2014 Matura 22 03 2014 odp

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM PODSTAWOWY

22

MARCA

2014

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Dwadzie´scia dziewcz ˛

at stanowi 62,5% uczniów klasy IB. Ilu chłopców jest w tej klasie?

A) 12

B) 6

C) 32

D) 9

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli przez n oznaczymy liczb˛e chłopców, to mamy równanie

62, 5%

· (

20

+

x

) =

20

/ : 0, 625

20

+

x

=

32

x

=

12.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

Wszystkie liczby spełniaj ˛

ace warunek x

1

<

2x 6 3x

+

3 mo ˙zna zapisa´c za pomoc ˛

a prze-

działu:
A)

(−

1,

+

)

B)

(−

∞,

3

i

C)

h−

3,

1

)

D)

h−

3,

+

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Musimy rozwi ˛

aza´c dwie nierówno´sci

x

1

<

2x

i

2x 6 3x

+

3

1

<

x

i

3 6 x.

Zatem x

∈ (−

1,

+

)

.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Liczba log

3,5

12, 25

log

0,5

8 jest równa

A) 5

B)

1

C)

1

2

D) 1

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

log

3,5

12, 25

log

0,5

8

=

log

7

2

49

4

log

1

2

8

=

=

log

7

2

 7

2



2

log

1

2

 1

2



3

=

2

− (−

3

) =

5.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Rozwi ˛

azaniem układu równa ´n

(

5x

+

3y

=

0

2y

+

x

=

14

jest para

(

x, y

)

liczb takich, ˙ze

A) x

<

0 i y

<

0

B) x

<

0 i y

>

0

C) x

>

0 i y

<

0

D) x

>

0 i y

>

0

R

OZWI ˛

AZANIE

Odejmuj ˛

ac do pierwszego równania drugie pomno ˙zone przez 5 ( ˙zeby skróci´c x) mamy

5x

+

3y

10y

5x

=

0

70

⇐⇒

7y

= −

70

⇐⇒

y

=

10.

Zatem z drugiego równania mamy

x

=

14

2y

= −

6.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Wska ˙z zbiór rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci

p

(−

5

x

)

2

6 3.

A) x

∈ h−

8, 2

i

B) x

∈ h−

2, 8

i

C) x

∈ h

2, 8

i

D) x

∈ h−

8,

2

i

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Zapisujemy nierówno´s´c w postaci nierówno´sci z warto´sci ˛

a bezwzgl˛edn ˛

a

| −

5

x

|

6 3

|

x

+

5

|

6 3

|

x

− (−

5

)|

6 3.

Rozwi ˛

azaniem tej nierówno´sci jest zbiór liczb, które s ˛

a odległe od

5 o nie wi˛ecej ni ˙z 3, czyli

przedział

h−

5

3,

5

+

3

i = h−

8,

2

i

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

6

(1

PKT

)

Wierzchołek paraboli o równaniu y

= (

x

1

)

2

+

2c le ˙zy na prostej o równaniu y

=

4x.

Wtedy
A) c

=

1

2

B) c

= −

1

2

C) c

= −

2

D) c

=

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej

y

=

a

(

x

x

w

)

2

+

y

w

ma współrz˛edne

(

x

w

, y

w

)

. Zatem w naszej sytuacji jest to punkt

(

1, 2c

)

.

-5

-1

+3

+5

x

-1

+1

+5

+10

y

y=4x

y=(x-1)

2

+2c

Z drugiej strony wiemy, ˙ze punkt ten le ˙zy na prostej y

=

4x. W takim razie

2c

=

4

c

=

2.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(1

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

2

3

. Warto´s´c wyra ˙zenia 1

tg α

·

cos α jest równa

A)

4

9

B)

2

3

C)

1

3

D)

11

9

R

OZWI ˛

AZANIE

Poniewa ˙z

tg α

=

sin α

cos α

,

mamy

1

tg α

·

cos α

=

1

sin α

cos α

·

cos α

=

1

sin α

=

1

2
3

=

1
3

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

8

(1

PKT

)

Wyra ˙zenie 4x

2

− (

x

y

)

2

po rozło ˙zeniu na czynniki przyjmuje posta´c:

A)

(

x

+

y

)(

3x

+

y

)

B)

(

x

y

)(

3x

+

y

)

C)

(

3x

y

)(

x

y

)

D)

(

3x

y

)(

x

+

y

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia na ró ˙znic˛e kwadratów).

4x

2

− (

x

y

)

2

= (

2x

)

2

− (

x

y

)

2

=

= (

2x

+ (

x

y

))(

2x

− (

x

y

)) = (

3x

y

)(

x

+

y

)

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

9

(1

PKT

)

Liczba

40

10

5

jest równa

A)

2

B) 2

2

C) 4

D)

20

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

40

10

5

=

40

5

10

5

=

r

40

5

r

10

5

=

=

8

2

=

2

2

2

=

2.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(1

PKT

)

Liczba

1

2

+

log

5

20 jest równa:

A) log

5

5

20

B) log

5

5

C)

1

4

D) log

5

10

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy (korzystamy ze wzoru na sum˛e logarytmów)

1
2

+

log

5

20

=

log

5

5

1

2

+

log

5

20

=

log

5



5

·

20



=

log

5

10.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

11

(1

PKT

)

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y

=

f

(

x

)

okre´slonej dla x

∈ h−

5, 6

i

.

0

1

2

3

4

5

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0

1

2

3

4

5

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
A) y

=

f

(

x

+

2

)

B) y

=

f

(

x

) −

2

C) y

=

f

(

x

2

)

D) y

=

f

(

x

) +

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Wykres na drugim rysunku jest przesuni˛ety wzgl˛edem wykresu na pierwszym rysunku o
dwie jednostki w lewo. Jest to wi˛ec wykres funkcji y

=

f

(

x

+

2

)

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

12

(1

PKT

)

Z prostok ˛

ata ABCD o polu 30 wyci˛eto trójk ˛

at AOD (tak jak na rysunku). Pole zacieniowanej

figury jest równe

A

B

D

C

O

A) 7,5

B) 15

C) 20

D) 25

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech OE b˛edzie wysoko´sci ˛

a wyci˛etego trójk ˛

ata opuszczon ˛

a z wierzchołka O.

A

B

D

C

O

E

Pole wyci˛etego trójk ˛

ata jest wi˛ec równe

P

AOD

=

1
2

·

AD

·

OE

=

1
2

AD

·

AB

=

1
2

P

ABCD

=

15.

Zatem zacieniowana cz˛e´s´c ma pole równe

30

15

=

15.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

13

(1

PKT

)

Ci ˛

ag

(

147, 42, x

3

)

jest geometryczny. Wtedy

A) x

=

15

B) x

=

12

C) x

=

9

D) x

=

6

R

OZWI ˛

AZANIE

Iloraz danego ci ˛

agu jest równy

q

=

a

2

a

1

=

42

147

=

6

21

=

2
7

.

Zatem

x

3

=

a

3

=

a

2

q

=

42

·

2
7

=

12.

St ˛

ad x

=

12

+

3

=

15.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

14

(1

PKT

)

Ci ˛

agiem arytmetycznym jest ci ˛

ag o wyrazie ogólnym a

n

równym:

A) a

n

=

4

n

B) a

n

=

2

n

C) a

n

= −

3n

3

D) a

n

=

3

+

n

2

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

W´sród podanych ci ˛

agów, tylko ci ˛

ag

a

n

= −

3n

3

= −

6

3

(

n

1

)

jest ci ˛

agiem arytmetycznym (z a

1

= −

6 i r

= −

3).

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

15

(1

PKT

)

Liczba rzeczywistych rozwi ˛

aza ´n równania

(

x

+

1

)(

x

+

2

)(

x

2

3

) =

0 jest równa

A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

R

OZWI ˛

AZANIE

Poniewa ˙z x

2

3

= (

x

3

)(

x

+

3

)

równanie ma cztery rozwi ˛

azania:

x

∈ {−

2,

1,

3,

3

}

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

16

(1

PKT

)

Punkt O jest ´srodkiem okr˛egu o ´srednicy AB (tak jak na rysunku). K ˛

at α ma miar˛e

A

B

C

O

120

o

α

A) 40

B) 50

C) 60

D) 80

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛

at BOC jest równoramienny, wi˛ec

α

=

]OCB

=

]OBC

=

180

]BOC

2

=

120

2

=

60

.

Sposób II

Korzystaj ˛

ac z twierdzenia o k ˛

atach wpisanym i ´srodkowym, mamy

α

=

]OCB

=

]OBC

=

1
2

]AOC

=

60

.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

17

(1

PKT

)

Który wyraz ci ˛

agu

(

a

n

)

o wyrazie ogólnym a

n

=

3n

2

5

1

2n

2

jest równy

10

7

?

A) pi ˛

aty

B) dwudziesty pi ˛

aty

C) siódmy

D) dziewi ˛

aty

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

3n

2

5

1

2n

2

= −

10

7

/

·

7

(

1

2n

2

)

21n

2

35

= −

10

+

20n

2

n

2

=

25

n

=

5.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

18

(1

PKT

)

Poni ˙zej zamieszczono fragment tabeli warto´sci funkcji liniowej

x

1

2

4

f

(

x

)

4

1

W pustym miejscu w tabeli powinna znajdowa´c si˛e liczba:
A)

5

B) 5

C)

2

D) 2

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli f

(

x

) =

ax

+

b to wiemy, ˙ze

(

4

=

a

+

b

1

=

2a

+

b.

Odejmuj ˛

ac od drugiego równania pierwsze mamy a

= −

3. St ˛

ad b

=

4

a

=

7 i f

(

x

) =

3x

+

7. Zatem

f

(

4

) = −

12

+

7

= −

5.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

19

(1

PKT

)

Dany jest trójk ˛

at o wierzchołkach A

= (

4,

3

)

, B

= (

4, 1

)

, C

= (−

6,

2

)

. Długo´s´c ´srodkowej

poprowadzonej z wierzchołka C jest równa
A)

101

B)

102

C) 10

D)

10

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Zaczynamy od rysunku

x

4

y

6

3

0

-2

-3

A

-4

B

C

S

Liczymy współrz˛edne ´srodka odcinka AB

S

=

 4

+

4

2

,

3

+

1

2



= (

4,

1

)

.

Obliczamy długo´s´c odcinka CS

|

CS

| =

q

(

4

+

6

)

2

+ (−

1

+

2

)

2

=

101.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

20

(1

PKT

)

Prostok ˛

at o bokach 3 i 5 obracaj ˛

ac si˛e dookoła prostej zawieraj ˛

acej dłu ˙zszy bok wyznacza

brył˛e o obj˛eto´sci równej
A) 45π

B) 15π

C) 180π

D) 90π

R

OZWI ˛

AZANIE

Z obrazka wida´c, ˙ze w wyniku opisanej operacji otrzymamy walec o promieniu podstawy
r

=

3 i wysoko´sci H

=

5.

3

5

3

Zatem obj˛eto´s´c jest równa

V

=

πr

2

·

H

=

9π

·

5

=

45π.

Odpowied´z: A

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

21

(1

PKT

)

´Srednia arytmetyczna zestawu danych: 2, 3, x, 9, 4, 5, 1, 5 wynosi 4,5. Wynika z tego, ˙ze:

A) x

=

6

B) x

=

3

C) x

=

7

D) x

=

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

2

+

3

+

x

+

9

+

4

+

5

+

1

+

5

8

=

4, 5

/

·

8

29

+

x

=

36

x

=

7.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

22

(1

PKT

)

Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze w rzucie dwiema symetrycznymi kostkami do gry otrzy-
mamy iloczyn oczek równy 4, wynosi
A)

1

4

B)

1

9

C)

1

12

D)

1

18

R

OZWI ˛

AZANIE

Wyniki rzutów b˛edziemy zapisywa´c jako pary

(

k, n

)

, gdzie k jest wynikiem na pierwszej

kostce, a n wynikiem na drugiej. Najpierw obliczamy ile jest zdarze ´n elementarnych

|

| =

6

·

6

=

36.

Wypiszmy zdarzenia sprzyjaj ˛

ace

(

1, 4

)

,

(

2, 2

)

,

(

4, 1

)

.

Zatem prawdopodobie ´nstwo wynosi

3

36

=

1

12

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

23

(1

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i cos α

=

3

3

. Wtedy warto´s´c wyra ˙zenia 2

sin

2

α

jest równa

A) 0

B)

2

3

C)

4

3

D) 1

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Na mocy jedynki trygonometrycznej

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1

mamy

2

sin

2

α

=

2

− (

1

cos

2

α

) =

1

+

cos

2

α

=

1

+

1
3

=

4
3

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

24

(1

PKT

)

Równania 9

5y

=

0 i 3x

+

7

=

0 opisuj ˛

a proste w układzie współrz˛ednych, które

A) s ˛

a prostopadłe

B) s ˛

a równoległe

C) przecinaj ˛

a si˛e pod k ˛

atem 60

D) przecinaj ˛

a si˛e pod k ˛

atem 45

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwsza prosta to pozioma prosta y

=

9

5

, a druga to pionowa prosta x

= −

7

3

.

-5

-1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

Proste te s ˛

a wi˛ec prostopadłe.

Odpowied´z: A

Zadania otwarte

Z

ADANIE

25

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z równanie 6x

3

8x

2

9x

+

12

=

0.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Gdy si˛e przyjrzymy równaniu to mo ˙zna zauwa ˙zy´c, ˙ze mo ˙zemy łatwo wył ˛

aczy´c

(

3x

4

)

przed nawias.

6x

3

8x

2

9x

+

12

=

0

2x

2

(

3x

4

) −

3

(

3x

4

) =

0

(

2x

2

3

)(

3x

4

) =

0

6

x

r

3
2

!

x

+

r

3
2

!



x

4
3



=

0.

Zatem x

n

6

2

,

6

2

,

4

3

o

.

Odpowied´z: x

n

6

2

,

6

2

,

4

3

o

Z

ADANIE

26

(2

PKT

)

Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia 2 sin

2

α

+

1

tg

2

α

1

+

tg

2

α

, gdzie α jest k ˛

atem ostrym.

R

OZWI ˛

AZANIE

Skorzystamy z definicji tangensa

tg α

=

sin α

cos α

i jedynki trygonometrycznej

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1.

Liczymy

2 sin

2

α

+

1

tg

2

α

1

+

tg

2

α

=

2 sin

2

α

+

1

sin

2

α

cos

2

α

1

+

sin

2

α

cos

2

α

=

=

2 sin

2

α

+

cos

2

α

sin

2

α

cos

2

α

+

sin

2

α

=

2 sin

2

α

+

cos

2

α

sin

2

α

=

=

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1.

Odpowied´z: 1

Z

ADANIE

27

(2

PKT

)

Punkt S jest ´srodkiem okr˛egu opisanego na trójk ˛

acie rozwartok ˛

atnym ABC. K ˛

at CAB jest

dwa razy wi˛ekszy od k ˛

ata BAS, a k ˛

at CBA jest o 10

wi˛ekszy od k ˛

ata BAS. Oblicz k ˛

aty

trójk ˛

ata ABC.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

A

B

C

S

R

OZWI ˛

AZANIE

Oznaczmy α

=

]BAS.

α

A

B

C

S

α

2α

3α

180

o

-6α

90

o

-3α

90

o

-2α

Trójk ˛

aty ABS, BSC i ASC s ˛

a równoramienne, wi˛ec z podanych informacji mamy

]ABS

=

]BAS

=

α

]CAB

=

2α

]ACS

=

]CAS

=

3α.

Suma k ˛

atów trójk ˛

ata ASC jest równa 180

, wi˛ec

]ASC

=

180

6α.

Teraz korzystamy z własno´sci k ˛

atów wpisanych i ´srodkowych opisanych na tym samym

łuku.

]ABC

=

1
2

]ASC

=

90

3α.

Trójk ˛

at CSB jest równoramienny, wi˛ec

]SCB

=

]SBC

=

90

2α.

Z drugiej strony wiemy, ˙ze ]CBA

=

α

+

10

. Mamy zatem

90

3α

=

α

+

10

80

=

4α

α

=

20

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

W takim razie k ˛

aty trójk ˛

ata ABC maj ˛

a miary

]A

=

2α

=

40

]B

=

90

3α

=

30

]C

=

90

+

α

=

110

.

Odpowied´z: 40

, 30

, 110

Z

ADANIE

28

(2

PKT

)

W tabeli przedstawiono oceny ze sprawdzianu z matematyki w klasie 1B.

Ocena

1

2

3

4

5

6

Liczba ocen

3

3

6

x

4

2

´Srednia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,48. Oblicz liczb˛e x ocen dobrych (4) otrzyma-

nych przez uczniów na tym sprawdzianie.

R

OZWI ˛

AZANIE

Wszystkich ocen jest 3

+

3

+

6

+

x

+

4

+

2

=

x

+

18, wi˛ec z podanej ´sredniej mamy równanie

1

·

3

+

2

·

3

+

3

·

6

+

4

·

x

+

5

·

4

+

6

·

2

x

+

18

=

3, 48

/

· (

x

+

18

)

3

+

6

+

18

+

4x

+

20

+

12

=

3, 48x

+

62, 64

0, 52x

=

3, 64

x

=

3, 64
0, 52

=

7.

Odpowied´z: x

=

7

Z

ADANIE

29

(2

PKT

)

Wyka ˙z, ˙ze 7

16

1 jest liczb ˛

a podzieln ˛

a przez 2

7

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Korzystamy ze wzoru a

2

b

2

= (

a

b

)(

a

+

b

)

7

16

1

= (

7

8

1

)(

7

8

+

1

) = (

7

4

1

)(

7

4

+

1

)(

7

8

+

1

) =

= (

7

2

1

)(

7

2

+

1

)(

7

4

+

1

)(

7

8

+

1

) =

=

48

(

7

2

+

1

)(

7

4

+

1

)(

7

8

+

1

)

.

Zauwa ˙zmy teraz, ˙ze 48 dzieli si˛e przez 2

4

=

16, a liczby w pozostałych nawiasach to liczby

parzyste. Zatem 7

16

1 jest liczb ˛

a podzieln ˛

a przez

2

4

·

2

·

2

·

2

=

2

7

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

30

(2

PKT

)

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a

>

1, to

a

4

+

a

2

+

1

2

>

a

3

1

a

2

1

.

R

OZWI ˛

AZANIE

Przekształcamy równowa ˙znie dan ˛

a nierówno´s´c

a

4

+

a

2

+

1

2

>

a

3

1

a

2

1

/

·

2

(

a

2

1

)

(

a

4

+

a

2

+

1

)(

a

2

1

)

> 2a

3

2

a

6

+

a

4

+

a

2

a

4

a

2

1 > 2a

3

2

a

6

2a

3

+

1 > 0

(

a

3

1

)

2

> 0.

Otrzymana nierówno´s´c jest oczywi´scie spełniona, a przekształcali´smy przy pomocy równo-
wa ˙zno´sci, wi˛ec wyj´sciowa nierówno´s´c równie ˙z musi by´c prawdziwa.

Z

ADANIE

31

(4

PKT

)

Podstaw ˛

a graniastosłupa ABCDEFGH jest prostok ˛

at ABCD (zobacz rysunek), którego dłu ˙z-

szy bok ma długo´s´c 6. Przek ˛

atna prostok ˛

ata ABCD tworzy z jego krótszym bokiem k ˛

at 60

.

Przek ˛

atna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzn ˛

a jego podstawy k ˛

at 45

stopni. Oblicz

obj˛eto´s´c tego graniastosłupa.

A

B

C

D

E

F

G

H

R

OZWI ˛

AZANIE

Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku podanych k ˛

atów.

A

B

C

D

E

F

G

H

6

6

60

o

45

o

a

h

h

a

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego ABD obliczamy długo´s´c a drugiej kraw˛edzi podstawy.

6

a

=

tg 60

=

3

a

=

6

3

=

2

3.

Obliczmy jeszcze długo´s´c przek ˛

atnej podstawy

DB

=

q

6

2

+ (

2

3

)

2

=

36

+

12

=

48

=

4

3.

Z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego DBH obliczamy długo´s´c wysoko´sci graniastosłupa.

h

DB

=

tg 45

=

1

h

=

4

3.

Pozostało obliczy´c obj˛eto´s´c graniastosłupa.

V

=

6

·

2

3

·

4

3

=

12

·

4

·

3

=

144.

Odpowied´z: 144

Z

ADANIE

32

(5

PKT

)

Punkty A

= (−

1,

5

)

, B

= (

5, 1

)

, C

= (

1, 3

)

, D

= (−

2, 0

)

s ˛

a kolejnymi wierzchołkami

trapezu ABCD. Oblicz pole tego trapezu.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.

-5

-1

+5

x

-5

-1

+1

+5

y

A

C

D

h

B

E

Aby obliczy´c pole trapezu musimy zna´c długo´sci jego podstaw oraz długo´s´c wysoko´sci.

Długo´sci podstaw łatwo obliczy´c.

AB

=

q

(

5

+

1

)

2

+ (

1

+

5

)

2

=

36

+

36

=

6

2

CD

=

q

(−

2

1

)

2

+ (

0

3

)

2

=

9

+

9

=

3

2.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Napiszmy teraz równanie prostej AB. Szukamy prostej w postaci y

=

ax

+

b. Podstawiamy

współrz˛edne punktów A i B.

(

5

= −

a

+

b

1

=

5a

+

b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a

=

6, czyli a

=

1. St ˛

ad b

= −

5

+

a

=

4 i prosta AB ma równanie: y

=

x

4.

Dalsz ˛

a cz˛e´s´c rozwi ˛

azania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Wysoko´s´c trapezu mo ˙zemy łatwo obliczy´c ze wzoru na odległo´s´c punktu P

= (

x

0

, y

0

)

od

prostej Ax

+

By

+

C

=

0:

|

Ax

0

+

By

0

+

C

|

A

2

+

B

2

.

W naszej sytuacji mamy P

=

D

= (−

2, 0

)

, a prosta to: x

y

4

=

0. Mamy zatem

h

=

| −

2

4

|

1

+

1

=

6

2

.

Pole trapezu jest wi˛ec równe

P

=

AB

+

CD

2

·

h

=

6

2

+

3

2

2

·

6

2

=

27.

Sposób II

Je ˙zeli kto´s nie chce korzysta´c ze wzoru na odległo´s´c punktu od prostej, to wysoko´s´c trapezu
mo ˙zemy wyznaczy´c bardziej wprost, wyznaczaj ˛

ac równanie wysoko´sci DE opuszczonej z

wierzchołka D na bok AB.

Prosta DE jest prostopadła do prostej AB, wi˛ec ma równanie postaci y

= −

x

+

b. Współ-

czynnik b wyznaczamy podstawiaj ˛

ac współrz˛edne punktu D.

0

=

2

+

b

b

= −

2.

Szukamy teraz punku wspólnego prostych AB i DE.

(

y

=

x

4

y

= −

x

2.

Odejmuj ˛

ac od pierwszego równania drugie ( ˙zeby skróci´c y), mamy 0

=

2x

2, czyli x

=

1 i

y

=

x

4

= −

3. Zatem E

= (

1,

3

)

i

h

=

DE

=

q

(

1

+

2

)

2

+ (−

3

0

)

2

=

9

+

9

=

3

2.

Pole trapezu jest równe

P

=

AB

+

CD

2

·

h

=

6

2

+

3

2

2

·

3

2

=

27.

Odpowied´z: 27

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

33

(5

PKT

)

Pole ka ˙zdej z dwóch prostok ˛

atnych działek jest równe 2400 m

2

. Szeroko´s´c pierwszej działki

jest o 8 m wi˛eksza od szeroko´sci drugiej, ale jej długo´s´c jest o 10 m mniejsza. Oblicz szeroko´s´c
i długo´s´c ka ˙zdej z działek.

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech x oznacza szeroko´s´c pierwszej działki, a y jej długo´s´c. W takim razie druga działka
ma szeroko´s´c x

8 i długo´s´c y

+

10. Podane pola powierzchni daj ˛

a układ równa ´n.

(

xy

=

2400

(

x

8

)(

y

+

10

) =

2400.

Podstawmy y

=

2400

x

z pierwszego równania do drugiego.

(

x

8

)

 2400

x

+

10



=

2400

/

·

x

10

(

x

8

)(

240

+

x

) =

240x

240x

+

x

2

1920

8x

=

240x

x

2

8x

1920

=

0

=

64

+

7680

=

7744

=

88

2

x

=

8

88

2

<

0

x

=

8

+

88

2

=

48.

Ujemne rozwi ˛

azanie odrzucamy i mamy x

=

48. St ˛

ad y

=

2400

x

=

50. Druga działka ma

wymiary x

8

=

40 i y

+

10

=

60.

Odpowied´z: 48 m

×

50 m oraz 40 m

×

60 m

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

18


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 22.03.2014, IV rok, Wykłady, Ekonometria i progno
2014 Matura 15.03.2014
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 22.03.2014, IV rok, Ćwiczenia, Ekonometria i prog
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 08 03 2014
2014 Matura 01 03 2014
TomaszGrabowski sprawozdanie(22 03 2014)

więcej podobnych podstron