mgr Ewa Pªonkowska

26.10.2008

2 Funkcja Zmiennej Zespolonej

Przez C oznaczamy pªaszczyzn¦ zespolon¡.

Denicja 2.1 .
Niech D oznacza pewien nie pusty zbiór liczb zespolonych .
Odwzorowanie f(z) przyporz¡dkowuj¡ce ka»dej liczbie zespolonej dokªadnie jedn¡ liczb¦ zespolon¡

f : D → C, gdzie D ⊂ C

nazywamy funkcj¦ zespolon¡ zmiennej zespolonej.

Argument z funkcji f i jej warto±¢ w = f(z) rozkªadamy na cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ tzn.

z = x + iy

, w = u + iv.

Otrzymujemy w ten sposóob rozkªad funkcji

w = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

na cz¦±¢ rzeczywist¡ Ref(z) := u(x, y) i cz¦±¢ urojona Imf(z) := v(x, y).
Cz¦±¢ rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcj¡ rzeczywist¡ dwóch zmiennych x i y.

Przykªad 2.1 Znale±¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji f(z) = iz

2

.

f (z) = iz

2

= i(x + iy)

2

= i(x

2

+ 2ixy − y

2

) = ix

2

− 2xy − iy

2

= −2xy + i(x

2

− y

2

)

Zatem

Ref (z) = u(x, y) = −2xy

; Imf(z) = v(x, y) = x

2

− y

2

Przykªad 2.2 Dane s¡ cz¦±¢ rzeczywista u(x, y) = x − y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji f.
Przedstawi¢ t¦ funkcj¦ jako funkcj¦ zmiennej zespolonej z.

z = x + iy

, ¯z = x − iy ⇒ x =

z + ¯

z

2

, y =

z − ¯

z

2i

Podstawiamy

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x − y) + i4xy =

 z + ¯

z

2

−

z − ¯

z

2i



+ 4i

 z + ¯

z

2

·

z − ¯

z

2i



=

z

 1

2

−

1

2i



+ ¯

z

 1

2

+

1

2i



− z

2

− ¯

z

2

2.1 Granica Funkcji Zmiennej Zespolonej

Denicja 2.2 .
Liczb¦ zespolon¡ g nazywamy granic¡ funkcji f(z) w pkunkcie z

0

gdy:

lim

z→z

0

f (z) = g ⇔ ∀ > 0

, ∃δ > 0 , ∀z ∈ D : 0 < d(z, z

0

) < δ ⇒ d (f (z), g) < 

gdzie d jest metryk¡ euklidesow¡ na C tzn.

d(z

1

, z

2

) :=

q

(Rez

1

− Rez

2

)

2

+ (Imz

1

− Imz

2

)

2

= |z

1

− z

2

|

Stwierdzenie 2.1

lim

z→z

0

f (z) = g ⇔

lim

(x,y)→(x

0

,y

0

)

u(x, y) = Reg

i

lim

(x,y)→(x

0

,y

0

)

v(x, y) = Img

gdzie z

0

= x

0

+ iy

0

oraz f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

1

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

26.10.2008

Denicja 2.3 Funkcja f jest ci¡gªa w z

0

⇔

lim

z→z

0

f (z) = f (z

0

)

Twierdzenie 2.1 Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ci¡gªa w z

0

⇔

funkcje u i v s¡ ciag¡gªe w

(x

0

, y

0

)

.

Denicja 2.4 Funkcja f jest ci¡gª¡ w ∞ , je±li funkcja f

1
z

jest ci¡gªa w zerze.

2.2 Pochodna Funkcji Zmiennej Zespolonej

Denicja 2.5 .
Granic¦ wªa±ciw¡ ilorazu ró»nicowego

lim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z

nazywamy pochodn¡ funkcji f w punkcie z i oznaczamy f

0

(z)

.

f

0

(z) := lim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z

f

0

(z

0

) := lim

z→z

0

f (z) − f (z

0

)

z − z

0

.

Stwierdzenie 2.2 Je±li funkcjie f i g maj¡ pochodn¡ w punkcie z to:

1. (f + g)

0

(z) = f

0

(z) + g

0

(z)

2. (f − g)

0

(z) = f

0

(z) − g

0

(z)

3. (f · g)

0

(z) = f

0

(z) · g(z) + f (z) · g

0

(z)

4.



f
g



0

(z) =

f

0

(z)·g(z)−f (z)·g

0

(z)

[g(z)]

2

, z /∈ g

−1

(0)

5. (f ◦ g)

0

(z) = f

0

(g(z)) g

0

(z)

Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)
Je»eli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z

0

= x

0

+ iy

0

pochodn¡ f

0

(z

0

)

, to istniej¡ w punkcie

(x

0

, y

0

)

pochodne cz¡stkowe

∂u
∂x

,

∂u
∂y

,

∂v
∂x

,

∂v
∂y

i speªniaj¡ w punkcie (x

0

, y

0

)

warunki:

∂u

∂x

=

∂v

∂y

,

∂u

∂y

= −

∂v

∂x

zwane warunkami Cauchy'ego Riemanna.

Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)
Je»eli funkcje u(x, y) i v(x, y) s¡ ró»niczkowalne w punkcie (x

0

, y

0

)

i speªniaj¡ w tym punkcie warunki

Cauchy'ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodn¡ f

0

(z

0

)

.

Przykªad 2.3 Dla jakich punktów z ∈ C funkcja f(z) = z¯z = |z|

2

= x

2

+ y

2

ma pochodn¡ ?

Rozwi¡zanie:

Ref (z) = u(x, y) = x

2

+ y

2

, Imf(z) = v(x, y) ≡ 0

Funkcje u i v s¡ ró»niczkowalne dla ∀(x, y) ∈ R

2

. Sprawdzamy warunki C-R.

u

0
x

= 2x

, u

0
y

= 2y

, v

0

x

= 0

, v

0

y

= 0

,

2

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

26.10.2008

St¡d

u

0
x

= v

0

y

⇔ x = 0

, u

0
y

= −v

0

x

⇔ y = 0

Zatem warunki Cauche'go Riemanna s¡ speªnione tylko w punkcie z

0

= 0

. Zatem tylko w tym punkcie

speªniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej funkcji f.
Pochodn¡ funkcji policzymy z defnicji.

f

0

(0) = lim

z→0

f (z) − f (0)

z − 0

= lim

z→0

z ¯

z

z

= lim

z→0

¯

z = 0

Denicja 2.6 Pochodne formalne funkcji f(z) defniujemy nast¦puj¡aco:

∂f

∂z

:=

1

2

 ∂f

∂x

− i

∂f

∂y



,

∂f

∂ ¯

z

:=

1

2

 ∂f

∂x

+ i

∂f

∂y



gdzie

∂f

∂x

=

∂u

∂x

+ i

∂v

∂x

,

∂f

∂y

=

∂u

∂y

+ i

∂v

∂y

Twierdzenie 2.4 (warunek ró»niczkowalno±ci funkcji w postaci zespolonej)
Funkcja f(z) ma pochodn¡ w punkcie z

0

= x

0

+ iy

0

wtedy i tylko wtedy gdy

∂f

∂ ¯

z

(z

0

) = 0

2.3

Funkcje holomorfczne

Denicja 2.7 Funkcj¦ f(z) nazywamy holomorczn¡ w punkcie z

0

, je±li jest ró»niczkowalna w tym

punkcie i w jego pewnym otoczeniu.

Denicja 2.8 Funkcj¦ f(z) nazywamy holomorczn¡ (analityczn¡, ró»niczkowaln¡ w sensie zespolonym)
w obszarze D je±li w ka»dym punkcie z ∈ D istnieje pochodna f

0

(z)

.

Oznaczenie f ∈ H(D). Wªasno±ci

1. je±li f, g ∈ H(D) to (f ± g) ∈ H(D) oraz fg ∈ H(D)

2. je±li f, g ∈ H(D) to

f
g

∈ H(D − (g

−1

(0))

3. je±li f, g ∈ H(D) to (f ◦ g)2H(D)

Przykªad 2.4 Zbada¢ holomorczno±¢ funkcji f(z) = |z|

2

= z ¯

z

3

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/