrym przybli
czarnego są gwiazdy.

Dla ciał doskonale czarnych obowiązuje
wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długo
proporcjonalna to czwartej potęgi temperatury ciała (wyra

gdzie

Wyprowadzenie zgodnej z doświadczeniem zale

doskonale czarnego wymaga założenia, że światło mo
częstością fali, a

stałą Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

bodźców prowadzących do uznania korpuskularnej natury

promieniowania ciała doskonale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma posta

Wielkość

oznacza moc promieniowania przypadaj

temperaturze

, przypadającej na zakres długo

odpowiada mocy na jednostkę powierzchni jak

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

Wzór Plancka

ma tę własność, że wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko

ciało, ale rozkład przesuwa się w stronę fal o wi
temperaturach

i

ma maksimum odpowiadające długości fali
maksimum dla długości fali

(barwa zielona).

Ze wzoru Plancka można wyprowadzić prawo Stefana
ciała doskonale czarnego w całym zakresie widma wynosi:

PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj

ci fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcję opisującą zależność mocy pr

żne ciała mają w ogólności inne widmo promieniowania. Jedne ciała emituj

wiatła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie można więc podać jednego wzoru, który by opisywał

jednak pewien model, który pozwala wyprowadzić wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje

ci promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazwę modelu ciała doskonale czarnego

Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich

c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

wiatła, może natomiast je emitować. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały

ki. Światło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbi

nym przykładem ciał, które w dobrym przybliżeniu mają

ązuje prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna mówi

wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długości fali) przez ciało na jednostk

gi temperatury ciała (wyrażonej w skali Kelvina):

nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna.

wiadczeniem zależności mocy promieniowania od długości fali dla promieniowania ciała

że światło może być emitowane tylko w porcjach o energii

Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

cych do uznania korpuskularnej natury światła i wprowadzenia pojęcia fotonu. Wzór opisuj

ale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma postać:

oznacza moc promieniowania przypadającą na jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w

cej na zakres długości fali od

do

. Wyrażenie:

powierzchni jaką wypromieniowuje ciało w zakresie długości fali od

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

e wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko spada całkowita moc wypromieniowywana przez

w stronę fal o większej długości. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o

. Widać, że podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze

ci fali

(barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze

(barwa zielona).

prawo Stefana-Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostk

o w całym zakresie widma wynosi:

1

promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała mają

ść mocy promieniowania ciała od

ci inne widmo promieniowania. Jedne ciała emitują np. dużo

jednego wzoru, który by opisywał poprawnie

wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje

rnego.

ce na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich

c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały

wiatło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbić wewnątrz wnęki, że jest

eniu mają właściwości ciała doskonale

mówiące, że całkowita moc

ci fali) przez ciało na jednostkę powierzchni jest

ści fali dla promieniowania ciała

emitowane tylko w porcjach o energii

, gdzie

jest

Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

cia fotonu. Wzór opisujący widmo

powierzchni ciała doskonale czarnego w

ci fali od

do

.

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

.

spada całkowita moc wypromieniowywana przez

ci. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o

e podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze

(barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze

ma

Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostkę powierzchni

Stefana-Boltzmanna

14 grudnia 1900 Max Planck przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 pa
wersją wzoru Wiena. Poprawka Plancka polegała na odj
oscylatory wytwarzające promieniowanie cieplne mog
nie promieniowanie może być wysyłane tylko
cześć rozkładem Plancka:

gdzie:

radiancja spektralna

kierunku prostopadłym do emitującej powierzchni (jednostka w SI:
Plancka,

temperatura ciała doskonale czarnego,

Wiedząc że promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, mo

fotonów dN o energii z zakresu dE w postaci

Maksimum funkcji intensywności promieniowania opisuje

Gęstość energii promieniowania (gaz bozonowy

podobną zależność ma strumień promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

gdzie

σ = ca / 4. Powyższy wzór wyraża prawo Stefana

temperaturę powierzchniową gwiazdy i zwi
pozostałe po Wielkim Wybuchu ma widmo
Zgodnie z hipotezą Stephena Hawkinga czarna dziura
prowadzi do jej powolnego parowania.

.

przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 października 1900 roku i b

Plancka polegała na odjęciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyj

ce promieniowanie cieplne mogą przyjmować tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez

wysyłane tylko określonymi porcjami. Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego

radiancja spektralna częstotliwościowa (tzn. radiancja na jednostk

cej powierzchni (jednostka w SI: W·m

-2

·sr

-1

·Hz

-1

),

częstotliwo

ciała doskonale czarnego, prędkość światła w próżni, stała Boltzmana.

e promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, można zapisać wzór wyrażający

w postaci

Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.

ci promieniowania opisuje prawo przesunięć Wiena

gaz bozonowy dla bezmasowych fotonów) zależy tylko od temperatury

promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

prawo Stefana-Boltzmanna. W astronomii prawo Wiena

i związać ją z barwą gwiazdy. Wypełniające cały Wsze

ma widmo takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7

czarna dziura emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co

2

co daje ostatecznie prawo

dziernika 1900 roku i będącego poprawioną

ciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyjął, że

tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez

Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego

ciowa (tzn. radiancja na jednostkę częstotliwości) w

ęstotliwość promieniowania,

stała

.

żający średnią liczbę emitowanych

Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.

y tylko od temperatury

promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

Wiena pozwala wyznaczyć efektywną

Wszechświat promieniowanie tła

takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7 K.

emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co

2.

EFEKT FOTOELEKTRYCZNY

Efekt fotoelektryczny (zjawisko fotoelektryczne

1.

emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (

zewnętrznym dla odróżnienia od wewn

2.

przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego

wewnętrzne), w wyniku naświetlania
odpowiedniej częstotliwości, zależnej od r

Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa si
zależy od natężenia światła a jedynie od jego cz
fotojonizacji, gdy zachodzi zjawisko fotoelektryczne wewn

Odkrycie i wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło si
obiektom mikroświata przypisywane są jednocze
opis efektu fotoelektrycznego zawdzięczamy
przez Maxa Plancka w 1900 roku.

Doświadczenie Hertza z cewką - W roku 1887
cewki odbierającej fale elektromagnetyczne. Zbudowany przez niego odbiornik fal składał si
ilekroć odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hert
pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował,
fal i odbiornik pochłaniała promieniowanie ultrafioletowe
Zastąpienie szkła kwarcem nie powodowało zmniejszenia iskry, gdy
Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył si

Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyja

założeniu, że energia wiązki światła pochłaniana jest w postaci porcji (
oznacza częstotliwość fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w cało
elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej
daną substancję (stałą materiałową). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa

gdzie: h

maksymalna energia kinetyczna emitowanych elektronów.

Hipoteza kwantów wyjaśnia, dlaczego energia fotoelektronów jest zale
częstotliwości światła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein op
fotoelektryczne, w Annalen der Physik w 1905

Otrzymane równanie zostało potwierdzone do
Einsteina i przez 10 lat eksperymentował próbuj
słuszności kwantowej natury światła. Co wię
Plancka. Równanie opisujące zależności energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana

Odstępstwa od powyższego opisu

1.

Światło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajduj

głębiej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opu

2.

W przypadku bardzo dużych natężeń

elektron może zaabsorbować energię

zjawisko fotoelektryczne, fotoefekt) – zjawisko fizyczne polegające na

z powierzchni przedmiotu (zjawisko fotoelektryczne zwane również

nienia od wewnętrznego);

ników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw.

wietlania promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład

żnej od rodzaju przedmiotu.

Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa się czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna

a jedynie od jego częstotliwości. Gdy oświetlanym ośrodkiem jest

zi zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne mówi się o fotoprzewodnictwie.

nienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło się do rozwoju korpuskularno-falowej

jednocześnie własności falowe i materialne (korpuskularne). Wyja

czamy Albertowi Einsteinowi, który w 1905 roku wykorzystał hipotez

1887 Hertz opublikował wyniki swych badań nad przeskokiem iskier w iskrowniku

e. Zbudowany przez niego odbiornik fal składał się z obr

odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hertz umieś

pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował, że spowodowało to osłabienie iskry. Okazało si

promieniowanie ultrafioletowe, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.

nie powodowało zmniejszenia iskry, gdyż kwarc nie pochłania promienio

Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył się do publikacji swych wyników.

Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyjaśnienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na

wiatła pochłaniana jest w postaci porcji (kwantów) równych hν, gdzie

fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w całości. Einstein zało

elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej prac

ą wyjścia, która jest wielko

). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa

– stała Plancka; ν – częstotliwość padającego fotonu;

emitowanych elektronów.

nia, dlaczego energia fotoelektronów jest zależna od częstości światła oraz,

wiatła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein opublikował swoją pracę

w 1905 r.

Otrzymane równanie zostało potwierdzone doświadczalnie przez Millikana. Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji
Einsteina i przez 10 lat eksperymentował próbując ją obalić. Paradoksalnie, jego doświadczenia stały si

wiatła. Co więcej, precyzyjne pomiary Millikana umożliwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej

ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana

wiatło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajdującymi się na powierzchni katody, ale niektóre fotony mog

biej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opuści katodę, może wytracić część energii na zderzenia wewn

ężeń światła (np. z lasera) mogą zachodzić procesy wielofotono

energię kilku fotonów.

3

zwane również zjawiskiem fotoelektrycznym

(tzw. zjawisko fotoelektryczne

(na przykład światłem widzialnym) o

Energia kinetyczna fotoelektronów nie

rodkiem jest gaz, zachodzi zjawisko

.

falowej teorii materii, w której

ci falowe i materialne (korpuskularne). Wyjaśnienie i matematyczny

roku wykorzystał hipotezę kwantów wysuniętą

nad przeskokiem iskier w iskrowniku

ę z obręczy i cewki zapłonowej –

z umieścił swe urządzenie w ciemnym

e spowodowało to osłabienie iskry. Okazało się, że szyba izolująca źródło

, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.

kwarc nie pochłania promieniowania ultrafioletowego.

do publikacji swych wyników.

nienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na

, gdzie h jest stałą Plancka a ν

ci. Einstein założył dalej, że usunięcie

, która jest wielkością charakteryzującą

). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozważań wynika wzór:

cego fotonu; W – praca wyjścia; E

k

–

światła oraz, że poniżej pewnej

pracę, w której wyjaśnił zjawisko

. Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji

wiadczenia stały się koronnym dowodem

liwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej

ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana-Einsteina.

erzchni katody, ale niektóre fotony mogą wnikać

energii na zderzenia wewnątrz katody.

procesy wielofotonowe, co oznacza, że jeden

Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne -
pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to
przenosi się do pasma przewodnictwa zmieniaj
zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest wi
między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).

Zjawisko Comptona, rozpraszanie komptonowskie
promieniowania gamma, czyli promieniowania elektromagnetycznego
związanych elektronach, w wyniku którego nast
przy tym elektron, którego energia wiązania
padającego fotonu. Zjawisko przebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

Zwiększenie długości fali rozproszonego fotonu, zwane

ze wzorem:

gdzie:

–

zmiana

długości

fali

fotonu,

(przesuni

Plancka,

– masa spoczynkowa elektronu

Zatem zmiana długości fali nie zależy od jej pocz

padającego promieniowania. Maksymalna zmiana długo

(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla
długości fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest wi

, co odpowiada energii fo

Wzór na przesunięcie długości fali można przekształci

W efekcie fotoelektrycznym wewnętrznym energia fotonu te

pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewn

do pasma przewodnictwa zmieniając tym samym własności elektryczne materiału (Fotoprzewodnictwo

zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest większa, niż wynosi szerokość pasma wzbronionego (odległo

dzy pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).

rozpraszanie komptonowskie - zjawisko rozpraszania promieniowania X

promieniowania elektromagnetycznego o dużej częstotliwości

, w wyniku którego następuje zwiększenie długości fali promieniowania. Za słabo zwi

ązania w atomie, cząsteczce lub sieci krystalicznej jest znacznie ni

ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

rozproszonego fotonu, zwane przesuni

ęciem Comptona, zależy od ką

ci

fali

fotonu,

(przesunięcie

Comptona);

–

– stała, tzw. komptonowska długo

elektronu, – prędkość światła,

– długość fali rozproszonej,

y od jej początkowej długości. Oznacza to, że względna zmiana zale

cego promieniowania. Maksymalna zmiana długości fali

wyst

(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla światła widzialnego, od długości rzędu

ci fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest więc bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długo

fotonów około 1 MeV, oznacza to niemal dziesięciokrotny wzrost długo

na przekształcić w wyrażenie na energię fotonu po rozproszeniu:

, gdzie

jest energią fotonu padającego (przed rozproszeniem).

4

trznym energia fotonu też jest całkowicie

ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym,

Fotoprzewodnictwo). Zjawisko to

pasma wzbronionego (odległość energetyczna

promieniowania X (rentgenowskiego) i

stotliwości, na swobodnych lub słabo

ci fali promieniowania. Za słabo związany uważamy

steczce lub sieci krystalicznej jest znacznie niższa, niż energia

ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

y od kąta rozproszenia fotonu zgodnie

kąt

rozproszenia

fotonu;

komptonowska długość fali elektronu;

– stała

fali rozproszonej, – długość fali padającej.

dna zmiana zależy od długości fali

występuje dla kąta

względna zmiana

c bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długości fali

ciokrotny wzrost długości fali.

fotonu po rozproszeniu:

cego (przed rozproszeniem).

5

3.

KWANTOWANIE, POSTULAT PLANCKA

Kwantowanie, kwantyzacja — konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola.
Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru
dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się
przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w
większości równań mechaniki kwantowej. Historycznie stała Plancka pojawiła się w pracy Maxa Plancka na temat wyjaśnienia
przyczyn tzw. katastrofy w nadfiolecie w prawie promieniowania ciała doskonale czarnego. Planck stwierdził, że energia nie
może być wypromieniowywana w dowolnych ciągłych ilościach, a jedynie w postaci "paczek" (kwantów) o wartości hν, gdzie ν
jest częstotliwością.

Stała Plancka w układzie SI jest równa: h = 6,626 0693 (11)·10

–34

J·s = 4,135 667 443 (35)·10

–15

eV·s

O wiele częściej niż stałej Plancka używa się wielkości nazywanej h kre

ślone (albo stała Diraca):

gdzie π jest liczbą pi. Wielkość ta jest równa:

1,054 571 68 (18)·10

–34

J·s = 6,582 119 15 (56)·10

–16

eV·s = 197, 326 968 (17) MeV·fm/c

jest kwantem momentu pędu, a więc tym samym i spinu. Z tego też powodu przez wielu uważana za stałą bardziej podstawową

niż sama stała Plancka. Oznaczenie to wprowadził brytyjski fizyk Paul A. M. Dirac.

4.

FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej
będąca rozwiązaniem równania Schrödingera
parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobie
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna).
matematyczna wymaga odniesienia się do własno
stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru
istnienie funkcji falowej.

Same funkcje falowe i ich wartości nie s
przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo
wartości faz funkcji falowych (porównaj efekt Aharonowa

Ściślejsza definicja określa funkcję falową jako reprezentacj
wektora z abstrakcyjnej, na ogół nieskończeniewymiarowej,
skalarnego także w relację równoważności, w której równowa
rzutować na określony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe okre
przyporządkowuje się tylko tym wektorom, dla których mo
obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie
zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.

własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opis

przypadku zespolona funkcja współrz

prawdopodobieństwo znalezienia czą

- wielkość nazywamy g

ęsto

przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element obj

- wielkość gdzie ∆V jest mał
w chwili t w objętości ∆V

- prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje si
nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję

Interpretacja kopenhaska funkcji falowej
znalezienia cząstki w danym punkcie jest równa
punkcie. Interpretacja kopenhaska nie jest jedyn
argumentów na jej rzecz. Jest jednak w powszechnym u
zbiorze liczb zespolonych. Rzeczywista warto
znalezienia obiektu (np. cząstki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własno
Podstawowe kierunki interpretacji są następują

a)

opis kwantowy jest kompletny, przypadko

b)

opis kwantowy jest niekompletny, przypadkowo

ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.

Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b)
rozwiniętej przez Johna Bella.

V

p ∆

∆

=

Ψ

/

2

p

dV

V

=

Ψ

∫

2

FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA

mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o warto

równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość

prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do g

stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna).

do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej

stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje cz

ci nie są bezpośrednio mierzalne. Jako funkcja zespolona mo

postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo

efekt Aharonowa-Bohma).

ą jako reprezentację w określonych współrzędnych (poło

ńczeniewymiarowej, przestrzeni Hilberta stanów układu, wyposa

, w której równoważne są elementy tzw. promienia, czyli wektory daj

lony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe określone są z dokładnością do czynnika skali, fizyczny sens

tylko tym wektorom, dla których możliwe jest unormowanie do jednoś

yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie

zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.

stki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa

przypadku zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x,y,z,t)

stwo znalezienia cząstki określa kwadrat modułu funkcji falowej

tością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie

przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości ∆V

V jest małą objętością w przestrzeni, jest równa prawdopodobie

stka znajduje się „gdziekolwiek” w przestrzeni wynosi 1.

a funkcję Ψ spełniającą ten warunek nazywamy funkcj

ą unormowan

funkcji falowej jest interpretacją probabilistyczną. Mianowicie

stki w danym punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej (funkcja razy

nterpretacja kopenhaska nie jest jedyną możliwą interpretacją, i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy

mentów na jej rzecz. Jest jednak w powszechnym użytku. Każdy obiekt opisany jest tzw. funkcj

zbiorze liczb zespolonych. Rzeczywista wartość absolutna tej funkcji w określonym punkcie wyznacza prawdopodobie

stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własno

ępujące:

opis kwantowy jest kompletny, przypadkowość jest realną cechą natury,

przypadkowość jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne

ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.

Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b) – interpretacji Davida Bohma

Ψ

Ψ

∗

2

Ψ

∫

∞

6

żenia, o wartościach zespolonych,

stki. Wartość funkcji falowej dla danych

jest proporcjonalny do gęstości

stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja

interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje

. Inne interpretacje często zakładają realne

rednio mierzalne. Jako funkcja zespolona może być funkcja falowa

postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów możliwy jest pomiar różnic

dnych (położenia, pędy, inne) pewnego

stanów układu, wyposażonej obok iloczynu

elementy tzw. promienia, czyli wektory dające się wzajemnie

ą do czynnika skali, fizyczny sens

liwe jest unormowanie do jedności). Kwadrat modułu wektora,

yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa

uje funkcja falowa Ψ. Jest to w ogólnym

stki w chwili t w pewnym punkcie

prawdopodobieństwu znalezienia cząstki

Warunek powyższy

unormowaną.

. Mianowicie gęstość prawdopodobieństwa

funkcji falowej (funkcja razy funkcja sprzężona) w tym
, i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy

dy obiekt opisany jest tzw. funkcją falową o wartościach w

lonym punkcie wyznacza prawdopodobieństwo

stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własności cząstek, np. ich spinu.

jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne

interpretacji Davida Bohma – Louisa de Broglie,

2

Ψ

=

Ψ

1

2

=

dV

7

5.

POSTULAT de BROGLIE. ZASADA SUPERPOZYCJI FUNKCJI FALOWYCH. DUALIZM FALOWAO-

KORPUSKULARNY I ZASADA KOMPLEMENTARNOŚCI

Pomysł opisu cząstek za pomocą fal pochodzi od Louisa de Broglie'a, który w 1924 roku uogólnił teorię fotonową efektu
fotoelektrycznego. W tym czasie wiedziano już, że na potrzeby opisu niektórych zjawisk fizycznych, każdą falę
elektromagnetyczną można traktować jako strumień cząstek - fotonów. Fotonom, mimo że nie mają masy, można przypisać pęd

,

gdzie λ - długość fali fotonu.

Propozycja De Broglie'a polegała na odwróceniu rozumowania - aby każdej cząstce o różnym od zera pędzie przypisać falę, o
określonej długości i częstotliwości. Zgodnie z tym, de Broglie zaproponował odwrócenie zależności między pędem a długością
fali, znanej dla fotonu, tak aby długość fali była wyrażona przez pęd cząstki. Hipoteza ta nie miała żadnych podstaw
doświadczalnych i była czysto logiczną spekulacją.

Fale materii, zwane też falami de Broglie'a jest to, alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego), sposób
opisu obiektów materialnych. Według hipotezy de Broglie'a dualizmu korpuskularno-falowego każdy obiekt materialny może być
opisywany na dwa sposoby: jako zbiór cząstek, albo jako fala (materii). Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę
materii w postaci dyfrakcji cząstek elementarnych a nawet całych jąder atomowych.

Wzór pozwalający wyznaczyć długość fali materii dla cząstki o określonym pędzie ma postać

, gdzie: λ - długość fali

cząstki, h - stała Plancka, p - pęd cząstki.

Korpuskularno-falowa natura materii jest jednym z głównych aspektów mechaniki kwantowej: każdy obiekt materialny może
przejawiać naturę falową, co oznacza, że może podlegać zjawiskom dyfrakcji i interferencji.

Zgodnie z mechaniką kwantową cała

materia charakteryzuje się takim dualizmem, chociaż uwidacznia się on bezpośrednio tylko w bardzo subtelnych eksperymentach
wykonywanych na atomach, fotonach, czy innych obiektach kwantowych. Dualizm korpuskularno-falowy jest ściśle związany z
falami de Broglie'a, koncepcją która przyczyniła się do powstania mechaniki kwantowej, a w szczególności do wyprowadzenia
równania Schrödingera.

Stosunkowo łatwo jest zaobserwować efekty falowe w przypadku cząstek lekkich, np. elektronów (małe obiekty przejawiają
właściwości falowe). Dyfrakcję i interferencję fal elektronów można uzyskać wykorzystując technikę zbliżoną do metod znanych
z krystalografii rentgenowskiej.

Dzięki temu, że długość fali materii dla elektronu jest bardzo mała w porównaniu z długością fali światła, elektrony doskonale
nadają się do obserwacji małych obiektów. Zostało to wykorzystane m.in. do budowy mikroskopu elektronowego, który ma
wielokrotnie wyższą rozdzielczość od mikroskopu optycznego.

Powyższe rozważania dotyczą ruchu swobodnego cząstek (którym odpowiadałyby fale płaskie). W realnych przypadkach cząstce
należy przypisać pewną grupę fal materii, tzw. paczkę falową. Pełny i ścisły obraz falowego aspektu materii daje mechanika
kwantowa nazywana czasem mechaniką falową, gdzie mówi się o falach prawdopodobieństwa zamiast o falach materii.

Superpozycja fal to sumowanie się kilku niezależnych ruchów falowych. Dla małych amplitud fal (małych natężeń fali)
prawdziwa jest zasada superpozycji mówiąca, że fala wypadkowa, będąca wynikiem jednoczesnego nałożenia się kilku ruchów
falowych, jest sum

ą fal składowych. Prawo to nie zachodzi w ośrodkach nieliniowych znacznych natężeń fal. Wówczas fala

wypadkowa nie jest zwykle sumą fal składowych i nie można mówić o superpozycji fal, choć nadal następuje ich nakładanie się.

ZASADA KOMPLEMENTARNOŚCI:

cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu

w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych samych warunkach nie można stosować obu modeli

dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie,

że jest zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast kiedy porusza się – zachowuje się jak fala,
która nie jest zlokalizowana, lecz rozciąga się w przestrzeni

8

6.

RÓWNANIE SCHRODINGERA DLA JEDNEJ CZĄSTECZKI. POSTAĆ ZALEśNA I NIEZALEśNA OD

CZASU

Równanie Schrödingera to podstawowe i najważniejsze równanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej - teorii kwantowej
obowiązującej dla prędkości małych w porównaniu z prędkością światła. Zostało ono sformułowane w 1926 roku przez
austriackiego fizyka - Erwina Schrödingera.

Możemy wyprowadzić równanie Schrödingera rozpoczynając od klasycznego wzoru na energię całkowitą E cząstki w potencjale
V(x,y,z). Energię tą obliczamy ze wzoru:

E = E

kin

+ E

pot

= (p

2

/2m) + V(x,y,z) gdzie: E

kin

- energia kinetyczna, E

pot

=V(x,y,z) - energia potencjalna, p - pęd cząstki, m - masa

cząstki

W mechanice kwantowej, mierzalne wielkości (takie jak np. pęd, energia, moment pędu) zastępujemy odpowiadającymi im
operatorami. Operatory te działają na funkcję falową Ψ, reprezentującą stan cząstki.

Odpowiednie operatory to:

E → iħ ∂/∂t

p → -iħ (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
V(x,y,z) → V(x,y,z)

Podstawiając teraz te operatory do wzoru na energię całkowitą cząstki i wiedząc, że operatory muszą działać na funkcję (falową),
otrzymujemy równanie Schrödingera zale

żne od czasu:

-(ħ

2

/2m)(∂

2

Ψ/∂x

2

+ ∂

2

Ψ/∂y

2

+ ∂

2

Ψ/∂z

2

) + VΨ = iħ ∂Ψ/∂t gdzie: i - jednostka urojona, ħ - stała Plancka (h) podzielona przez 2π, m

- masa cząstki, Ψ - funkcja falowa, V - potencjał.

Obowiązuje ono dla każdej nierelatywistycznej cząstki w polu potencjalnym.
Równanie Schrödingera odczytujemy jak następuje: suma drugich pochodnych funkcji falowej po współrzędnych przestrzennych
pomnożonych przez -ħ

2

/2m dodać iloczyn potencjału i tej funkcji jest równa pochodnej tej funkcji po czasie pomnożonej przez iħ.

Rozwiązaniem tego równania jest zależna od czasu i współrzędnych przestrzennych funkcja falowa Ψ. Mając to rozwiązanie
wiemy w jakim stanie kwantowym cząstka znajduje się w dowolnym czasie i jak ów stan będzie się z czasem zmieniał.
Równanie Schrödingera jest tak ważne jak II zasada dynamiki Newtona, której równanie pozwala nam wyznaczyć w jakim
położeniu znajduje się w dowolnym czasie cząstka, jeśli znamy działające na nią siły.

Jeśli układ ma stałą w czasie energię E (stan stacjonarny), to funkcję falową takiego stanu możemy przedstawić następująco:

Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z) exp(-iEt/ħ)

Wtedy to, po podstawieniu do powyższego równania zależnego od czasu, otrzymujemy równanie Schrödingera niezale

żne od

czasu. Dzięki niemu możemy wyznaczyć te stany kwantowe, które mają ściśle określone energie, a także możliwe wartości tych
energii.

-(ħ

2

/2m)(∂

2

ψ/∂x

2

+ ∂

2

ψ/∂y

2

+ ∂

2

ψ/∂z

2

) + Vψ = Eψ

Według interpretacji będących poza paradygmatem mechaniki kwantowej, funkcja Ψ nie reprezentuje fali materii, ale pokazuje
zmiany czasowe i przestrzenne kąta precesji spinu cząstki. Natomiast równanie Schrödingera, to równanie podające warunek
stabilności stanu cząstki w obecności zaburzeń. Dla atomu mówi ono na jakich trajektoriach elektron nie straci energii w
oscylacyjnym polu cząstek jądra. Okazuje się, że są to tory, na których kąt precesji spinu wykona całkowitą wielokrotność
pełnych obrotów. I to właśnie dlatego u zarania mechaniki kwantowej postulowano orbity stabilne, jako mieszczące całkowitą
wielokrotność długości fal materii. Ale da się to wytłumaczyć jaśniej, czyli bardziej obrazowo, a mniej - matematycznie. I nie
trzeba mieszać cząstek z falami. Cząstki są tu zawsze sobą.

Ogólnie Schrödingera równanie ma postać:

gdzie: i - jednostka urojona, h = h/2π (h - stała Plancka), t - czas, H - hamiltonian układu, ψ - funkcja falowa opisująca ten układ.

9

7.

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ, OPERATORY, RÓEWNANIE WŁASNE, FUNKCJA WŁASNA I

WARTOŚĆ WŁASNA

Postulaty fizyczne mechaniki kwantowej.

1. Zasada odpowiedniości.

Wszystkie relacje znane z mechaniki klasycznej, które nie zawierają pochodnej, zachodzą również w mechanice
kwantowej, po zastąpieniu wielkości fizycznych odpowiednimi operatorami.
Dla układów makroskopowych musi nastąpić automatyczne przejście z mechaniki kwantowej w mechanikę klasyczną; nowa i
stara teoria muszą się zgadzać w zakresie, gdzie różnice pomiędzy ich założeniami nie odgrywają istotnej roli.

2. Zasada komplementarności.
Pewne elementy opisów układów mikroskopowych wykluczają się wzajemnie.
Z empirycznego punktu widzenia żaden przyrząd nie pozwala zmierzyć dokładniej niż to wynika z zasady nieoznaczoności, tzn.
jest to bariera teoretyczna, a nie względy praktyczne.

3. Zasada superpozycji.
Zakładamy, że równanie falowe, które opisuje pojedynczą cząstkę musi być równaniem liniowym.
Jeżeli mamy jakieś równanie opisujące jeden obiekt i dodamy drugi, to równanie to musi opisywać dwa obiekty. Jest to bardzo
ograniczające założenie i są takie dziedziny fizyki, jak optyka nieliniowa, gdzie zasada ta nie gra żadnej roli.

10

11

8.

DEFINICJA OPERATORA HERMITOWSKIEGO I JEGO WŁASNOŚCI

12

9.

KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIE

NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne
obserwablami. Aby dany operator był obserwabl
operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej
własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielko

Wartość średnią operatora

w unormowanym

jako:

zagadnienia własnego:

gdzie a jest wartością własną operatora

. W szczegó

Wartości własne mogą być zdegenerowane, tzn. jednej warto
własnych.

Heisenberga zasada nieoznaczoności (nieokre
wartości par pewnych wielkości fizycznych, opisuj
podstawowych twierdzeń mechaniki kwantowej.

Zasada nieoznaczoności mówi, że nie można z dowoln
sformułowana przez Wernera Heisenberga w
postać zasady nieoznaczoności:

KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIEśALNOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNYCH. ZASADA

CI HEISENBERGA

mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie

obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta.

rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik

dkowanej danej wielkości fizycznej.

w unormowanym stanie kwantowym

opisywanym przez funkcję

Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym

. W szczególności dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.

, tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezale

ci (nieokreśloności), postulat głoszący niemożność równoczesnego, dokładnego okre

ci fizycznych, opisujących układ kwantowy, np. położenia i pędu czą

mechaniki kwantowej.

żna z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie poło

w 1927 roku, jest konsekwencją dualizmu korpuskularno

13

CI FIZYCZNYCH. ZASADA

operatory hermitowskie zwane

przestrzeni Hilberta. Wartości własne

otrzymujemy jako wynik jedną z wartości

funkcję falową

definiujemy

obserwabli w danym stanie własnym

wyznaczamy z

ci dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.

lka liniowo niezależnych wektorów

równoczesnego, dokładnego określenia

du cząstki, energii i czasu; jedno z

nie położenia i pędu cząstki. Odkryta i

dualizmu korpuskularno-falowego. Matematyczna

14

gdzie:

•

∆x – nieokreśloność pomiaru położenia (odchylenie standardowe położenia),

•

∆p

x

– nieokreśloność pomiaru pędu (wariancja pędu),

•

h – stała Plancka.

Jest uogólniana na inne pary (kanonicznie sprzężonych) wielkości fizycznych, np. czas i energię – nie można z dowolną
dokładnością wyznaczyć jednocześnie czasu życia nietrwałej cząstki i energii stowarzyszonej z nią fali de Broglie'a:

gdzie:

•

∆E – nieokreśloność pomiaru energii (odchylenie standardowe energii),

•

∆t – nieokreśloność pomiaru czasu (odchylenie standardowe czasu).

Zależność ta pierwszy raz została zaproponowana przez Leonida Mandelshtama oraz Igora Tamma w roku 1945.

Ważne jest by podkreślić, że ∆x itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody
pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej
(interpretacja kopenhaska). Z matematycznego punktu widzenia zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji
operatorów położenia i pędu

gdzie komutator [A,B]=AB – BA. W mechanice kwantowej operatory opisujące wielkości fizyczne (obserwable) nie muszą
komutować (być przemienne). Konsekwencją tego jest zasada nieoznaczoności. Zachodzi ona dla dowolnych dwóch obserwabli
(A i B) gdy tylko [A,B] jest różne od zera.

10.

CZĄSTKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

ENERGIA. ZJAWISKO DEGENERACJI

Równanie Schrödingera na funkcję falową

zadanym funkcją

ma postać:

gdzie

(

jest stałą Plancka), a jest jednostk

,,Wyprowadzenie''

Poniższe rozumowanie nie jest w żadnym razie
pewnych intuicji prowadzących do niego.

Obserwacje światła prowadzą do wniosku, że jego natura jest nie tylko falowa, ale i cz
fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki

częstości

związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami

gdzie

jest liczbą falową, a

cząstkowe, jak i falowe. Powyższy związek p
wszystkich cząstek, nie tylko dla fotonów.

Powyższe związki prowadzą do wniosku, że cz
falą płaską - ma określoną częstość i długość

proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus

Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegn

liczbami zespolonymi, to biorąc

,

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera
opisującą cząstkę o określonej energii i pędzie. Powy

gdyż z uwagi na fakt, że

, ma ona t

falowej będzie z kolei służył do wyznaczania prawdopodobie
falowej danej powyższym wzorem będzie mogła by
punkt nie będzie wyróżniony.

Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej zwi
nierelatywistyczną (tzn. porusza się z prędko
kinetyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej
służyć tylko do opisu takich cząstek. W szczególno

nierelatywistyczny związek energii

i pędu cz

gdzie

jest energią potencjalną cząstki, gdy znajduje si

cząstki za pomocą pewnego równania na funkcj
energią i pędem. Zauważmy, że używając funkcji falowej odpowiadaj
możemy napisać

STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

O DEGENERACJI

falową

cząstki o masie

poruszającej się w jednym wymiarze, w potencjale

jest jednostką urojoną.

adnym razie ścisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem

do wniosku, że jego natura jest nie tylko falowa, ale i cząstkowa (sugeruj

fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczn

dzie i energii danych wzorami

. Inne cząstki (elektrony, neutrony...) równie

ązek pędu i energii z długością i częstością związanej z dan

do wniosku, że cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadaj

i długość fali. Oznacza to, że fala związana z cząstką o okre

proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus

stce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby współczynniki w powy

dostajemy

. Funkcję falową o takiej postaci przy

ędzie. Powyższa funkcja falowa jest dość wyjątkową kombinacj

, ma ona tę własność, że jej moduł

jest stały - nie zale

ył do wyznaczania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie. Cz

dzie mogła być znaleziona z równym prawdopodobieństwem w całej przestrzeni

Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie

. Zakładamy,

z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówi

tyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej

). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, b

stek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów. Klasyczny,

ędu cząstki

ma postać

ąstki, gdy znajduje się ona w punkcie

. Naszym celem jest sformułowanie dynamiki

pewnego równania na funkcję falową związaną z cząstką, takiego aby zachowa

ąc funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym p

15

STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

w jednym wymiarze, w potencjale

cisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem

stkowa (sugerują to obserwacje zjawiska

elektromagnetyczną o długości fali

i

) również wykazują cechy zarówno

zanej z daną cząstką fali obowiązuje dla

d jedynie wtedy, gdy odpowiadająca jej fala jest

ą o określonej energii i pędzie jest

cimy, aby współczynniki w powyższej kombinacji były

o takiej postaci przyjmiemy jako funkcję falową

kombinacją funkcji sinus i cosinus,

nie zależy od

i . Moduł funkcji

stki w danym punkcie. Cząstka o funkcji

ństwem w całej przestrzeni - żaden

. Zakładamy, że cząstka jest cząstką

wiatła lub, mówiąc inaczej, jej energia

). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, będzie

ć do opisu fotonów. Klasyczny,

. Naszym celem jest sformułowanie dynamiki

, takiego aby zachować powyższy związek między

lonym pędzie i położeniu (równanie,

działanie na funkcję falową operacją

napisać

Operacja

w działaniu na funkcję falow

następującego utożsamienia energii i pędu z odpowiednimi oper
różniczkowania po czasie pomnożona przez

przez

Pędowi

w

kwadracie

będzie

odpowiada

Jeśli zatem związek energii i pędu pomnożymy przez funkcj

a

następnie

za

energię

i

pęd

wstawimy

uto

Degeneracja (zwyrodnienie) - w fizyce kwantowej
układu odpowiada wiele stanów kwantowych
energie różnych stanów kwantowych mogą zmieni

Typowym przykładem degeneracji są orbitale
liczba elektronów o tej samej energii, różnią
spinem związany jest moment magnetyczny
gdyż elektron ze spinem ustawionym zgodnie z zewn
spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest mi
magnetycznego - Efekt Zeemana, pola elektrycznego

Ogólnie w mechanice kwantowej, opisuje się
własnych) operatorów kwantowych skojarzonych z pewn
wartości własnej operatora A odpowiada kilka stanów własnych. Mówimy wówczas,
bowiem mierząc wartość wielkości A, nie jeste
istnieje wielkość B, która pozwala rozróżnić poszczególne stany odpowiadaj

gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze zwi

powoduje pomnożenie funkcji falowej przez energi

ę falową powoduje więc pomnożenie jej przez pęd czą

ędu z odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja

ona przez

, natomiast pędowi będzie odpowiadać operacja róż

e

odpowiadać

dwukrotne

działanie

operacją

żymy przez funkcję falową

d

wstawimy

utożsamione

z

nimi

operacje,

to

otrzymamy

równanie

które jest właśnie równaniem Schrödingera.

fizyce kwantowej zwykle mianem degeneracji określa się sytuację

stanów kwantowych układu. Zmieniając warunki fizyczne, np. umieszczaj

ą zmienić się w różnym stopniu, rozdzielając jeden poziom energetycz

orbitale elektronowe w atomach. Na każdej powłoce energetycznej

żniących się jednak wartościami liczb kwantowych, są

moment magnetyczny, przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje usuni

ustawionym zgodnie z zewnętrznym polem znajdzie się w innym stanie energetycznym ni

spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest między innymi rozdzielenie linii spektralnych

, pola elektrycznego - efekt Starka.

, opisuje się zjawisko kwantowe, polegające na pojawianiu się

kwantowych skojarzonych z pewną wielkością fizyczną, powiedzmy A, o takiej własno

operatora A odpowiada kilka stanów własnych. Mówimy wówczas, że stany wielko

ci A, nie jesteśmy w stanie rozpoznać, w jakim stanie kwantowym znajduje si

żnić poszczególne stany odpowiadające zdegenerowanej warto

16

śmy ze związków. Oznacza to, że

enie funkcji falowej przez energię cząstki. Podobnie możemy

d cząstki. Możemy zatem dokonać

acjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja

operacja różniczkowania po

pomnożona

ą

na

funkcję

falową

samione

z

nimi

operacje,

to

otrzymamy

równanie

rödingera.

sytuację, kiedy jednej wartości energii

c warunki fizyczne, np. umieszczając go w polu magnetycznym,

poziom energetyczny na kilka.

powłoce energetycznej znajduje się pewna

, są to stany zdegenerowane. Ze

powoduje usunięcie degeneracji,

w innym stanie energetycznym niż elektron ze

linii spektralnych pod wpływem pola

ce na pojawianiu się stanów kwantowych (stanów

my A, o takiej własności, że tej samej

e stany wielkości A są zdegenerowane,

, w jakim stanie kwantowym znajduje się układ. Zwykle

ce zdegenerowanej wartości wielkości A.

17

11.

EFEKT TUNELOWY. WNIKANIE CZĄSTKI W OBSZAR KLASYCZNIE NIEDOZWOLONY. ODBICIE

CZĄSTKI OD PROGU POTENCJAŁU

Przedyskutujemy teraz rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki, której energię potencjalną można
przedstawić w postaci funkcji V(x) mającej różne stałe wartości na kilku kolejnych odcinkach osi x.

By rozwiązanie było fizycznie poprawne, funkcję własną

i ich pochodne

muszą mieć następujące

własności:

- musi być skończona;

,

- musi być jednoznaczna;

,

- musi być

ciągła.

Warunki te zapewniają, że funkcje własne są matematycznie "gładkimi" funkcjami, a więc i mierzalne wielkości fizyczne
obliczone na podstawie znajomości tych funkcji własnych będą także zmieniać się w sposób gładki.

Skok potencjału

,

Warunki początkowe: cząsteczka nadlatuje z lewej strony na barierę potencjału od

której może się odbić lub wniknąć do obszaru II

E

< V

0

-

Załóżmy, że cząstka o masie m i całkowitej energii E znajduje się w obszarze x < 0 i porusza się w kierunku punktu, w

którym V(x) zmienia się skokowo. Według mechaniki klasycznej cząstka będzie się poruszała swobodnie tym obszarze do chwili,

gdy osiągnie punkt x = 0, w którym zadziała na nią siła

działająca w kierunku malejących x. Dalszy ruch

cząsteczki zależy, klasycznie biorąc, od związku między E i V

0

, co jest również słuszne w mechanice kwantowej.

W celu

kwantowego określenia ruchu naszej cząstki musimy znaleźć funkcję falową, która będzie rozwiązaniem równania Schrödingera
dla potencjału schodkowego przy energii całkowitej E<V

0

. Ponieważ mamy do czynienia z równaniem Schrödingera niezależnym

od czasu, problem nasz sprowadza się do rozwiązania go i znalezienia funkcji własnych. Dla takiego potencjału oś x rozpada się

na dwa obszary. Równanie Schrödingera w każdym z tych obszarów możemy zapisać:

, x<0

, x>0

Te dwa równania rozwiązuje się oddzielnie. Wówczas funkcję własną ważną dla całego obszaru x konstruuje się przez połączenie

razem w punkcie x = 0 tych dwóch rozwiązań w sposób spełniający warunki, które wymagają, aby

i

były

wszędzie skończone i ciągłe.

Rozwiązanie pierwszego to:

;

Rozwiązanie drugiego:

;

ale funkcja musi być ograniczona w

, więc C = 0.

Wiemy, że

,

gdzie A - określa amplitudę fali padającej; B - amplituda fali odbitej

od bariery; D - wiązka przepuszczona przez barierę

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy :

Można obliczyć tzw. współczynnik odbicia

Oznacza to, że fala zostanie odbita całkowicie, ale nie od krawędzi progu, tylko wniknie nieco w głąb.

Oblicza się także tzw. współczynnik wnikania
gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z

E

> V

0

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

Rozwiązanie:

,

Z warunków brzegowych przyjmujemy D=0 , gdy

iż klasycznie cząsteczka w całości przechodzi do obszaru II.

Jeżeli E >>V

0

to

i

oraz

klasycznymi.

Jeżeli jednak V

0

<0 i E

0

<<|V

0

| (skok potencjału silnie ujemny) to

wiązki padającej (w przeciwieństwie do mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przej
efekt kwantowy obserwuje się w fizyce jądrowej, np. wtedy, gdy padaj
silny potencjał przyciągający przy zbliżaniu si

Bariera potencjału

Rozwiązaniem równania Schrödingera (E<V

0

Należy zapisać warunki ciągłości na funkcje falow
współczynniki B, C, D, F wyrażone od amplitudy fali padaj

W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem
niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia cz
zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skr
na ich powierzchni często znajdują się tlenki i zabrudzenia, k
prąd może płynąć. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie

w czasie rozpadów promieniotwórczych.

współczynnik wnikania

którego niezerowa wartość oznacza, że czą

stwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

,

,

.

=0 , gdyż w obszarze II fala nie ma od czego się odbić i porusza si

Ponieważ

kwantowo istnieje nieznikaj

ci przechodzi do obszaru II.

, co oznacza, że cząsteczka zachowuje się zgodnie z przewidywaniami

(skok potencjału silnie ujemny) to k

1

<< k

2

oraz

i

; nast

mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przejście wi

ądrowej, np. wtedy, gdy padający neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykaj

iu się do powierzchni jądra.

(cząsteczki nadlatują

V

0

) są w każdym z obszarów odpowiednie funkcje:

;

ci na funkcje falową i jej pochodną w punktach x = 0 i x = a. Otrzymujemy cztery równania na

one od amplitudy fali padającej A.

W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem - tunelowaniem. Polega ono na tym,

stwo znalezienia cząstki po drugiej stronie bariery potencjału, mimo że

zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skręcone druty przewodz

tlenki i zabrudzenia, które są dobrymi izolatorami. Elektrony tuneluj

. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie

Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.

18

że cząsteczka wnika do bariery, a

steczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z x.

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

ć i porusza się tylko w prawo

wo istnieje nieznikająca wiązka odbita, mimo,

zgodnie z przewidywaniami

; następuje całkowite odbicie
ście wiązki do obszaru II). Ten

cy neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykając

steczki nadlatują z lewej strony)

;

. Otrzymujemy cztery równania na

Polega ono na tym, że istnieje pewne

że E<V

0

. W rzeczywistości

cone druty przewodzą prąd pomimo, że

dobrymi izolatorami. Elektrony tunelują przez tę barierę i

. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy również

Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.

12.

OSCYLATOR HARMONICZNY. RÓWNANIE SHRODINGERA, ROZWI

DRGAŃ ZEROWYCH

Oscylator harmoniczny jest układem fizycznym

masie

, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym

to układ opisany jest przez potencjał

Jego energia całkowita jest równa

przechodzi w operator

zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

położenia x to

ARMONICZNY. RÓWNANIE SHRODINGERA, ROZWIĄZANIA I ENERGIE

układem fizycznym, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach

proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem

,gdzie pęd

.

spełniający regułę komutacyjną

nazywane operatorami anihilacji i kreacji

19

ZANIA I ENERGIE. ENERGIA

e zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki. Jest to ciało o

. Ponieważ siła

W mechanice kwantowej pęd

. Wygodnie jest

anihilacji i kreacji. Stąd operator