Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
Damian Kozioł i Damian Huderek
10 grudnia 2012
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
1 / 21
Spis treści
1
Baza macierzy
2
Wymiar macierzy
3
Baza rozwiązania równania różniczkowego
4
Rząd macierzy
5
Przykład macierzy pierwszego rzędu
6
Wymiar i baza przestrzeni zerowej
7
Rozwiązania specjalne równania Ax = 0
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
2 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
1
Wykorzystując wektory bazowe, mnożąc je przez skalary i dodając do
siebie jesteśmy w stanie uzyskać każdy wektor leżący w tej przestrzeni
Jako bazę można też rozumieć zbiór wektorów niezależnych. Dodanie do
niego jakiegokolwiek wektora spowoduje, że układ ten stanie się zależny.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
3 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
1
Wykorzystując wektory bazowe, mnożąc je przez skalary i dodając do
siebie jesteśmy w stanie uzyskać każdy wektor leżący w tej przestrzeni
Jako bazę można też rozumieć zbiór wektorów niezależnych. Dodanie do
niego jakiegokolwiek wektora spowoduje, że układ ten stanie się zależny.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
3 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
1
Wykorzystując wektory bazowe, mnożąc je przez skalary i dodając do
siebie jesteśmy w stanie uzyskać każdy wektor leżący w tej przestrzeni
Jako bazę można też rozumieć zbiór wektorów niezależnych. Dodanie do
niego jakiegokolwiek wektora spowoduje, że układ ten stanie się zależny.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
3 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 ←wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
4 / 21
Bazy macierzy
Dla macierzy górno trójkątnych tylko 6 elementów bazy naturalnej dla
macierzy 3x3 będzie bazą, stąd
dimU=6
. Macierze górno trójkątne 3x3
posiadają 6 elementów niezerowych, dlatego do ich opisania wystarczy 6
liczb.
Przykład
U =
1
2
3
0
4
5
0
0
6
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
5 / 21
Bazy macierzy
Dla macierzy górno trójkątnych tylko 6 elementów bazy naturalnej dla
macierzy 3x3 będzie bazą, stąd
dimU=6
. Macierze górno trójkątne 3x3
posiadają 6 elementów niezerowych, dlatego do ich opisania wystarczy 6
liczb.
Przykład
U =
1
2
3
0
4
5
0
0
6
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
5 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu
dimS=6
.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Przykład
S =
a
d
e
d
b
f
e
f
c
= S
T
Mimo iż możemy nie posiadać elementów zerowych, do opisania macierzy
symetrycznej wystarczy 6 liczb. Widać to na powyższym przykładzie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
6 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu
dimS=6
.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Przykład
S =
a
d
e
d
b
f
e
f
c
= S
T
Mimo iż możemy nie posiadać elementów zerowych, do opisania macierzy
symetrycznej wystarczy 6 liczb. Widać to na powyższym przykładzie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
6 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu
dimS=6
.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Przykład
S =
a
d
e
d
b
f
e
f
c
= S
T
Mimo iż możemy nie posiadać elementów zerowych, do opisania macierzy
symetrycznej wystarczy 6 liczb. Widać to na powyższym przykładzie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
6 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedź
Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego
dimD=3
.
S ∩ U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedź
Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego
dimD=3
.
S ∩ U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedź
Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego
dimD=3
.
S ∩ U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedź
Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego
dimD=3
.
S ∩ U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedź
Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego
dimD=3
.
S ∩ U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
7 / 21
Bazy macierzy
Sumując macierz górno trójkątną z macierzą symetryczną możemy
otrzymać dowolną macierz.
Dlatego
dim(S+U)=dimM=9
Sprawa wygląda nieco gorzej w przypadku mnożenia macierzy
symetrycznej i górnotrójkątnej. To jak wziąć 2 linie, które zmierzają w
zupełnie innych kierunkach, z ich połączenia nie uzyskamy podprzestrzeni.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
8 / 21
Bazy macierzy
Sumując macierz górno trójkątną z macierzą symetryczną możemy
otrzymać dowolną macierz.
Dlatego
dim(S+U)=dimM=9
Sprawa wygląda nieco gorzej w przypadku mnożenia macierzy
symetrycznej i górnotrójkątnej. To jak wziąć 2 linie, które zmierzają w
zupełnie innych kierunkach, z ich połączenia nie uzyskamy podprzestrzeni.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
8 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Dlatego
dimS+dimU=dim(S ∩ U)+dim(S+U)
Przykład
dimS=6
dimU=6
dim(S ∩ U)
dim(S+U)
6+6=3+9=12
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
9 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Dlatego
dimS+dimU=dim(S ∩ U)+dim(S+U)
Przykład
dimS=6
dimU=6
dim(S ∩ U)
dim(S+U)
6+6=3+9=12
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
9 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Dlatego
dimS+dimU=dim(S ∩ U)+dim(S+U)
Przykład
dimS=6
dimU=6
dim(S ∩ U)
dim(S+U)
6+6=3+9=12
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
9 / 21
Bazy macierzy
Sprawdźmy to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d
2
y
dx
2
+ y = 0
Rozwiązaniami tego równania jest y=sinx i y=cosx.
Kompletnym rozwiązaniem tego równania jest
y = c
1
cosx + c
2
sinx
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
10 / 21
Bazy macierzy
Sprawdźmy to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d
2
y
dx
2
+ y = 0
Rozwiązaniami tego równania jest y=sinx i y=cosx.
Kompletnym rozwiązaniem tego równania jest
y = c
1
cosx + c
2
sinx
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
10 / 21
Bazy macierzy
Sprawdźmy to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d
2
y
dx
2
+ y = 0
Rozwiązaniami tego równania jest y=sinx i y=cosx.
Kompletnym rozwiązaniem tego równania jest
y = c
1
cosx + c
2
sinx
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
10 / 21
Bazy macierzy
1
Bazą rozwiązania jest cosx , sinx
Nie wyglądają jak wektory, bardziej jak funkcje, ale możemy je pomnożyć
przez skalar lub dodać do siebie.
Dzięki temu możemy je nazwać wektorami.
2
Wymiar przestrzeni rozwiązania dim(
przestrzen
rozwiazania
) = 2
W takich przypadkach wymiar zawsze będzie równy 2, ponieważ
rozpatrujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
11 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Przykład macierzy pierwszego rzędu
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
Rząd macierzy
Rank(A) = 1
Rząd mcierzy wynosi 1, ponieważ drugi wiersz jest wielokrotnością
pierwszego.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Przykład macierzy pierwszego rzędu
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
Rząd macierzy
Rank(A) = 1
Rząd mcierzy wynosi 1, ponieważ drugi wiersz jest wielokrotnością
pierwszego.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Przykład macierzy pierwszego rzędu
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
Rząd macierzy
Rank(A) = 1
Rząd mcierzy wynosi 1, ponieważ drugi wiersz jest wielokrotnością
pierwszego.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC (A
T
)
3
Macierz A można zapisać jako mnożenie dwóch wektorów
Przykład
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
=
"
1
2
#
h
1
4
5
i
Wzór
A = U · V
T
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC (A
T
)
3
Macierz A można zapisać jako mnożenie dwóch wektorów
Przykład
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
=
"
1
2
#
h
1
4
5
i
Wzór
A = U · V
T
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC (A
T
)
3
Macierz A można zapisać jako mnożenie dwóch wektorów
Przykład
A =
"
1
4
5
2
8
10
#
=
"
1
2
#
h
1
4
5
i
Wzór
A = U · V
T
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
4
Mając pierwszy wiersz lub kolumnę macierzy pierwszego rzędu
możemy zbudować całą macierz
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
14 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mając przykładową macierz M=5x17 rzędu czwartego
Podzbiór rzędu czwartego może, ale nie musi być podprzestrzenią macierzy
M.
2
Dodając dwie macierze rzędu czwartego rząd otrzymanej macierzy nie
może być większy niż osiem
Dla naszej macierzy M nie może być większy niż pięć, ponieważ rząd nie
może być większy od liczby wierszy i kolumn.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
15 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mając przykładową macierz M=5x17 rzędu czwartego
Podzbiór rzędu czwartego może, ale nie musi być podprzestrzenią macierzy
M.
2
Dodając dwie macierze rzędu czwartego rząd otrzymanej macierzy nie
może być większy niż osiem
Dla naszej macierzy M nie może być większy niż pięć, ponieważ rząd nie
może być większy od liczby wierszy i kolumn.
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
15 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mamy wektor R
4
z elementami v
1
, v
2
, v
3
, v
4
oraz macierz
S= wszystkie v w R
4
których v
1
+ v
2
+ v
3
+ v
4
= 0
Wektor
R
4
=
v
1
v
2
v
3
v
4
2
S jest podprzestrzeniąR
4
ponieważ w przypadku mnożenia wektora
przez jakąkolwiek liczbę otrzymamy 0
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
16 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mamy wektor R
4
z elementami v
1
, v
2
, v
3
, v
4
oraz macierz
S= wszystkie v w R
4
których v
1
+ v
2
+ v
3
+ v
4
= 0
Wektor
R
4
=
v
1
v
2
v
3
v
4
2
S jest podprzestrzeniąR
4
ponieważ w przypadku mnożenia wektora
przez jakąkolwiek liczbę otrzymamy 0
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
16 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A · v = 0
Macierz A
A =
h
1
1
1
1
i
4
A · v zawsze będzie 0, dlatego S= przestrzeń zerowa A.
Rząd macierzy A
RankA = 1 = r
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A · v = 0
Macierz A
A =
h
1
1
1
1
i
4
A · v zawsze będzie 0, dlatego S= przestrzeń zerowa A.
Rząd macierzy A
RankA = 1 = r
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A · v = 0
Macierz A
A =
h
1
1
1
1
i
4
A · v zawsze będzie 0, dlatego S= przestrzeń zerowa A.
Rząd macierzy A
RankA = 1 = r
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
5
Wymiar macierzy:
Formalny wzór:
dimN(A) = n − r
W naszym przypadku
N = 4, r = 1
więc
dimN(A) = 3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
18 / 21
Macierze pierwszego rzędu
5
Wymiar macierzy:
Formalny wzór:
dimN(A) = n − r
W naszym przypadku
N = 4, r = 1
więc
dimN(A) = 3
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
18 / 21
Macierze pierwszego rzędu
6
Szukjąc bazy dla S, szukamy rozwiązania specjalnego. Najpierw
szukamy wolnych zmiennych:
Pierwsza zmienna jest osiową, więc wolne są zmienne 2, 3 i 4.
7
Bazą dla S są 3 wektory:
−1
1
0
0
−1
0
1
0
−1
0
0
1
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
19 / 21
Macierze pierwszego rzędu
6
Szukjąc bazy dla S, szukamy rozwiązania specjalnego. Najpierw
szukamy wolnych zmiennych:
Pierwsza zmienna jest osiową, więc wolne są zmienne 2, 3 i 4.
7
Bazą dla S są 3 wektory:
−1
1
0
0
−1
0
1
0
−1
0
0
1
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
19 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C (A) = 1 więc C (A) = R
1
9
Przestrzeń zerowa A
T
Jedyne rozwiązanie, które daje 0, to rozwiązanie zerowe:
N(A
T
) = {0}
10
Sprawdzenie:
dimN(A) = 3
rank = 1
dimC (A) = 1
dimN(A
T
) = 0
dimN(A) + rank = 4 = n
dimC (A)+dimN(A
T
) = 1 = m
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
20 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C (A) = 1 więc C (A) = R
1
9
Przestrzeń zerowa A
T
Jedyne rozwiązanie, które daje 0, to rozwiązanie zerowe:
N(A
T
) = {0}
10
Sprawdzenie:
dimN(A) = 3
rank = 1
dimC (A) = 1
dimN(A
T
) = 0
dimN(A) + rank = 4 = n
dimC (A)+dimN(A
T
) = 1 = m
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
20 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C (A) = 1 więc C (A) = R
1
9
Przestrzeń zerowa A
T
Jedyne rozwiązanie, które daje 0, to rozwiązanie zerowe:
N(A
T
) = {0}
10
Sprawdzenie:
dimN(A) = 3
rank = 1
dimC (A) = 1
dimN(A
T
) = 0
dimN(A) + rank = 4 = n
dimC (A)+dimN(A
T
) = 1 = m
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
20 / 21
Koniec
Dziękuję za uwagę
Damian Kozioł i Damian Huderek
Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
10 grudnia 2012
21 / 21
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron