dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 13

Kraków, 15.01.2014

1

XIII. Odległości, kąty, rzuty.

Zadanie 13.1. (Odległości; [2, 156/13.1], [1, 29/V.B.4])
Obliczyć odległość:
(a) punktu P = (1,

−2, 3) od płaszczyzny π : x + y − 3z + 5 = 0;

(b) płaszczyzn równoległych π

1

: 2x + y

− 2z = 0, π

2

: 2x + y

− 2z − 3 = 0;

(c) płaszczyzn π

1

: x

− 2y + 2z + 5 = 0, π

2

: 3x

− 6y + 6z − 3 = 0;

(d) punktu P = (0, 1,

−1) od prostej l :

x

2

=

y

−1

=

z

3

;

(e) prostych równoległych l

1

:

x

− 1

1

=

y + 1

2

=

z

−1

, l

2

:

x

−2

=

y

− 1

−4

=

z

− 3

2

;

(f ) prostych skośnych l

1

:

{

x = 0,
y = 0

, l

1

:

{

x = 1,
y = 1

;

(g) prostych l

1

:

x

− 9

4

=

y

− 2

−3

=

z

1

, l

2

:

x

−2

=

y + 7

9

=

z

− 2

2

;

(h) prostej l :










x = 2 + t,
y =

−3 + 2t

z = 2

− t

gdzie t

∈ R, od płaszczyzny π : 2x + y + 4z = 0;

(i) prostych l

1

: (x, y, z) = (2,

−3, 0) + (3, 2, −1)t gdzie t ∈ R oraz l

2

: (x, y, z) = (4, 2,

−2) + (−6, −4, 2)s

gdzie s

∈ R.

Zadanie 13.2. (Miara kąta; [2, 140/13.2], [1, 21/I.A.4, 31/VI.D.4])
Obliczyć miarę kąta między:

(a) prostą l :

x

− 3

2

=

y

− 1

0

=

z + 2

−3

oraz płaszczyzną π : x

− z = 0;

(b) płaszczyznami π

1

: x

− 2y + 3z − 5 = 0, π

2

: 2x + y

− z + 3 = 0;

(c) prostymi l

1

:










x = 1

− t,

y =

−2 + t

z = 3t

gdzie t

∈ R, l

2

:










x = 3

− 2t,

y = 4

− t

z = 1 + 3t

gdzie t

∈ R;

(d) prostymi l

1

:

{

x

− 4y + 3 = 0,

x + y

− z + 2 = 0

, l

2

:

x

− 1

1

=

y + 3

2

=

z

− 2

3

;

(e) wektorami

−→

AB i

−→

AC, jeśli A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 3) i C = (3, 3, 2).

Zadanie 13.3. (Rzut prostokątny; [2, 140/13.3], [1, 21/I.A.3, 27/IV.A.4, IV.B.4])
Znaleźć rzut prostokątny:
(a) punktu P = (

−3, 2, 0) na płaszczyznę π : x + y + z = 0;

(b) punktu P = (

−1, 2, 0) na prostą l : x = y = z;

(c) prostej l :

x

− 3

1

=

y

− 5

2

=

z + 1

0

na płaszczyznę π : x + 3y

− z − 6 = 0;

(d) wektora ⃗a = (2, 2, 1) na kierunek wektora ⃗b = (3, 4, 0);

(e) punktu P = (1, 1, 1) na prostą l :










x = 1 + t,
y = 2

− t

z = 3 + t

gdzie t

∈ R;

(f ) punktu P = (1, 1, 1) na płaszczyznę π : x + 2y

− z + 3 = 0.

Zadanie 13.4. (Symetria; [2, 140/13.4])
Znaleźć punkt symetryczny do punktu P = (2, 3,

−1) względem:

(a) punktu S = (1,

−1, 2);

(b) prostej l :

{

x + y = 0,
y + z = 0

;

(c) płaszczyzny π : 2x

− y + z − 6 = 0.

dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 13

Kraków, 15.01.2014

2

Zadanie 13.5. (Rzut ukośny; [2, 140/13.5])
Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora ⃗

v = (2, 3,

−1):

(a) punktu O = (0, 0, 0) na płaszczyznę π : x

− 2z + 8 = 0;

(b) prostej l : x

− 1 = y + 1 = z − 2 na płaszczyzny π : x − y + z − 1 = 0.

Zadanie 13.6. (Objętości i pola powierzchni; [2, 141/13.6])
Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:
(a) x = 1, y =

−1, z = 3, x + y + z = 5;

(b) x

− y = 1, x − y = 5, x + 2z = 0, x + 2z = 3, z = −1, z = 4.

Zadanie 13.7. (Pole trójkąta; [2, 141/13.7])

Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez proste: l

1

:










x =

−2 + 2t,

y = 0
z = 4t

, l

2

:










x = 0,
y = 3 + 3s
z =

−4s

, l

3

:










x =

−2p,

y = 3

− 2p

z = 0

,

gdzie t, s, p

∈ R

Zadanie 13.8. (Pola figur; [1, 29/V.D.3])
Punkty A = (2, 3, 2), B = (0, 1, 1) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD, którego dłuższa przekątna
AC jest równoległa do prostej l : x = 2y = z. Obliczyć pole tego rombu.

Zadanie 13.9. (Objętości brył; [1, 33/VIII.A.4, 34/VIII.C.4])
Obliczyć objętość oraz wysokość czworościanu ABCD przyjmując trójkąt ABC za podstawę, jeśli:
(a) A = (0,

−3, −1), B = (4, 4, 1), C = (−2, 1, 3), D = (6, 8, −1);

(b) A = (6, 4,

−1), B = (−4, 4, 1), C = (−2, 1, 5), D = (2, 3, −1).

Zadanie 13.10. (Pole trójkąta; [1, 34/VIII.B.4])
Obliczyć pole trójkąta ABC i jego wysokość opuszczoną na podstawę AB, jeśli wierzchołkami tego trójkąta
są punkty przecięcia osi układu współrzędnych z płaszczyzną π : 8x + 4y

− 3z − 24 = 0.

Literatura

[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.

[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.