Równania dynamiki maszyn prądu stałego w jednostkach względnych
Jako podstawę analizy przyjmijmy równania obwodu twornika:
dt
di
L
e
i
R
R
u
t
t
t
t
d
t
t
+
+
+
=
)
(
obwodu
wzbudzenia:
dt
di
L
i
R
R
u
w
w
w
wd
w
w
+
+
=
)
(
wartość siły elektromotorycznej wynikającej z obrotów wirnika:
ω
Φ
= k
e
t
moment wytworzony w maszynie:
t
e
i
k
M
Φ
=
Bardzo wygodny jest zapis równań w jednostkach względnych. Jako wielkości
odniesienia przyjmijmy następujące wielkości:
tn
U
U
=
0
- znamionowe napięcie twornika
tn
I
I
=
0
- znamionowy prąd twornika
n
k
k
φ
φ =
0
- znamionowy strumień
n
tn
k
U
φ
ω =
0
0
ω
φ
tn
n
U
k
=
Dla
silnika
obcowzbudnego:
n
tn
t
tn
n
I
R
U
k
ω
φ
−
=
Wielkość odniesienia dla prędkości jest równa prędkości idealnego biegu
jałowego dla silnika obcowzbudnego. Oczywiście dla innych typów maszyn
przyjmowana jest wielkość wyznaczona według wzoru podanego wyżej. Przy takim
wyborze wielkości odniesienia otrzymamy:
0
0
ω
ω
ω
φ
tn
tn
t
tn
tn
t
tn
t
tn
tn
d
t
tn
t
U
k
dt
I
i
d
I
U
L
I
i
I
U
R
R
U
u
+
+
+
=
- 1 -
Oznaczając:
tn
t
U
u
u
=
tn
tn
n
I
U
R
=
n
d
t
R
R
R
r
+
=
n
t
R
L
l
=
0
ω
ω
ν =
n
k
k
φ
φ
ϕ =
Otrzymamy
równanie
twornika w postaci:
ϕν
+
+
=
dt
di
l
ri
u
Taka
postać równania jest praktyczna, gdyż wszystkie wielkości występujące
w równaniach, w zakresie od biegu jałowego do warunków znamionowych, mają
wartości z zakresu 0
÷1. Parametry występujące w równaniach jako mają wielkości
niemianowane, a porównanie różnych maszyn ze sobą jest łatwiejsze. Równanie
obwodu wzbudzenia w wielkościach względnych przyjmuje postać:
dt
I
i
d
I
U
L
I
i
I
U
R
R
U
u
wn
w
wn
wn
w
wn
w
wn
wn
wd
w
wn
w
+
+
=
dt
di
l
i
r
u
m
w
m
w
m
+
=
wn
wn
w
I
U
R
=
0
wn
wd
w
w
R
R
R
r
+
=
wn
w
w
R
L
l
=
Równanie momentu przyjmuje postać:
i
m
ϕ
=
Jednym z podstawowych komplikacji analiz maszyn elektrycznych jest fakt
nieliniowej zależności strumienia od prądu magnesującego, stąd dla przybliżonego
uwzględnienia zjawisk nasyceniowych można w przybliżeniu aproksymować
charakterystykę magnesowania w wielkościach względnych. Pomijając zjawisko
histerezy magnetycznej można stosować wzór aproksymujący w postaci:
- 2 -
)
1
(
a
i
a
i
m
m
−
+
=
ϕ
Przy
czym
dla:
65
.
0
55
.
0
÷
≈
a
Oczywistym
jest,
że nie jest to jedyne przybliżenie charakterystyki
magnesowania, można np.. stosować zależność:
i
a
i
a
a
2
1
0
)
arctan(
+
=
ϕ
wielomiany lub inne funkcje aproksymujące charakterystyki magnesowania. Należy
przy tym pamiętać, że jest to jedynie przybliżenie zjawisk występujących w praktyce
Równanie
dynamiki
mechanicznej:
0
M
M
dt
d
J
e
−
=
ω
W jednostkach względnych otrzymamy:
0
0
0
m
m
dt
d
I
k
J
e
tn
n
−
=
ω
ω
ω
φ
0
m
m
dt
d
j
−
=
ν
gdzie:
tn
n
tn
I
k
JU
j
2
φ
=
- 3 -
Silnik obcowzbudny
Dla tego typu maszyny wyprowadzone wyżej równania odpowiadają bez
żadnych modyfikacji
dt
di
l
i
r
u
m
w
m
w
m
+
=
ϕν
+
+
=
dt
di
l
ri
u
i
m
ϕ
=
Dla znamionowego prądu wzbudzenia, lub maszyn o magnesach trwałych
1
=
ϕ
i
m
=
ν
+
+
=
dt
di
l
ri
u
W stanie ustalonym, przy stałej prędkości kątowej:
ϕ
ν
ri
u
−
=
Przy znamionowym prądzie wzbudzenia:
ri
u
−
=
ν
rm
u
−
=
ν
Silnik szeregowy
W silniku szeregowym:
i
i
m
=
stąd w tym przypadku nie ma odrębnego równania dla obwodu wzbudzenia.
Równanie obwodu twornika ma postać:
ϕν
+
+
=
dt
di
l
ri
u
- 4 -
Należy przy tym uwzględnić:
)
1
(
a
i
a
i
−
+
=
ϕ
n
d
wsz
t
R
R
R
R
r
+
+
=
n
w
t
w
R
L
L
l
+
=
W stanie ustalonym, podobnie jak w maszynie obcowzbudnej::
ϕ
ν
ri
u
−
=
Wartość strumienia zależy tu od prądu twornika, stąd z zakresie liniowej
części charakterystyki magnesowania możemy napisać:
i
=
ϕ
i
ri
u
−
=
ν
r
i
u −
=
ν
2
i
m
=
Przy takich założeniach charakterystyka mechaniczna ma zatem kształt
hiperboli.
Silnik bocznikowy
W silniku bocznikowym napięcie zasilające obwód wzbudzenia jest równe
napięciu twornika, stąd:
ϕν
+
+
=
dt
di
l
ri
u
dt
di
l
i
r
u
m
w
m
w
+
=
i
i
i
m
+
=
0
Przy czym wartość prądu i
o
jest prądem pobieranym ze źródła napięcia
stałego. W tym przypadku zmiana napięcia zasilającego zmienia także wartość prądu
- 5 -
w obwodzie wzbudzenia. Konsekwencją jest tu brak możliwości regulacji prędkości
obrotowej poprzez zmianę napięcia twornika..
Uwaga!
Dostępny jest program symulacyjny dynamiki maszyn prądu stałego:
SPS_REL.EXE. W programie wykorzystano równania maszyn prądu stałego w
jednostkach względnych. Kolejne zmienne oznaczają:
i – prąd twornika
w – prędkość względna
iw – prąd wzbudzenia
e – siła elektromotoryczna
u – napięcia zasilania
fi – strumień
ma – aktywny moment obciążenia
mb – bierny moment obciążenia
m – moment maszyny
a – wartość współczynnika funkcji aproksymującej charakterystykę
magnesowania
r – wartość względna rezystancji uzwojenia twornika
l - wartość względna indukcyjności uzwojenia twornika
rw – wartość względna rezystancji uzwojenia wzbudzenia
lw - wartość względna indukcyjności uzwojenia wzbudzenia
j –wartość względna momentu bezwładności maszyny
Program uwzględnia następujące typu maszyn:
1 – silnik obcowzbudny
2 – silnik szeregowy z uwzględnieniem charakterystyki magnesowania
3 – silnik bocznikowy, obwód magnetyczny liniowy
4 – silnik bocznikowy z uwzględnieniem charakterystyki magnesowania
Wartości parametrów modeli matematycznych można oszacować na
podstawie danych katalogowych:
Indukcyjność obwodu twornika maszyny obcowzbudnej:
]
[
2
H
pI
U
k
L
n
n
n
t
t
ω
π
≈
W wartościach względnych:
n
t
p
k
l
ω
π
2
≈
k
t
= 0.09 – silniki z biegunami dodatkowymi
k
t
= 0.03 – silniki z biegunami dodatkowymi i uzwojeniem kompensacyjnym
k
t
= 0.003 – magnesy trwałe i wirnik cylindryczny
k
t
= 0.0007 – magnesy trwałe i wirnik tarczowy
Rezystancja
twornika:
]
[
)
1
(
5
.
0
Ω
−
≈
n
n
t
I
U
R
η
- 6 -
W
wartościach względnych:
)
1
(
5
.
0
η
−
≈
t
R
Wartość stałej czasowej obwodu twornika dla maszyn małej i średniej mocy:
ms
R
L
T
t
t
t
80
30 ÷
≈
=
Rezystancję uzwojenia wzbudzenia można szacować na podstawie strat, przy
czym straty w obwodzie wzbudzenia:
0.5% P
n
- silnik szeregowy
1% P
n
- silnik bocznikowy (obcowzbudny)
W literaturze spotyka się zależność na szacowaną wartość indukcyjności
obwodu wzbudzenia w postaci:
N
a
pI
U
z
L
n
tn
n
w
w
ω
π
2
2
.
1
≈
z
w
–liczba zwojów uzwojenia wzbudzenia
N –liczba zwojów uzwojenia twornika
a – liczba par gałęzi równoległych
N
a
p
z
l
n
w
w
ω
π
2
2
.
1
≈
Stała czasowa obwodu wzbudzenia:
s
R
L
T
w
w
w
0
.
4
3
.
0
÷
≈
=
T
w
[s] Moc
rzędu [kW]:
0.3
÷0.5
10
0.8
÷1.5
100
2.0
÷3.0
1000
3.4
÷4.0 3000÷5000
- 7 -
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron